最新高中数学公式大全(完整版)

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高中数学常用公式及常用结论
1.包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AC
U
B???C
U
AB?R

2．集合
{a
1
,a
2
,,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；非空的真子集有
2
n
–2
个.
3.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.
4.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b?
上是增函数；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上 是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函
(x
1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
数.
5.如果函数
f(x)
和
g(x)
都是减函数,则在 公共定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果函数
y?f(u)和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]
是增函数.
6．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关 于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么
这个函数是奇函数；如果一个函数的图象 关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
7.对于函数
y?f(x)
(
x? R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称 轴是函数
x?
数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
8.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2），
f(x?a)?
9.分数指数幂
(1)
a
m< br>n
a?b
;两个函
2
a?b
对称.
2
1< br>1
(f(x)?0)
，或
f(x?a)??
(f(x)?0)
,则
f(x)
的周期T=2a；
f(x)
f(x)
?
?< br>1
n
a
m
n
（
a?0,m,n?N
，且n?1
）.(2)
a
?
m
n
?
1
a< br>m
n
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
10．根式的性质
?
a,a?0
（1）
(a)?a.（2）当
n
为奇数时，
a?a
；当
n
为偶数时，a?|a|?
?
.
?a,a?0
?
n
n
n< br>n
n
11．有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.(2)
(ar
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)
.(3)(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)< br>.
12.指数式与对数式的互化式

log
a
N?b?a< br>b
?N
(a?0,a?1,N?0)
.
①.负数和零没有对数，②. 1的对数等于0：
log
a
1?0
，③.底的对数等于1：
log< br>a
a?1
，
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④.积的 对数：
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
，商的对数：
log
a
n
n
幂的对数：
log< br>a
M?nlog
a
M
；
log
a
m
b?

M
?log
a
M?log
a
N
，
N
n
log
a
b

m
13.对数的换底公式
log
a
N?
推论
log
a
m
b?
n
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
log< br>a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
n?1
?
s
1
,
15.
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
??a
n
).
s?s, n?2
?
nn?1
*
16.等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222
a
nn?1*
17.等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q?
1
?q(n?N)
；
q
其前n项和公式为
s
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
?
a< br>1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
其前n项的和公式为
s
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q
.
?
na,q?1
?
na ,q?1
?
1
?
1
18.同角三角函数的基本关系式
s in
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan?
=
19正弦、余弦的诱导公式
sin
?

cos
?
(n为偶数)

(n为奇数)
n
?< br>n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
si n(?
?
)?
?

n?1
2
?
(?1)< br>2
cos
?
,
?

20和角与差角公式sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
1tan
?
tan
?
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
s in(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
21、二倍角的正弦、余弦和正 切公式：
⑴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
．
⑵
cos2
?
?cos
2
b
).
a< br>?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1? 2sin
2
?
（
cos
2
?
?
1?cos 2
?
1?cos2
?
2
，
sin
?
?）．
2
2
⑶
tan2
?
?
2tan
?
．
2
1?tan
?
2
?
22.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y ?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常 数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
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?
；

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函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
23.正弦定理 ?
2
,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
.
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
24.余弦定理
a
2
?b
2< br>?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
111
25.面积定理
S? absinC?bcsinA?casinB
（2）.
222
26.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
27.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结 合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+ b)=λa+λb.
28.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
30．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则ab(b
?
0)
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
31.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
32.数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
33.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a-b=
(x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)
.
( 3)设A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x ,y),
?
?R
，则
?
a=
(
?
x,?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
. < br>34.两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
21
2
2
2
2
(
a
=
(x
1< br>,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)< br>).
35.平面两点间的距离公式
d
A,B
=
|AB|?AB?AB

?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
36.向量的平行与垂直
设a=< br>(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
.
37.三角形的重心坐标公式
△ ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
设
O
为
?ABC
所在平面上一点，角A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
222
（1）O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.（2）
O< br>为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
（3）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
38.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
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22

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a?b
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
2
（3）
a?b?a?b?a?b
.
（2）
a,b?R< br>?
?
39已知
x,y
都是正数，则有（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p< br>；
1
2
s
.
4
2
40.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值< br>x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
y?y
1
41.斜率公式
k?
2
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
42.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
（3）两点式
43.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l< br>1
?l
2
?k
1
k
2
??1
. < br>(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1、B
2
都不为零,
A
1
B
1
C
1< br>；②
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
；
??
A
2
B
2
C
2
(
l
1
:A
1
x?B< br>1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A2
?B
1
B
2
?0
).
①
l
1
||l
2
?
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
45.点到直线的距离
d?

