全国高中数学联赛江西预赛试题及其解答

2016年全国高中数学联赛江西省预赛

试题解答

201 6
年
6
月
5
日上午
8:30??11:00

一、填空题（每小题
7
分，共
56
分）

1
、若
y?log
2016
?
x
2
?ax?65
?
的值域为
R
?
，那么
a
的取值范围
是 ．答案：
?16?a?16
．

解：由值域
y?R
?
，
?x
2
?ax?65?1
，
?x
2
?ax?6 4?0

???a
2
?4?64?0
，
?
?16? a?16
.

2
、四面体
ABCD
中，
?ABC< br>是一个正三角形，
AD?BD?2
，
AD?BD
，

AD?CD
，则
D
到面
ABC
的距离为 ．答案：
23
．

3
A

解：如图，据题意得，< br>AB?AD
2
?BD
2
?22
，
于是
BC? CA?AB?22
，
CD?AC
2
?AD
2
?2
，

C
D
B

因
BC
2
?BD
2
?CD
2
，得
BD?CD
，从而以
D

为顶点的三面角是三直三面角，

四面体体积
V?AD?S
?BCD
?
1
3
3
4
?AB
2
?23
，< br>
，而
S
?ABC
?
4
3
若设
D< br>到面
ABC
的距离为
h
，则
V?h?S
?ABC?
234
h?
，

33
1
3
23h
，由
3
得到
h?
23
．

3
3
、若对于所有的正数
x,y
，均有
x?y?ax?y
，则实数< br>a
的最小值是 ．答案：
2
．

?
yy
?
x
x
??
??2
，

解：由?
，得
??1
?
x?y
?
?
?
?x?y
?
?
x?yx?y
????
22
当
x? y
时取等号．

4
、已知
P
是正方形
ABCD内切圆上的一点，记
Y
?APC?
?
,?BPD?
?
， 则
tan
2
?
?tan
2
?
?
．答案：
C
D
P
8
．

A
O
X< br>B

解：如图建立直角坐标系，设圆方程为
x
2
?y2
?r
2
，

则正方形顶点坐标为
A(?r,?r), B(r,?r),C(r,r),D(?r,r)
，

若点
P
的坐标 为
P(rcos
?
,rsin
?
)
，于是直线

PA,PB,PC,PD
的斜率分别为

k
PA
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
1?sin
?
，
k
PC
?
，

,k
PB
? ?,k
PD
??
1?cos
?
1?cos
?
1?c os
?
1?cos
?
2
?
k
PC
?kPA
?
22
所以
tan
?
?
??
?4 (cos
?
?sin
?
)
，

?
1?k< br>PA
k
PC
?
?
k?k
?
tan
2
?
?
?
PDPB
?
?4(cos
?
?si n
?
)
2
，

?
1?k
PB
k< br>PD
?
2
由此立得
tan
2
?
?tan2
?
?8
．

解2：取特例，
P
在坐标轴上， 则
?
?
?
，

这时，
tan
?
? cot
?
?
5
、等差数列
2,5,8,
2
?2?t an
?
，
?tan
2
?
?tan
2
??2
2
?2
2
?8

1
,2015
与
4,9,14,,2014
的公共项（具有相
同数值的项）的个数是 ．答案：
134
．

解：将两个数列中的各项都加
1
，则问 题等价于求等差数列

3,6,9,,2016
与等差数列
5,10,1 5,,2015
的公共项个数；前者
是
M?
?
1,2,3,,201 6
?
中的全体能被
3
整除的数，后者是
M
中
的全体 能被
5
整除的数，故公共项是
M
中的全体能被
15
整除的数，这种数有
?
?
2016
?
?134
个．

?
?
15
?
设
x
为锐角，则函数
y?si nxsin2x
的最大值是 ．答
6
、
案：
43
．

9
解：由
y?2sin
2
xcosx
，

得
y
2
?4sin
4
xcos
2
x?2(1?co s
2
x)(1?cos
2
x)?2cos
2
x
< br>?
(1?cos
2
x)?(1?cos
2
x)?2cos2
x
?
?
2
?
16
?2
?
? 2?
，

?
??
?
3
?
3
?27
??
43
1
．当
cos
2
x?
时 取得等号．

9
3
3
3
所以
y?
7
、若将前九个正整数
1,2,3,4,5,6,7,8,9
分别填写于一张
3?3< br>方
格表的九个格子中，使得每行三数的和，每列三数的和皆为
179
质数，你的 填法是

解答：（答案有多种）

2
8
6
4
3
5

8
、把从
1
到
n
(n?1)
这
n
个连续正整数按适当顺序排成一个数
列，使得数列中每相邻两项的和为平方数，则正整数n
的最小
值是 ．答案：
15
．

例如，排出的一个数列为

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
．

解：这是一个操作问题，若用文字表达较为繁琐，故适宜作
为填空题直接操作．
记这
n
个连续正整数的集合为
M?
?
1,2,,n
?< br>，由于
n?1
，

则
M
中必有
2
， 而
2?7?9
，所以
n?7
，当
n?7
时，从
1< br>到
7
这
7
个数可以搭配成满足条件的三个数段：

( 1,3,6),(2,7),(4,5)
，但它们不能连接成一个
7
项的数列，故应< br>增加后续的数，增加
8
可使得第一段扩充成
(8,1,3,6)
，增加
9
可
使得第二段扩充成
(2,7,9)
，但新的三段也不能连接，还 需增
加新数，即
n?10
，而之前的数若与
8,9,10
邻接，只有

