高一下学期数学数列能力提高题Word版含答

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南航附中高一下数列能力提高题
1.已知等差 数列{a
n
}的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为 .
2.已知等差数列{a
n
}中，a
7
+a
9
= 16，a
4
=1，则a
12
的值是 .
3.已 知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
4
=18-a
5
,则S
8
= .
4.在等比数列{a
n
}中，已知a
1
a
3
a
11
=8，则a
2
a
8
= .
5.已知{a
n
}是等比数列, a
2
=2,a
5
=
1
,则a
1
a
2
+a
2
a
3
+…+a
n
a
n+1
= .
4
6.数列{a
n
}满足a
1
, a
2
-a
1
,a
3
-a
2
,…,a
n
-a
n-1
是首项为1，公比为2的等比数列，那么
a
n
= .
7.等比数列{a
n
}中，a
20
+a
21
=10,a
22
+a
23
=20,则a
2 4
+a
25
= .
8.等差数列{a
n
} 中，S
n
是其前n项和，a
1
=-2 008，
S
2007
2007
-
S
2005
2005
=2，则S
200 8
的值为 .
9.把49个数排成如图所示的数表,若表中每行的7个数自左向右依 次都成等差数列,每列的7
个数自上而下依次也都成等差数列,且正中间的数a
44
= 1,则表中所有数的和为 .
a
11

a
21

?

a
12

a
22

?

?

?

?

?

a
17

a
27

?

a
71
A
72
a
77


10.将数列{3
n-1
}按“第n组有n个数”的规则分组如下：
（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是 .
11.已知数列{a
n
}的前n项和S
n
满足a
n+2S
n
S
n-1
=0 (n≥2),a
1
=
1
,
求
a
n
.
2






12.已知函数f（x） =2
x
-2
-x
，数列{a
n
}满足f（log
2
a
n
）=-2n.
（1）求数列{a
n
}的通项公式；
（2）求证：数列{a
n
}是递减数列.







14.已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足log
2
(1+S
n
)=n+1,求数列的通项公式.

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15.在数列 {a
n
}中，a
1
=
1
，a
n
=1-2
1
a
n?1
(n≥2,n∈N
*
)，数列{a
n
}的前n项和为S
n
.
（1）求证：a
n+3
=a
n
;(2）求a
2 008
.




16. 已知数列{a
n
}满足a
1
=4,a
n
=4-



17.设两个数列{a
n
},{b
n
}满足b
n
=
差数列.

18.已知数列{a
n
}中，a
1
=
3
，a
n
=2-
5
1
an?1
4
a
n?1
(n≥2),令b
n
=
1< br>a
n
?2
.求证：数列{b
n
}是等差数列.
a< br>1
?2a
2
?3a
3
?
?
na
n< br>1?2?3?
?
?n
，若{b
n
}为等差数列，求证：{a< br>n
}也为等
(n≥2,n∈N
*
),数列{b
n
} 满足b
n
=
1
a
n
?1
(n∈N
*
).
(1)求证：数列{b
n
}是等差数列；
（2）求数列{a
n
}中的最大项和最小项，并说明理由.






19.设S
n
是等差数列{a
n
}的前n项和，已知
1
S
3
，
1
S
4的等比中项为
1
S
5
;
345
1
3
S
3
，
1
S
4
的等差
4
中项为1，求数列 {a
n
}的通项
公式.
解 方法一 设等差数列{a
n
}的首项a
1
=a，公差为d，
则S
n
=na+
n(n?1)
d，依题意，有
2
2
?
1
?
3?2
?
1
?
4?3
?
1
?
5?4
?
?
?
3a?d
?
?
?
4a?d
?
?d
?
,
?
5a?
?
3
?
222
?
4
??
25
??