46. 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
47.直线与圆的位置关系
22
222
?
.
2
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
|Ax
0
?By
0
?C|A?B
22
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b )?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.其中
d?
48.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

Aa?Bb?C
A?B
22
.
d?r
1
?r2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外 切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2< br>?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
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49.圆的切线方程
(1)已知圆< br>x?y?Dx?Ey?F?0
．(2)已知圆
x?y?r
．
2
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切 线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
22222?
x?acos
?
x
2
y
2
50.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程是
?
.
ab
?
y?bsin
?
x
2
y
2
a
2
a
2
)
，
PF
2
?e(?x)
. 51.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式
PF
1
?e(x?
abc
c
52．椭圆的的内外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（1） 点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
2
?
2
?1
.
abab
22
x
0
y
0
x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
x
2
y
2
a
2
a
2
53.双曲线
2
?
2
?1(a?0 ,b?0)
的焦半径公式
PF
1
?|e(x?)|
，
PF< br>2
?|e(?x)|
.
c
abc
54.双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2< br>?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
? 0?
y??x
.
ab
ab
a
x
2
y2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2< br>?
2
??
（
??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y轴上）.
abab
2
55. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p
2
抛物线
y?2px( p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x2
?p
.
22
56.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB? (x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?(1?k
2
)(x
2
? x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan< br>2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦端点A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方
程
?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx?c?0
，
??0
,
?
为 直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.
?
F(x,y )?0
57(1)加法交换律：a＋b=b＋a．(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c) ．(3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．
59共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?
AP?tAB
?< br>OP?(1?t)OA?tOB
.
60.向量的直角坐标运算
设
a
＝
(a
1
,a
2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2
,b
3
)
则
(1 )
a
＋b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)
；(2)
a
－b＝
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2,a
3
?b
3
)
；(3)λ
a
＝
(< br>?
a
1
,
?
a
2
,
?
a< br>3
)
(λ∈R)；
(4)
a
·b＝
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
；
61.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)< br>，则
AB?OB?OA
=
(x
2
?x
1
, y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
62．空间的线线平行或垂直
63.夹角公式
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rrrrrr
设
a?(x
1
,y
1
,z
1
)< br>，
b?(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
a?b
?
a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
?0
.

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设
a
＝
(a
1
,a2
,a
3
)
，b＝
(b
1
,b
2,b
3
)
，则cos〈
a
，b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3< br>a?a?a
2
1
2
2
2
3
rr
rr
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z1
z
2
|
|a?b|
r?
64．异面直线所成角
cos
?
?|cosa,b|
=
r

222222
|a|?|b|
x
1
?y
1
?z
1
?x
2
?y
2
?z
2
rr
oo
（其中
?
（
0?
?
?90
）为异面直线
a,b
所成角，
a ,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量）
65.直线
AB
与平面所成角
AB?m
(
m
为平面
?
的法向量).
?
?arcsin
|AB||m|
66.二面角
?
?l?
?
的 平面角
?
?arccos
134.空间两点间的距离公式
若A
( x
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x
2
,y
2
,z
2
)
，则
d
A,B
=
|AB|?
67.球的半径是R，则
其体积< br>V?
b?b?b
2
1
2
2
2
3
.
m?nm?n
或
?
?arccos
（
m
，
n
为平面
?
，
?
的法向量）.
|m||n||m||n|
AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y< br>2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1)
2
.
4
3
?
R
,其表面积
S?4
?
R
2
．
3
(3) 球与正四面体的组合体:
66
a
,外接球的半径为
a
.
124
11
68
V
柱体
?Sh
（
S
是柱体的底面积、
h是柱体的高）.
V
锥体
?Sh
（
S
是锥体的底面积、< br>h
是锥体的高）.
33
69.分类计数原理（加法原理）
N?m1
?m
2
??m
n
.
n！
*
m
70.排列数公式
A
n
=
n( n?1)?(n?m?1)
=.(
n
，
m
∈N，且
m?n< br>)．注:规定
0!?1
.
(n?m)！
棱长为
a
的 正四面体的内切球的半径为
n！
A
n
m
n(n?1)
?(n?m?1)
*
71.组合数公式
C
=
m
==(< br>n
∈N，
m?N
，且
m?n
).
m！?(n?m) ！
1?2?
?
?m
A
m
m
n
72.组合数 的两个性质(1)
C
n
=
C
n
m
n
mn?m
(2)
C
n
+
C
n
m
m ?1m0
=
C
n?1
.注:规定
C
n
?1
.
n
n?m?1
m?1
nn
m?1
r
mmmn
C
n
155.组合恒等式（1）（2）（3）（4）=
2
;
C?C
n
;
C
n
?C
n?1
;
C
n
?C
n?1
;
?
mn?mm
r?0< br>mm
！?C
n
73.排列数与组合数的关系
A
n
?m
.
74．单条件排列以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m个元素的排列.
（1）“在位”与“不在位”
m?1mm?11m?1
①某（ 特）元必在某位有
A
n?1
种；②某（特）元不在某位有
A
n
?A
n?1
（补集思想）
?A
n?1
A
n?1
（ 着眼位置）
m1m?1
?A
n?1
?A
m?1
A
n ?1
（着眼元素）种.
（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）
①定位紧贴：
k(k?m?n)
个元在固定位的排列有
A
k
A
n?k
种 .
②浮动紧贴：
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A
n ?k?1
A
k
种.注：此类问题常用捆绑法；
③插空：两组元素分别有k、 h个（
k?h?1
），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排
列 数有
A
h
A
h?1
种.
（3）两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？
n< br>A
m
n
?1
当
n?m?1
时，无解；当
n? m?1
时，有
n
?C
m?1
种排法.
A
n
hk
n?k?1k
km?k
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（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别 相同的排列数为
C
m?n
.
75．分配问题
（1）(平均分组有 归属问题)将相异的
m
、
n
个物件等分给
m
个人，各得n
件，其分配方法数共有
n
(mn)!
.
m
(n!)
（2）(平均分组无归属问题)将相异的
m
·
n
个物体等分为无记号 或无顺序的
m
堆，其分配方法数共有
nnnnn
C
mn
? C
mn
(mn)!
?n
?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
N??
.
m!m!(n!)
m
（3） (非平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++nm
)
个物体分给
m
个人，物件必须被分完，分别得到
n
1
，
nnnnn
N?C
mn
?C
mn?n
?Cmn?2n
?
?
?C
2n
?C
n
?
n
nn
n
2
，
n
m
件，
n
2
，
n
m
这
m
个数彼此不相等，…，且
n
1
，…，则其分配方法数共有
N?C
p
?C
p?n
...C
n
?m!?
12
m
1m
p!m!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
n0n1n?12n?22rn?r rnn
76.二项式定理
(a?b)?C
n
a?C
n
ab ?C
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?Cn
b