8?1?9,9?7?16,
10?6?16
，这三段扩充为

(8,1,3,6,10)
，
(2,7,9)
，
(4,5)
，仍旧不能连接，应当借助新的平
方数
25
，从
1
到
10< br>这
10
个数能搭配成和为
25
的最小数是
15
，则
n?15
，而当
M?
?
1,2,,15
?
时 ，可排出上面的情形：

(8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9)
．

二、解答题（共
64
分）

x
2
y
2
Y

9
、（
14
分）如图，
CD
是椭圆
2
?
2
?1
的一条直径，
ab
N
D
B
X
M
过椭圆长轴的左顶点
A< br>作
CD
的平行线，交椭圆于

A
O
C
另一点
N
，交椭圆短轴所在直线于
M
，

证明：
AM?AN?CO?CD
．

证1：椭圆方程为
x? acos
?
,y?bsin
?
，

点
A,N
的坐标为
A(?a,0),N(acos
?
,bsin
?
)
，则直线
AN
方程为
?
x??a?tcos
?
， ……
3'

?
y?tsin
?
?

代 入椭圆方程得到
(b
2
cos
2
?
?a
2
sin
2
?
)t
2
?2ab
2
tcos
?
?0
，

2ab
2
cos
?
a
?
AN?t?
2
，
AM?(
?
?)
，……
6 '


bcos
2
?
?a
2
sin2
?
cos
?
2
2a
2
b
2
因此
AM?AN?
22
，……
9'

bcos
?< br>?a
2
sin
2
?
又据
AN
∥
CD
，则点
C,D
坐标为：
C(?ODcos
?
,?ODsin
?
)
，
D(ODcos
?
,ODsin
?
)
，……
12'

a
2
b
2
因为
C,D
在椭圆上，则
CO?
22
，而，
22
bcos
?
?asin
?
2
2a
2
b
2
CO?C D?2CO?
2
，

bcos
2
?
?a
2
sin
2
?
2
因此
AM?AN?CO?CD
．……
14'

证2：

易知
CD
的斜率
k存在，不妨令
CD:y?kx
，与椭圆方程联系，

解得
?
abkab
C
?
?,
b
2
?a
2< br>k
2
b
2
?a
2
k
2
?
? ??
abkab
,
?
、D
?
2
?
……< br>22222
b?ak
???
b?ak

3'
< br>?CO?
?
1?k
?
ab
222
2
b?ak
2
22
,CD?
4
?
1?k
2
?
a
2
b
2
b?ak
222
,
?CO?CD?2
?
1?k
2
?
a
2
b
2
b ?ak
22
……
6'

AN
方程为：
y?k?
x?a
?
,?M
?
0,ka
?
.

将
AN
方程与椭圆方程联立，得
?
b
2
?a
2
k
2
?
x
2
?2a
3
k
2< br>x?k
2
a
2
?a
2
b
2
?0
2a
3
k
2
ab
2
?a
3
k
2
?x
A
?x
N
??
2
,?x
N
?
2
……
9'

b?a
2
k
2
b?a
2
k
2
2kab
2
y
N
?
2
,?AM?a1?k
2
……
12'

22
b?ak
?
ab
2
?a
3
k
2
?
4k
2
a
2
b
4
2ab
2
1?k
2
AN?
?
2
?a?
??
2
，

2222
222
2
b? akb?ak
??
?
b?ak
?
2
?AM?AN?
2a
2
b
2
?
1?k
2
?
b
2< br>?a
2
k
2
?CO?CD
…
14'

（
15
分）如图，
D
是
?AB C
的旁心，点
A
关于直线
DC
的
10
、
对 称点为
E
．证明：

(1)
、
B,C,E< br>三点共线；
(2)
、
A,B,D,E
四点共圆．





B



D
A
C
E
证：1、延长
DC
到
M
，延长
AC
到< br>N
,连
CE
，
D
为旁心，

?CD
平分
?BCN
，……
2'

又
A、E
关于
DC
对称，

?CM
平分< br>?ACE??DCN??ACM
,
??BCD??MCE

??BCN ??ACE
,
?B
、
C
、
E
三点共线。……
5'

2、过
C
作
CIAE
交
AD
于< br>I
，则
IC?DC
……
7'

?I
为< br>ABC
内心。连
BI
,则
BI
平分
?ABC
,……
10'

?
?IBD?90
?
,
?B
、
D
、
C
、
I
四点共圆，……
12'

??CBD??CID??EAD
,

?A
、
B
、
D
、
E
四点共圆。……
15'

（
15
分）设
x,y,z
为正数，满足：
xy?yz?zx?1
，证明：

11
、
xyz(x?y)(y?z)(x?z)?(1?x2
)(1?y
2
)(1-z
2
)

证：据条件，即要证
xyz(x+y+z-xyz)?(1?x
2
)(1 ?y
2
)(1-z
2
)

①

也即
xyz(x+y+z)?1-(x
2
?y
2
?z
2
)?(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
)

② ……
3'

将此式各 项齐次化，因为
1?(xy?yz?xz)
2
?x
2
y
2< br>?y
2
z
2
?x
2
z
2
?2xyz (x?y?z)
……
6'


x
2
?y
2
?z
2
?(x
2
?y
2
?z
2
)(xy?yz?xz)?
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x?y?z)
代入②，

只要证
xyz(x?y?z)?

