高中数学必修5《等比数列前n项和公式》教案

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课题：等比数列的前n项和
（第一课时）
教学目标：
1、知识目标：理解并掌握等比数列前n项和公式的推导 方法，公式的特点能初
步应用公式解决有关问题。
2、能力目标：培养学生观察、比较、抽象 、概括等能力，并能灵活运用基本概
念分析问题解决问题。3、情感目标：培养学生学习数学的积极性， 锻炼学生遇
到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。
教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．
教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．
课型与教法：新授课 启发式下的讲解式.
教学手段：多媒体教学
时 间：45分钟
授课教师：刘洋
讲解过程：
一、引入
创设情境，提出问题
在 古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，
对他说：我可以满足你的任何 要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一
格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每 一格都是前一格的两倍，
直至第64格．国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢 ？
同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．对
他们的这种思路给 予肯定.如何求出他们的值呢，带着这个问题，我们一起来学

63
1+2+2< br>2
+2
3
+??????+2
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习今天的内容，引出课题．
二、新课讲解
1、师生互动，探究问题
提问：1，2，2
2
，…，2
63
是什么数列？有何特征？应归结为 什么数学问题
呢？回忆等差数列前n项和公式的推导过程。
设s
64
=1+ 2+2+2+???+2
探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）
探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，若（1）式两边
同乘以2则有 < br>2
，记为（2
2
）式．比较（1）
s
64
=2+2+ 2
3
+???+2
63
+2
64
(2）两式，你有什么发现 ？
经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式
相减，相同的项 就消去了，得到：．老师指出：这就是错位相减法，并要求学
s
64
?2
64
?1
生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？这个2是什么？

2、类比联想，解决一般化问题
2363

设等比数列
?
a
n
?
,首项为a
1
,
公比为q，
此时顺势引导学 生将结论一般化，
如何求前n项和s
n
？

因为
Sn
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
根据等比数列通项公式，上式可写成
S
n
?a
1
? a
1
q?a
1
q
2
??a
1
q
n ?1
（3）
如果将公比q乘（3）式的两边，可得
qS
n
?a
1
q?a
1
q
2
??a
1
q
n?1
?a
1
q
n
（4）
由（3）-(4)式，得
(1?q)S
n
?a
1
?a1
q
n

于是，当
q?1
时，等比数列的前n项和公式为


< br>a
1
(1?q
n
)
S
n
?
1?q< br>(q?1)

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探讨 3：这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是
什么数列？此时s
n< br>=？


当
q?1
时，
S
n
?na
1

探 讨4：结合等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q
n?1
,如何把用a
1
、a
n
、q表示出来？
（引导学生得出公式的另一 形式）
a
1
(1?q
n
)a
1
?a
1< br>q
n
a
1
?a
1
q
n?1
q
??
因为
S
n
?
，于是还可以写成
1?q1?q1?q



S
n
?
a1
?a
n
q
1?q
(q?1)
探讨5：比较前后两个等 比数列前n项和公式有何区别。（所需条件不同）
探讨6：比较倒序相加与错位相减有何异同。（数学思想相同，但错位方
式不同）
发散思维：等比数列的前n项和公式是否有其它的推导方法？
（1）引导同学们回忆等比数列 的定义：
q?
利用合分比定理推得：
q?
整理得：
S
n?
a
1
?a
n
q
1?q
a
2
a
3
a
4
???
a
1
a
2
a3
?
a
n

a
n?1
a
2
? a
3
?a
4
??a
n
S?a
?
n1

a
1
?a
2
?a
3
??a
n?1S
n
?a
n
(q?1)

（2）利用整体代入的思想：
S
n
?a
1
?a
2
?a
3
??a
n
?a
1
q
n?1
2
S
n
?a< br>1
?a
1
q?a
1
q
2
?
S
n
?a
1
?q(S
n
?a
n
)
S
n
?a
1
?q(a
1
?a
1
q?a
1< br>q??a
1
q
n?2
)

