新型冠状病毒与高中数学-高中数学必修二21页课后题答案
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2012年全国高中数学联赛试题(A卷)word
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在题中的横线上.
1. 设
P
是函数
y?x?
2
(
x?0
)
的图像上任意一点,过点
P
分别向直线
y?x
和
y
轴作垂线
,
x
垂足分别为
A,B
,则
PA?PB
的值是
.
解:方法1:设
p(x
0
,x
0
?
2
),
则直线
PA
的方程为
x
0
y?(x
0
?
22
)??(x?x
0
),
即
y??x?2x
0
?.
x
0
x
0
?
y?x
11
?
由
?
2
?A(x
0
?,x
0
?
).
x
0
x
0
?
y??x?2x
0?
x
0
?
又
B(0,x
0
?
2. 设
?ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,
c
,且满足
acosB?bcosA?
则
2111
),
所以
PA?(,?),PB?(?x
0
,0).
故
PA?PB??(?x
0
)??1.
x
0
x
0
x
0<
br>x
0
3
c
,
5
tanA
的值是
.
tanB
解:由题设及余弦定理得
c
2
?a
2
?b
2
b
2
?c
2
?a3
3
a??b?
?c
,即
a
2
?b
2
?c
2
2
ca2bc5
5
a
2
?c
2
?b
2
82
a?c
222
tanAsinAcosBc?a?b
2ac5
???
22
??4
. 故
222
2
2
b?c?a<
br>tanBsinBcosAb?c?a
c
2
b?
5
2bc
3.设
x,y,z?[0,1]
,则
M?|x?y|?|y?z|?|
z?x|
的最大值是 .
解:不妨设
0?x
?y?z?1,
则
M?
因为
y?x?z?y?z?x.
y?x?z?y?2[(y?x)?(z?y)]?2(z?x).
所以
M?2(z?x)?z?x?(2?1)z?x?2?1.
当且仅当
y?x?z?y,x?0,z?1,y?
1
时上式等号同时成立.
2
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故
M
max
?
2?1.
?
.
设
3
4.抛物线
y?2px(p?0)
的焦点为
F
,准线为
l,
A,B
是抛物线上的两个动点,且满足
?AFB?
线段AB的中点
M
在l上的投影为
N
,则
2
|MN|
的最大值是
.
|AB|
AF?BF
.
在
?AFB
中,由余弦定理得
2
解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得
MN?
AB?AF?BF?2AF?BFcos
?(AF?BF)?3AF?BF
2
222
?
3
2
?(AF?BF)?3(
AF?BF
2
)
2
AF?BF
2
2
)?MN.
?(
2
当且仅当
AF?BF
时等号成立.故
MN
的最大值为1.
AB5.设同底的两个正三棱锥
P?ABC
和
Q?ABC
内接于同一个球.若
正三棱锥
P?ABC
的侧面与底面
所成的角为
45
,则正三棱锥Q?ABC
的侧面与底面所成角的正切值是 .
解:
如图.连结
PQ
,则
PQ?
平面
ABC
,垂足
H<
br>为正
?ABC
的中心,且
PQ
过球心
O
,连结
CH
并延长
交
AB
于点
M
,则
M
为AB
的中点,且
CM?AB
,易知
?PMH,?QMH
分别为正
三棱锥
P?ABC,Q?ABC
的侧面与底面所成二角
的平面角,则
?PM
H?45
,从而
PH?MH?
因为
?PAQ?90,AH?PQ,
1
AH
,
2
1
AH?QH.
2
QH
?4
所以
QH?2AH?4MH.
,故
t
an?QMH?
MH
2
所以
AP?PH?QH,
即
AH?<
br>2
6. 设
f(x)
是定义在
R
上的奇函数,且当
x?0
时,
f(x)?x
.若对任意的
x?[a,a?2]
,不等式
?
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f(x?a)?2f(x)
恒成立,则实数
a
的取值范围是 . <
br>2
?
?
x(x?0)
解:由题设知
f(x)?
?2
,则
2f(x)?f(2x).
?
?
?x(x?0
)
因此,原不等式等价于
f(x?a)?f(2x).
因为
f(x
)
在
R
上是增函数,所以
x?a?2x,
即
a?(2?1)
x.
又
x?[a,a?2],
所以当
x?a?2
时,(2?1)x
取得最大值
(2?1)(a?2).
因此,
a?
(2?1)(a?2),
解得
a?
故
a
的取值范围是
[2,
??).
2.
1?1
?sin?
的所有正整数
n
的和是
.
4n3
?
3
解:由正弦函数的凸性,有当
x?(0,)
时,
x?sinx?x,
6
?
??
1
?
3
?
1
由此得
sin??,sin???,
1313412
?
124??
1
?
3
?
1
sin??,sin???.
101039
?
93
?1
???
1
?
所以
sin??sin?sin?sin??sin.
1
?
1
故满足
?sin?
的正整数
n
的所有值分别为
10,11,12,
它们的和为
33
.