?
3?2
?
1
?
4?3
?
?
1< br>?
?
3
?
3a?
2
d
?
?
4
?
4a?
2
d
?
?1?2,
???
?< br>?
?
3ad?5d
2
?0,
整理得
?
?
5
2a?d?2,
?
2
?
∴a=1，d=0或a=4 ，d=-
12
.
5
∴a
n
=1或a
n
=
32
?
12
n
，
55

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经检验，a
n
= 1和a
n
=
32
?
12
n
均合题意.
5 5
∴所求等差数列的通项公式为a
n
=1或a
n
=
32?
12
n
.
55
20.已知公差大于零的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足：a
3
·a
4
= 117,a
2
+a
5
=22.
（1）求通项a
n
;
(2)若数列{b
n
}满足b
n
=
S
n
n?c
,是否存在非零实数c使得{b
n
}为等差数列？若存在，求出c的
值；若不存在，请说明理由.
答案 a
n
=4n-3 答案 15 答案 72 答案 4 答案
1< br>S
n
1
S
n?1
32
3
(1-4
- n
) 答案 2
n
-1 答案 40
答案 -2 008 答案 49 答案 3
4 950
解 ∵当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1
,∴S
n
-S
n-1
+2S
n
S
n-1
=0，
即-=2， ∴数列
?
2
1
S
1
?
1
?
?
是公差为
?S
n
?
1
S
n
2的等差数列.
1
2n
又S
1
=a
1
=
1
，∴=2，∴=2+（n- 1）·2=2n，∴S
n
=.
∴当n≥2时，a
n
=-2S
n
S
n-1
=-2·
1
·
2n
1
2(n?1)
=-
?
1
(n?1)
?
1
?
2
，∴a
n
=
?.
1
2n(n?1)
?
?(n?2)
?
2n(n?1 )
?


（1）解 ∵f（x）=2
x
-2
-x
，∴f（log
2
a
n
）=2
log
2a
n
-2
?log
2
a
n
=-2n，
即a
n
-
∴a
n
=
1
a
n
=- 2n.∴a
2
a
n
-1=0.
n
+2n·
，又a
n
＞0，∴a
n
=
n?1
2
?2n?4n
2
?4
2
n
2
?1
a
n?1
a
n
-n.
=
(n?1)
2
?1?(n?1)
n?1?n2
（2）证明 ∵a
n
＞0，且a
n
=
n
2
?1?n
(n?1)?1?(n?1)
2
-n,∴
=＜1.∴a< br>n+1
＜a
n
.即{a
n
}为递减数列.
S
n
13.已知在正项数列{a
n
}中，S
n
表示前n项和且2解 ∵2
4
S
n
=a
n
+1，求a
n
. =a
n
+1,∴S
n
=
1
(a
2
n< br>+2a
n
+1),
4
∴S
n-1
=
1(a
2
n?1
+2a
n-1
+1),∴当n≥2时，a
n
=S
n
-S
n-1

2
=
1
［（a
2
］，
n
-a
n ?1
）+2（a
n
-a
n-1
）
4
整理可得：（a
n
+a
n-1
）（a
n
-a
n-1
-2） =0，∵a
n
＞0，∴a
n
-a
n-1
=2，
当n=1时，a
1
=1,
∴{a
n
}是以1为首项，2为公差的等差数列.
∴a
n
=2n-1 (n∈N
*
).

解 S
n
满足log
2
(1+S
n
)=n+1,∴1+S
n
=2
n+1
,∴S
n
=2
n+1
-1.

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∴a
1
=3,a
n< br>=S
n
-S
n-1
=(2
n+1
-1)-(2
n
-1)=2
n
(n≥2),
∴{a
n
}的通项公式 为a
n
=
?
?
（1）证明 a
n+3
=1-1
a
n?2
?
3
n
?
?
2
( n?1),
(n?2).