整理得：
S
n
?
a
1
?a
n
q
1?q
(q?1)< br>
3、利用所学公式解决课前故事中的问题

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由条件可知
a
1
?1q?2n?64
可得， < br>a
1
(1?q
n
)
1?(1?2
64
)S
n
???2
64
?1

1?q1?2
我们可 以计算出国王奖赏的小麦约为1.84×10
19
粒，大约7000亿吨，用这
么多小 麦能从地球到太阳铺设一条宽10米、厚8米的大道，大约是全世界一年
粮食产量的459倍，显然国王 兑现不了他的承诺．
4、例题讲解
例1：求下列等比数列前8项的和
1
,
1
,
1
,

(1) ???；

248
(2)a
1
?27,a
9
?1
,q?0

243
1
2
1
2
解：（1）因为
a
1
?,q?
，所以当
n?8
时，


1
?
1
8
?
1?（）
a1
(1?q)
2
?
2
?
??
?
255
;S
n
??
1
1?q256
1?
2
n （2）由
a
1
?27,a
9
?
11
，可得
?27?q
8

243243
1
q??
又由
q?0
，可得
3
1
8
??
27
?
1?（-）
3
?
??
?
1640
S?
于是，当
n?8
时，
n

1
81
1?(?)
3
三、练习：
1、根据下列各题中的条 件，求相应的等比数列
?
a
n
?
的前项和
11
( 1)a
1
?3,q?2,n?6;(2)a
1
??2.7,q??,a
n
?

390
2、如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它前
15项的和等于多少？
四、小结：本节课主要学习了等比数列的前n项和公式，要求同学们掌 握

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公式的形式，及其推导过程，能用错位相减的思想解决相关的问题。
五、作业：
课本61页习题2.5A组第一题
附加题：（2009辽宁卷）设等比数列{ }的前n 项和为，若
s
9
=（ ）
s
6
s
6
=3 ，则
s
3
（A） 2 （B） （C） （D）3
板书设计：

2.5等比数列前n项和
一、等比数列前n项和公式
7
3
8
3

当
q?1
时，
S?na

n1
S
n
?

a
1
(1?q)
1?q
a
1
?a
n
q
1?q
n
(q?1 )

(q?1)

S
n
?









《等比数列的前n项和》教案说明
为了让学生轻松的进入本堂课的学习，我选用古印度国际象棋的发明者向
国王所要小麦的故事做 为背景。利用多媒体节省时间扩大课堂容量，可使学生
学习的知识更加系统全面。
对教材中的内容我做如下处理：
1、由于本节课的难点就是公式的推导，因此我帮助学生回忆 等差数列的推
导方法，借助此思想对实例进行推导，再引导学生利用类比思想推导一般化的
结论 ，另外发散学生的思维，让学生寻找其它的推导方法，充分感受数学概念
形成过程中所蕴含的数学思想和 方法。同时让学生推导出前n项和公式的另外
表示形式，总结出知三求二的解题思想，培养学生的数学能 力。

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2、例题只选取书上的第一 道例，目的是让学生熟悉公式，灵活运用。之后
的能力训练中，我会给学生充足的时间，自主解题。练习 选用的是书上的课后
的两道练习，第一题目的是进一步巩固本节课所学知识，而第二题则稍有难度，让学生自由发挥，比较彼此做题的方法，怎样才是最好的解题方法，发现什么
规律，留做课后思考， 这也为下一节学习等比数列前n项和公式的有关性质做
一铺垫。
3、课后做业一道是基础题， 面对全体学生，一道是选做题，目的是让学有
余力的同学更有所提高。也体现因材施教，分层教学的思想 。
通过本节课的教学，学生基本掌握了等比数列前n项和公式的特点，理解
推导过程，完成教 学目标。但对于推导的方法能否灵活的运用到其它问题当中，
还有待于今后的练习巩固。