高中数学知识点精讲精析 两角和与差的正切

3.1.3 两角和与差的正切
tan(?+?)公式的推导
∵cos (?+?)?0
sin(
?
?
?
)
sin
?cos
?
?cos
?
sin
?
?
cos(?
?
?
)cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
tan(?+?)＝
当cos?cos??0时,

分子分母同时除以cos?cos?得：
tan
?
?tan
?tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
tan?

tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
tan
?

以?? 代?得：
其中
?
?R,
?
?R,
?
,
?< br>,
?
?
?
都不等于
两角和与差的正切公式
k
?
?
?
2
,k?Z


典型例题
1. 求下列各式的值：

1?tan75
?
?
1?
1?tan75
2? tan17?+tan28?+tan17?tan28?
【解析】
tan45< br>?
?tan75
?
???
?tan(45?75)?tan120?? 3
??
解：1?原式＝
1?tan45tan75

tan17?
?tan28
?
??
tan(17?28)?
??
1 ?tan17tan28
2? ∵
∴tan17?+tan28?＝tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)＝1? tan17?tan28?
∴原式＝1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?＝1

2. 在斜三角形△ABC中，求证：tanA+tanB+tanC＝tanA?tanB?tanC。
【解析】
证一：在△ABC中，∵A+B+C＝? ∴A+B＝??C
tanA?tanB
??tanC
1?tanAtanB
从而有 tan(A+B)＝tan(??C) 即：
∴tanA+tanB＝?tanC+tanAtanBtanC
即：tanA+tanB+tanC＝tanA?tanB?tanC
证二：左边＝ tan(A+B)(1?tanAtanB) +tanC＝tan(??C) (1?tanAtanB) +tanC
＝?tanC+ tanAtanBtanC+tanC＝tanAtanBtanC＝右边

tan
?
22
3. 已知sin(?+?)＝
3,sin(???)＝
5
求
tan
?
的值。

【解析】
22
解： ∵sin(?+?)＝
3
∴sin?cos?+cos?sin?＝
3
①
22
sin(???)＝
5
∴sin?cos??cos?sin?＝
5
②
8
①+②：sin?cos?＝
15

2
①?②：cos?sin?＝
15

8
sin
?
cos
?
15
tan
?
cos
?
sin< br>?
?
2
?4
?
tan
?
=
15