高中数学知识点精讲精析 椭圆1

2.2 椭圆
要点精讲
1．椭圆的第一定义

平面内与两定点F、F＇的距离的和等于常数2a的动点P的轨迹叫做椭圆。
即：│PF│+│PF＇│=2a
其中两定点F、F＇叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│FF＇│叫做椭圆的焦距。
2．椭圆的第二定义
平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点 F不在定直
线上，该常数为小于1的正数）
其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线。
椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭 圆上的点与椭圆短轴两端点连线的
斜率之积是定值可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k 的动点的轨迹是椭圆，
此时k应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况
3．标准方程


高中课本在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆 ，椭圆的标准方程中的“标准”指
的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时，标准方程为：x^2a^2+y^2b^2=1 (a>b>0)
2）焦点在Y轴时，标准方程为：x^2b^2+y^2a^2=1 (a>b>0)
其中a>0 ，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两
条对称轴，对称轴被椭圆所截 ，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半
轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上 ，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5，焦距与
长.短半轴的关系:b^2=a^2-c^2 ,准线方程是x=a^2c和x=-a^2c

又及：如果中心在原点，但焦点的 位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为
mx^2+ny^2=1(m＞0，n＞0，m≠n)。既标准 方程的统一形式。
椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：
x=acosθ ， y=bsinθ
标准形式的椭圆在x0，y0点的切线就是 ： xx0a^2+yy0b^2=1
4．公式
椭圆的面积公式
S=π(圆周率)×a×b(其中a,b分别是椭圆的长半轴,短半轴的长).
或S=π(圆周率)×A×B4(其中A,B分别是椭圆的长轴,短轴的长).
椭圆的周长公式
椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。
椭圆周长(L)的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如
L = ∫[0,π2]4a * sqrt(1-(e*cost)^2)dt≈2π√((a^2+b^2)2) [椭圆近似
周长], 其中a为椭圆长半轴,e为离心率
椭圆离心率的定义为椭圆上的点到某焦点的距离和该点到该焦点 对应的准线的
距离之比，设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则
e=PFPL
椭圆的准线方程
x=±a^2C
椭圆的离心率公式
e=ca(e<1,因为2a>2c)
椭圆的焦准距 ：椭圆的焦点与其相应准线(如焦点（c,0）与准线x=+a^2C)的
距离,数值=b^2c
椭圆焦半径公式 ｜PF1｜=a+ex0 ｜PF2｜=a-ex0
椭圆过右焦点的半径r=a-ex
过左焦点的半径r=a+ex
椭圆的通径： 过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的
距离，数值=2b^2a
点与椭圆位置关系 点M（x0，y0） 椭圆 x^2a^2+y^2b^2=1
点在圆内： x0^2a^2+y0^2b^2＜1

点在圆上： x0^2a^2+y0^2b^2=1
点在圆外： x0^2a^2+y0^2b^2＞1
直线与椭圆位置关系
y=kx+m ①
x^2a^2+y^2b^2=1 ②
由①②可推出x^2a^2+（kx+m）^2b^2=1
相切△=0
相离△＜0无交点
相交△＞0 可利用弦长公式：A(x1,y1) B(x2,y2)
|AB|=d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)(x1-x2)^2 = √(1+1k^2)|y1-y2| =
√(1+1k^2)(y1-y2)^2
椭圆通径（定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）公式：2b^2a
椭圆的斜率公式 过椭圆上x^2a^2+y^2b^2=1上一点（x，y）的切线斜率为b^2*Xa^2y
5．椭圆参数方程的应用
求解椭圆上点到定点或到定直线距离的最值时，用参数坐标可将问题转化为三角
函数问题求解
相关性质
由于平面截圆锥（或圆柱）得到的图形有可能是椭圆，所以它属于一种圆锥截线。
例如：有一个圆柱，被截得到一个截面，下面证明它是一个椭圆（用上面的第一
定义）：
将两个半径与圆柱半径相等的半球从圆柱两端向中间挤压，它们碰到截面的时候
停止，那么 会得到两个公共点，显然他们是截面与球的切点。
设两点为F1、F2
对于截面上任意一点P，过P做圆柱的母线Q1、Q2，与球、圆柱相切的大圆分别
交于Q1、Q2
则PF1=PQ1、PF2=PQ2，所以PF1+PF2=Q1Q2
由定义1知：截面是一个椭圆，且以F1、F2为焦点
用同样的方法，也可以证明圆锥的斜截面（不通过底面）为一个椭圆
椭圆有一些光学性质：椭圆的 面镜（以椭圆的长轴为轴，把椭圆转动180度形成
的立体图形，其外表面全部做成反射面，中空）可以 将某个焦点发出的光线全部反射