2(x
2
y
2< br>?y
2
z
2
?x
2
z
2
)?x3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?xyz(x ?y?z)
即
x
3
(y?z)?y
3
(x?z)?z
3
(x?y)?2(x
2
y
2
?y
2
z
2
?x
2
z
2
)?0
……
12'

也即
xy(x?y)
2
?yz(y?z)
2
?xz(x?z)2
?0
。

此为显然，故命题得证．…
15'

证2：由题设得：

y
?
x?z
?
?1?zx,x
?
y?z
?
?1?yz,z
?
x?y
?
? 1?xy
，

三式相乘，故原不等式等价于证明：

?
1? zx
??
1?yz
??
1?xy
?
?
?
1 ?x
2
??
1?y
2
??
1?z
2
?……
3'

上式两边展开并化简得：

x
2
? y
2
?z
2
?
?
xy?yz?zx
?
?< br>x
2
y
2
?y
2
z
2
?z
2
x
2
?
?
x
2
yz?xy
2
z ?xyz
2
?
……
6'

配方得：
?
x?y
?
?
?
y?z
?
?
?
z?x
?
22
222
?
?
xy?xz
?
?
?
yz?xy
?
?
?
yz?zx
?
< br>2
222
?x
2
?
y?z
?
?y
2
?
z?x
?
?z
2
?
x?y
?
……
9'

即
?
1?z
2
?
?
x ?y
?
?
?
1?x
2
?
?
y?z
?
?
?
1?y
2
?
?
z?x
?
? 0
?
?
?
……
12'

222
0?x,y ,z?1,?1?x
2
?0,1?y
2
?0,1?z
2
?0 ,

?
?
?
?
显
立
然成
.
……
15'

（
20
分）设集合A?
?
1,2,
12
、
,2016
?
，对于< br>A
的任一个
1008
元
子集
X
，若存在
x, y?X
，满足
x?y,xy
，则称
X
为“好集”，
求最大的 正整数
a
，（
a?A
），使得任一个含
a
的
100 8
元子集
皆为“好集”．

解：因任何正整数
n
可以表为< br>n?2
?
t
形式，其中
?
?N
，
t
为正
奇数，于是集合
A
可划分为以下
1008
个子集：
< br>A
j
?mm?2
?
(2j?1),
?
?N,1?m? 2016
，
j?1,2,
??
,1008
……
4'

对于集合
A
的任一个
1008
元子集
X
，只要集< br>X
中含有某一个
A
j
中的至少两个元素
x,y,(x?y)< br>，因
x?2
k
1
(2j?1),y?2
k
2
(2j?1)
，
k
1
?k
2
，则
xy
；此 时
X
为好集；

以下证明正整数
a
的最大值为
671
： ……
8'

若
a?671
时，对于
A
的任一个1008
元子集
X
，如果
X
中含有

某个
A
j
中的至少两个元素，则
X
便是好集；如果
?
A
j
?
中的
1008
个集合，每个集合中恰有一个元素在
X< br>中，那么
A
1007
也有一
个元素在
X
中，

但
A
1007
?
?
2013
?
为单元素集 ，于是
2013?X
，而
a2013
，
(2013?671?3?3 a)
，这说明
X
仍是好集，

因此
a?671
合于要求． ……
12'

下面说明 当
a?672
时，存在含
a
的集
X
不是好集；分两种情况：

(1)
、若
a?1009
，取
1008
元集
X
0
?
?
1009,1010,
a?X
0，

,2016
?
，则
因
X
0
中任两 个不同元素
x?y
，均有
x
?
y
，故
X
0
不为好集，
这种
a
不合要求．……
15'

(2)
、若
672?a?1008
，记
X
1
?
?
672?jj?0,1,,336
?
，

X
2
，则
X
2
?X
0

?
2(672?j)j?0,1,,336?
，令
X?X
1
X?1008
，且
a?X
1< br>，

若
X
中存在
x?y,xy
，因< br>x?672
，
y?2016
，则
y?3x
；

若
x?672
，如果
xy,x?y
，只有
y?2x
或者< br>y?3x
，此时
y
的取值只能是：
y?2?672?1344
，或者
y?3?672?2016
；
由于
1344?2(672?0),20 16?2(672?336)
，这说明，这两个数已
被挖去，不在集合
X
中； ……
18'

若
x?672
，假若
xy
，只有y?2x
，这种数
y
也已悉数被
挖去，即
y?X
，因此
X
不是好集，这种
a
也不合要求．

综上所述，
a
的最大值为
671
． ……
20'