4
n3
7.满足
8.某情报站有
A,B,C,D
四种互不相同的密码,每周使用
其中的一种密码,且每周都是从上周未使用
的三种密码中等可能地随机选用一种.设第1周使用A种密码
,那么第7周也使用A种密码的概率
是 .(用最简分数表示)
解:用
P
k
表示第
k
周用
A
种密码的概率,则第
k
周末用
A
种密码的概率为
1111
1?P
k<
br>.于是,有
P
k?1
?(1?P
k
),k?N
?,即
P
k?1
???(P
k
?)
3434<
br>由
P
?
是首项为
1
?1
知,
?
P<
br>k
?
所以
P
k
?
?
?
1
?
4
?
31
,公比为
?
的等比数列。
43
131
k?1
31161
?(?)
,即
P
k
?(?
)
k?1
?
,故
P
7
?
443434243
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.
9.(本小题满分16分)
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已知函数
f(x)?asinx?
131
cos2x?a??,a?R,a?0
2a2
(1)若对任意
x?R
,都有
f(x)?0
,求
a
的取值范围;
(2)若
a?2
,且存在
x?R
,使得
f(x)?0
,求
a
的取值范围.
解:(1)
f(
x)?sinx?asinx?a?
2
2
3
.
a
3
a
4
分 令
t?sinx(?1?t?1),
则
g(t)?t?at?a?
对任意
x?R
,
f(x)?0
恒成立的充要条件是
3
?
g(?1)?1??0
?
?
a<
br>?a?(0,1]
?
3
?
g(1)?1?2a??0
?
a
?
8
分
a
??1.
2
3
所以
g(t)
min
?g(?1)?1?
a
3
因此
f(x)
min
?1?.
a
(2)因为
a?2,
所以
?
12
分
于
是,存在
x?R
,使得
f(x)?0
的充要条件是
1?
故<
br>a
的取值范围是
[2,3].
10.(本小题满分20分)
3
?0?0?a?3.
a
16
分
已知数列
?
a
n
?
的
各项均为非零实数,且对于任意的正整数
n
,都有
(a
1
?a2
?
3
?a
n
)
2
?a
1
3
?a
2
?
3
?a
n
(1)当
n
?3
时,求所有满足条件的三项组成的数列
a
1
,a
2
,a
3
;
(2)是否存在满足条件的无穷数列
{a
n
}
,使得
a
2013
??2012?
若存在,
求出这样的无穷数列的一个通项公式;若不存在,说明理由.
23
解:(1)当
n?1
时,
a
1
?a
1
,由
a
1
?0
得
a
1
?1
.
23
当
n?2
时,
(1?a
2
)?1?a
2
,由
a
2
?0
得
a
2
?2
或<
br>a
2
??1
………………5分
233
当
n?3时,
(1?a
2
?a
3
)?1?a
2
?a3
.
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若
a
2
?2
得
a
3
?3
或
a
3<
br>??2
;若
a
2
??1
得
a
3
?1
;
综上,满足条件的三项数列有三个:
1,2,3或1,2,-2或1,-,1………………………………………10分
(2)令<
br>S
n
?a
1
?a
2
?
23
?a1
3
?a
2
?
?a
n
,
则
S
n
33
?a
n
?a
n?1
.
3
?a
n
(n?N
?
)
233
从而
(S
n
?a
n?1
)?a
1
?a
2<
br>?
2
两式相减,结合
a
n?1
?0
得
2S<
br>n
?a
n?1
?a
n?1
当
n?1
时,由(1)知
a
1
?1
;
2
2
当
n?2
时,
2a
n
?2(S
n
?S<
br>n?1
)?(a
n?1
?a
n?1
)?(a
n
?a
n
),
即
(a
n?1
?a
n)(a
n?1
?a
n
?1)?0,
所以
a<
br>n?1
??a
n
或
a
n?1
?a
n
?1
……………………………………15分
又
a
1
?1,a
2013
??2012,
所以
a
n
?
?
11.(本小题满分20分)
如图5,在平面直角坐标系
XOY
中,菱形<
br>ABCD
的边长为
4
,且
OB?OD?6
.
(1)求证:
|OA|?|OC|
为定值;
(2)当点A在半圆
(
x?2)?y?4
(
2?x?4
)上运动时,求点
C
的轨迹. 22
?
n(1?n?2012)
?
2012?(?1)(n?2013)
n
…………20分
解:因为
OB?OD,AB?AD?BC?CD,
所以
O,A,C
山的共线………………………………………5分
如图,连结
BD
,则
BD
垂直平分线段
AC
,设垂足为
K,于是有
OA?OC?(OK?AK)(OK?AK)
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?OK?AK
?(OB?BK)?(AB?BK)
?OB?AB?6
2
?42
?20
(定值)……………………………10分
(2)设
C(x,y
),A(2?2cos
?
,2sin
?
),
其中
?
??XMA(?
则
?XOC?
2
22
2222
22
?
2
?
?
?
?
2
),
?
2
.
222
因为
OA?(2?2cos
?)?(2sin
?
)?8(1?cos
?
)?16cos
所以<
br>OA?4cos
?
2
,
?
2
…………………………………………15分
由(1)的结论得
OCcos
所以
x?OCcos
从而
y?OCsin
?
2<
br>?5,
?
2
?5.
?5tan
?
2
?
2
?[?5,5].
故点
C
的轨迹是一条线段,其两个端点的坐标分别
为
A(5,5),B(5,?5)
…………………………………………………20分