到另一个焦点处；椭圆的透镜（某些截面为椭圆）有汇聚 光线的作用（也叫凸透镜），
老花眼镜、放大镜和远视眼镜都是这种镜片（这些光学性质可以通过反证法 证明）。


典型例题
1 椭圆的一个顶点为
A
?< br>2，0
?
，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．
【解析】
0
?
为长轴端点时，
a?2
，
b?1
， （1）当
A
?
2，
x
2
y
2
??1
； 椭 圆的标准方程为：
41
0
?
为短轴端点时，
b?2
，
a?4
， （2）当
A
?
2，
x
2
y
2
??1
； 椭圆的标准方程为：
416
说明：椭圆的标准方程有两个，给出一 个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆
的横竖的，因而要考虑两种情况．
2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．
【解析】
a
2
1
?2c??2?
∴
3c
2
?a
2
，
c3
∴
e?
13
．
?
3
3
说明 ：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求
a
，求
c
，再求比．二 是列
含
a
和
c
的齐次方程，再化含
e
的方程，解方 程即可．
3 已知中心在原点，焦点在
x
轴上的椭圆与直线
x?y?1? 0
交于
A
、
B
两点，
M
为
AB
中 点，
OM
的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
【解析】
x
2
2
由题意，设椭圆方程为
2
?y?1
， a

?
x?y?1?0
?
2
由
?
x
2
，得
?
1?a
?
x
2
?2a
2
x?0
，
2
?
2
?y?1
?
a
x
1
?x
2
1?a
2
1
?
2
，
y
M
?1?x
M
?
∴
x
M
?，
2
1?a
2a
?
k
OM
?
yM
11
?
2
?
，∴
a
2
?
4
，
x
M
a
4
x
2
?y
2
?1
为所求． ∴
4
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线 与曲线的综合问题，经常要
借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
x2
y
?
9
?
0
?
的距离4椭圆
??1
上不同三点
A
?
x
1
，y
1
?
，
B
?
4，
?
，
C
?
x
2
，y
2
?
与焦点
F
?
4，
259
?
5
?
成等差数列．
（1）求证
x
1
?x
2
?8
；
（2）若 线段
AC
的垂直平分线与
x
轴的交点为
T
，求直线
BT
的斜率
k
．
证明：（1）由椭圆方程知
a?5
，b?3
，
c?4
．
由圆锥曲线的统一定义知：
2
AF
a
2
?x
1
c
?
c
，
a
∴
AF?a?ex
1
?5?
同理
CF?5?
4
x
1
．
5
4
x
2
．
5
9
，
5
∵
AF?CF?2BF
，且
BF?
∴
?
5?
?
?
4
??
4
?
18
x
1
?
?
?
5?x
2
?
?
，
5
??
5
?
5
即
x
1
?x
2
?8
．
（2）因为线段
AC
的中点为
?
4，
1
?
?
y?y
2
?
?
，所以它的垂直平分线方程为
2
?

y?
y
1
?y
2
x
1
?x
2?
x?4
?
．
?
2y
1
?y
2又∵点
T
在
x
轴上，设其坐标为
?
x
0
，0
?
，代入上式，得
2
y
1
2
?y
2

x
0
?4?

2
?
x
1
?x2
?
又∵点
A
?
x
1
，y
1
?
，
B
?
x
2
，y
2
?
都在椭圆 上，
9
25?x
1
2

25
9
22
25?x
2

y
2
?