1
1?
1
1?
1
a
n
=1-
1?
1
1
a
n?1
=1-=
1?
1
1
1?
a
n
?1
a
n
=1-
1
a
1?
n
a
n
?1
=1-
1
a
n
?1?a
n
a
n
?1=1-
1
?1
a
n
?1
=1-(1-a
n)=a
n
.∴a
n+3
=a
n
.
（2）解 由（1）知数列{a
n
}的周期T=3，a
1
=
1
，a2
=-1，a
3
=2.
2
又∵a
2 008
=a
3×669+1
=a
1
=
1
.∴a
2 008
=
1
.
22

证明 ∵a
n+1
-2=2-
∴
1
a
n?1
?2
4
a
n< br>=
2(a
n
?2)
a
n
∴
2
1a
n?1
?2
=
a
n
2(a
n
?2)
=
a
n
?2?2
2(a
n
?2)
=
1
+
2
1
a
n
?2

-
1a
n
?2
=
1
，∴b
n+1
-b
n< br>=
1
.∴数列{b
n
}是等差数列.
2

2
证明 由题意有a
1
+2a
2
+3a
3
+…+na
n
=
n(n?1)
b
n
，①
2
从而有a
1
+2a
2
+3a
3
+…+( n-1)a
n-1
=
n(n?1)
b
n-1
(n≥2), ②
由①-②，得na
n
=
n(n?1)
b
n
-
n(n?1)
b
n-1,整理得a
n
=
22
nd?b
n
?b
n?1< br>2
,
其中d为{b
n
}的公差(n≥2).
从而a
n+1
-a
n
=
(n?1)d?b
n?1
?b
n
2
2d?b
2
?b
1
2
-
nd?b
n
?b
n?1
2
=
2d?d
=
3
d(n≥2).
22
又a
1
=b
1
，a
2=
2
∴a
2
-a
1
=
2d?b
2?b
1
2
-b
1
=
2d?b
2
?b< br>1
2
=
3d
.
2
综上，a
n+1
-a
n
=
3
d（n∈N
*
）.所以{a
n
}是等差数列.
（1）证明 因为a
n
=2-
1
a
n? 1
(n≥2,n∈N
*
),b
n
=
1
a
n
?1
.
=
a
n?1
a
n?1
?1
所以当n≥2时，b
n
-b
n-1
=
1
1
-1
=-
1
a
n
?1
a
n?1
?1?
a
n?1
?1
1
?
?
2?
?
?1
?
a
n?1
?
??
-
1
a
n?1
?1
=1.
又b
1
=
1
a
1?1
=-
5
.所以，数列{b
n
}是以-
5
为 首项，以1为公差的等差数列.
22
2
1
b
n
（2）解 由（1）知，b
n
=n-
7
,则a
n
=1+
设函数 f(x)=1+
2
,易知
2x?7
=1+
7
2
2< br>.
2n?7
f(x)在区间(-∞, )和(
7
,+∞)内为减函数.
2
所以，当n=3时，a
n
取得最小值-1；

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当n=4时，a
n
取得最大值3.


解 （1）由等 差数列的性质得，a
2
+a
5
=a
3
+a
4
=22,所以a
3
、a
4
是关于x的方程x
2
-22x+ 117=0
的解，又公差大于零，所以a
3
=9,a
4
=13. < br>易知a
1
=1,d=4,故通项为a
n
=1+(n-1)×4=4n- 3.
(2)由(1)知S
n
=
n(1?4n?3)
=2n
2
-n,所以b
n
=
2
S
n
n?c
=2n?n
n?c
2
.
方法一 所以b
1
=
1
1?c
,b
2
=
6
2?c
,b
3
=
15
3?c
(c≠0).
?n
1
n?
22
令2b
2
=b
1
+b
3
,解得c=-
1
.当c=-
1
时，b
n
=
2n
22
= 2n,
当n≥2时，b
n
-b
n-1
=2.故当c=-
1
时，数列{b
n
}为等差数列.
2
方法二 当n≥2
=
2n
2
?n
2(n?1)
2
?(n?1)
时，b< br>n
-b
n-1
=
?
n?cn?1?c

2n
2
?(4c?2)n?3c
n
2
?(2c?1)n?c(c?1)< br>,欲使{b
n
}为等差数列，
2
只需4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1) (c≠0)解得c=-
1
.