rn?rr
二项展开式的通项公式
T
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
.
kkn?k77.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
P
n
(k)?C
n
P(1?P).

78.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）
P
i
?0(i?1,2,
79.数学期望
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?
2
)
;（2 ）
P
1
?P
2
??1
.
?x
n
P
n
?

80..数学期望的性质（1）< br>E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
.（2）若
?～
B(n,p)
,则
E
?
?np
.
81.方 差
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?
?
?p
2
?
2
?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?
2
标准差
??
=
D
?
.
82.方差的性质(1)
D
?
a
?
?b
?
?a
2
D
?
；(2）若
?
～
B(n, p)
，则
D
?
?np(1?p)
.
83..
f( x)
在
(a,b)
的导数
f
?
(x)?y
?
?
dydf?yf(x??x)?f(x)
.
??lim?lim
?x?0?x?0
dxdx?x?x
84.. 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方程是
y?y
0
?f< br>?
(x
0
)(x?x
0
)
.
85..几种常见函数的导数
'n?1
(1)
C
?
?0
（C为常数）.(2)
(x
n
)?nx(n?Q)
.(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
(5)
(lnx)
?
?
86..导数的运算法则
1
1
x xxx
x
；
(loga)
?
?
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
x
xlna
''
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1）
(u?v)?u?v
.（2）
(uv)? uv?uv
.（3）
()?
2
vv
''''
87..复合函 数的求导法则
''''
设函数
u?
?
(x)
在点x
处有导数
u
x
?
?
(x)
，函数
y ?f(u)
在点
x
处的对应点U处有导数
y
u
?f(u)< br>，则复合函
''''''
数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数，且
y
x
?y
u
?u
x
，或写作
f
x
(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
89.复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a ,b,c,d?R
）
90.复数
z?a?bi
的模（或绝对值）
| z|
=
|a?bi|
=
a
2
?b
2
. < br>91.复数的四则运算法(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;(4)
(a?bi)?( c?di)?
ac?bdbc?ad
?i(c?di?0)
.
c
2
?d
2
c
2
?d
2
?
的角度
0?

30?

45?

60?

90?


120?

135?

150?



180?

270?
360?


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?
的弧度

0

sin
?

cos
?

0

?
6

1

2
3

2
3

3
?

4
2

2

?
3

3

2
1

2
3

?

2
1

0

无

2
?
3

3

2
?
1

2
?3

3
?

4
2

2
5
?

6

?

0

3
?

2
2
?

0

1

2
?
3

2
?
3

3
?1

0

无
1

0

2

2
?
2

2
?1

0

1

0

tan
?







1

?1

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
y?cosx

y?sinx

数
性
质
y?tanx

图象

定义域
值域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k??
??

2
??
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k??
?
时，
R

?
2
?
k??
?
时，
?
2
最值
y
max
?1
；当
x?2k
?
?

y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
周期性
奇偶性
2
?

奇函数
?
k??
?
时，
y
min
??1
．
2
?

偶函数
?

奇函数
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??
??
在
?
2k
?< br>?,2k
?
?
?

22
??
?
k??
?
上是增函数；在
单调性 < br>在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是
增函数；在
?
2k
?
, 2k
?
?
?
?

??
??
在
?< br>k
?
?,k
?
?
?

22
???
3
?
??
2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?

对称性
?
??< br>对称中心
?
k
?
?,0
?
?
k??
?

?
k
?
?
,0
?
?
k??< br>?
对称中心
2
??
?
?
?
2
?< br>对称轴
x?k
?
?
?
k??
?

2
对称轴
x?k
?
?
k??
?

无对称轴


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