全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 Word版含答案

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
（4月20日8：00至10：00）

一．填空题（本大题共10小题，每小题7分，共70分）
1．若
x≥2
，则函数
f(x)?x?
1
的最小值是 ．
x?1


x
2．已知函数
f(x)?e
．若
f(a?b)?2
，则
f(3a)?f(3b)
的值是 ．


2
*
3．已知数列
?
a
n
?
是各项均不为0的等差数列，公差为
d
，
S
n
为前n
项和，且满足
a
n
?S
2n?1
，
n?N< br>，
则数列
?
a
n
?
的通项
a
n?
．


?
2x
2
?3x, x≥0,
?
4．若函数
f( x)?
?
是奇函数，则实数
a
的值是 ．
2
?
?
?2x?ax,x?0


5．已知函数
f(x)?lg|x?
是 ．


6．设
?
、
?
都是锐角，且
cos
?< br>?
10
|
．若关于
x
的方程
f
2
( x)?5f(x)?6?0
的实根之和为
m
，则
f(m)
的值
3
5
3
，
sin(
?
?
?
)?
，则
cos
?
等于 ．
5
5


o
7．四面体
ABCD
中，异面直线
AB
和CD
之间的距离为4，夹角为
60
，则四面体
ABCDAB?3
，
CD?5
，
的体积为 ．


8．若满足
?ABC?


9．设集合
S?
?1,2,
?
3
，
AC?3
，
BC?m
的
△ABC
恰有一解，则实数
m
的取值范围是 ．
,8
?
，
A
，
B
是
S
的两个非空子集，且A
中的最大数小于
B
中的最小数，则这样的
集合对
(A,B)< br>的个数是 ．


22
10．如果正整数
m
能够表示为
x?4y
(
x
，
y?Z
)，那么称
m
为“好数”．问1，2，3，…，2014 中“好
数”的个数为 ．

二．解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．已知
a
，
b
，
c
为正实数，
a?b?c
，


xyz
111
???0
，求
abc
的值． xyz
x
2
y
2
12．已知
F
1
，< br>F
2
分别是双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0 ,b?0)
的左右焦点，点
B
的坐标为
(0,b)
，直线
F
1
B
ab
与双曲线
C
的两条渐近线分别交于
P，
Q
两点，线段
PQ
的垂直平分线与
x
轴交于点
M
．若
1
MF
2
?F
1
F
2
， 求双曲线C的离心率．
2



13．如图，已知
?AB C
是锐角三角形，以
AB
为直径的圆交边
AC
于点
D
，交边
AB
上的高
CH
于点
E
．以
AC
为直径的半圆交
BD
的延长线于点
G
．求证：
AG?AE
．



14．（1）正六边形被
3
条互不交叉（端点能够重 合）的对角线分割成
4
个三角形．将每个三角形区域涂上
红、蓝两种颜色之一，使得有 公共边的三角形涂的颜色不同．怎样分割并涂色能够使红色三角形个数
与蓝色三角形个数的差最大？ < br>（2）凸
2016
边形被
2013
条互不交叉（端点能够重合）的对角 线分割成
2014
个三角形．将每个三
角形区域涂上红、栏两种颜色之一，使得有公共 边的三角形涂的颜色不同．在上述分割并涂色的所有
情形中，红色三角形个数与蓝色三角形个数之差的最 大值是多少？证明你的结论．