全国高中数学联赛试题.doc

一、 全国高中数学联赛试题（A卷）
二、
填空题：（本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上）
1．设P是 函数
y?x?
2
(x?0)
的图像上任意一点，过点P分别向直线
y ?x
和
y
轴作垂
x
线，垂足分别为A、B，则
PA?PB< br>的值是 .
c
，2．设ΔABC的内角A、B、C的对边分别为
a
、且满足
acosB?bcosA?
b
、
的值是 .
3．设
x
、
y
、
z
∈[0，1]，则
M?
2
3tanA
则
c
，
5tanB
x?y?y? z?z?x
的最大值是 .
4．抛物线
y?2px
（
p?0
）的焦点为F，准线为
l
，A、B是抛物线上的两个动点，且满
足∠AFB=
MN
?
．设线段AB的中点M在
l
上的投影为N，则 的最大值是 .
AB
3
5．设同底的两个正三棱锥P- ABC和Q-ABC内接于同一个球，若正三棱锥P- ABC的侧面与底
面所成的角为45?，则正三棱锥Q-ABC的侧面与底面所成角的正切值是 .
6．设
f(x)
是定义在R上的奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?x
，若对任意的
x?[a,a?2]
，
不等式
f(x? a)?2f(x)
恒成立，则实数
a
的取值范围是 .
7．满足
2
1
?
1
?sin?
的所有正整数
n< br>的和是 .
4n3
8．某情报站有A、B、C、D四种互不相同 的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从
上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第 一周使用A种密码，那么第7周也使
用A种密码的概率是 .（用最简分数表示）
二、解答题：（本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
9．（本小题满分16分）
已知函数
f(x)?asinx?
131
cos2x?a??
，
a?R
且
a?0
．
2a2
（1） 若对任意
x?R
，都有
f(x)?0
，求
a
的取值范围；
（2） 若
a?2
，且存在
x?R
，使得
f(x)?0，求
a
的取值范围．
10．（本小题满分20分）
已知数列{
a
n
}的各项均为非零实数，且对于任意的正整数
n
，都有
33< br>(a
1
?a
2
???a
n
)
3
?a
1
3
?a
2
???a
n
．
（1） 当< br>n?3
时，求所有满足条件的三项组成的数列
a
1
,a
2,a
3
；

（2） 是否存在满足条件的无穷数列{< br>a
n
}，使得
a
2013
??2012
？若存在，求 出这样的无
穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．
11．（本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且
OB?OD?6
．
（1） 求证：
OA?OC
为定值；
（2） 当点A在半圆M：
(x?2)?y?4(2?x?4)
上运动时，求点C的轨迹．















二试
一、（本题满分40分）
1．如 图，在锐角ΔABC中，AB>AC，M、N是BC边上不同的两点，使得∠BAM=∠CAN，设ΔABC和ΔAMN的外心分别为
O
1
、
O
2
，求证：
O
1
、
O
2
、A三点共线．
22






2．试证明：集合A={2，2，…，2,…}满足：（1 ）对每个
a?A
，及
b?N
，若
b?2a?1
，，
2n
?
则使
b(b?1)
一定不是
2a
的倍数；（2）对每 个
a?A
（其中
A
表示
A
在
N
中的补集） 且
?
a?1
，必存在
b?N
?
，
b?2a?1，使
b(b?1)
是
2a
的倍数．
3．设
P
0
，
P
1
，…，
P
n
是平面上
n?1个点，它们两两间的距离的最小值为
d
（
d?0
）．求

< br>
?
d
?
证：
P
0
P?PP???PP?< br>??
1020n
?
3
?
4．设
S
n
?1?
n
(n?1)!

11
???
，
n
是正整数，证明：对满足
0?a?b?1
的任意实数
a
，
b
，
2n
数列
{S
n
?[S
n
]}
中有无穷 多项属于（
a
，
b
）．这里
[x]
表示不超过实数
x
的最大整数．