25
9
22
?
x
1
?x
2
??
x
1
?x
2
?
． ∴
y
1
?y
2
??
25
2
∴ y
1
?
?
?
?
?
将此式代入①，并利用
x
1
?x
2
?8
的结论得

x
0
?4??
36

25
∴
k
BT
9
?0
5
?
5
?
．
4?x
0
4
2
x
2
y
5 已知椭圆
??1
，
F
1
、
F
2
为两焦点，问能否在椭圆上 找一点
M
，使
M
到左
43
准线
l
的距离< br>MN
是
MF
1
与
MF
2
的等比中项？若存在 ，则求出点
M
的坐标；若不存在，
请说明理由．
【解析】
假设< br>M
存在，设
M
?
x
1
，y
1
?，由已知条件得
a?2
，
b?3
，∴
c?1
，
e?
∵左准线
l
的方程是
x??4
，
∴
MN?4?x
1
．
又由焦半径公式知：
1
．
2
MF
1
?a?ex
1
?2?
1
x
1
，
2

MF
2
?a?ex
1
? 2?
∵
MN
2
1
x
1
．
2
?MF
1
?MF
2
，
2
∴
?
x
1
?4
?
?
?
2?
?
?
1
??
1
?
x
1
??
2?x
1
?
．
2
??
2
?
2
整理得
5x
1
?32x
1
?48?0
．
解之得
x
1
??4
或
x
1
??
12
． ①
5
另一方面
?2?x
1
?2
． ②
则①与②矛盾，所以满足条件的点
M
不存在．
说明：
（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．
（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一 般用分析法，即假设存在，根据已知条
件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （3）本例也可设
M2cos
?
，3sin
?
存在，推出矛盾结 论（读者自己完成）．
??
x
2
?
11
?
?y< br>2
?1
，求过点
P
?
，
?
且被
P< br>平分的弦所在的直线方程． 6 已知椭圆
2
?
22
?
分析一 ：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为
k
，利用条件求
k
．
解法一：设所求直线的斜率为
k
，则直线方程为
y?
整理得
11
??
?k
?
x?
?
．代入椭圆方程，并
22
??
?
1?2k
?
x?
?
2k
22213
?2kx?k
2
?k??0
．
22
?
2 k
2
?2k
由韦达定理得
x
1
?x
2
?< br>．
1?2k
2
∵
P
是弦中点，∴
x
1?x
2
?1
．故得
k??
所以所求直线方程为
2x?4 y?3?0
．
分析二：设弦两端坐标为
?
x
1
，y
1
?
、
?
x
2
，y
2
?
，列关 于
x
1
、
x
2
、
y
1
、
y
2
的方程组，从
1
．
2

而求斜率：
y
1
?y
2
． x
1
?x
2
?
11
?
?
22
?
解法二：设过
P
?
，
?
的直线与椭圆交于
A?
x
1
，y
1
?
、
B
?
x< br>2
，y
2
?
，则由题意得
?
x
1
2
2
?y，
1
?1
?
?
2
2
?< br>x
2
2
?
?y
2
?1，
?
2
?
x
1
?x
2
?1，
?
?
y
1
?y
2
?1.
①
②

③
④
2x
1
2
?x
2
2
?y
1
2
? y
2
?0
． ⑤ ①－②得
2
将③ 、④代入⑤得
1
y
1
?y
2
1
??
，即直 线的斜率为
?
．
2
x
1
?x
2
2
所求直线方程为
2x?4y?3?0
．
说明：
（1）有关弦中点的问题 ，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点
轨迹；过定点的弦中点轨迹．
（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．
（3）有关 弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲
线问题也适用．
7 求适合条件的椭圆的标准方程．
?6
?
； （1）长轴长是短轴长的2 倍，且过点
?
2，
（2）在
x
轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互 相垂直，且焦距为6．
x
2
y
2
2
分析：当方程有两种形 式时，应分别求解，如（1）题中由
2
?
2
?1
求出
a?1 48
，
ab
x
2
y
2
y
2
x2
??1
后，不能依此写出另一方程
??1
．
b?37
，在得方程
1483714837
2
【解析】