高中数学线性相关关系-高中数学渗法总结
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《三角函数》
【知识网络】
应用
弧长公式
同角三角函数
诱导
应用
的基本关系式
公式
应用
三角函数的
角度制与
任意角的
任意角的概念
图像和性质
弧度制
三角函数
应用
和角公式
倍角公式
应用
差角公式
应用
一、任意角的概念与弧度制
1、将沿
x
轴正向的射线,围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角,顺时针旋转为负角,不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
计算与化简
证明恒等式
应用
已知三角函
数值求角
?
??
?
?
?k360
?
?
k?Z
?
?
x
轴上角:
?
??
?k180
?
?
k?Z
?
y
轴上角:
?
??
?90?k180
??
k?Z
?
3、第一象限角:
第二象限角:
第三象限角:
第四象限角:
?
?
0?k360
?
?<
br>90
?
?
?
?90?k360
?
?
?
k?Z
?
?k360
?
?
?
?180?k36
0
?
?
?
k?Z
?
?
?
?180?k360
?
?
270
?
?
?270?k360
?
?
?
k?Z
?
?k360
?
?
?
?360?k360
?
?
?
k?Z
?
4、区分第一象限角、锐角以及小于
90
的角
第一象限角:
锐角:
?
?
0?k360
?
?
?
?90?k360
?
?
?
k?Z
?
?
?
0?
?
?90
?
小于
90
的角:
?
??
?90
?
?
为第几象限角?
2
5、若
?
为第二象限角,那么
?
2
?2k
?
?
?
?
?
?2k
?
?
4
?k
?
?
?
2
?
?
2
?k
?
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??
5
?
3
?
k?0,?
?
?,
k?1,?
?
?,
4242
?
所以在第一、三象限
2
6、弧度制:弧长等于半径时,
所对的圆心角为
1
弧度的圆心角,记作
1rad
.
?
180?
7、角度与弧度的转化:
1???0.01745
1??57.30??57?18
?
180
?
8、角度与弧度对应表:
角度
弧度
0
?
30
?
45
?
60
?
90
120
?
135
?
150
?
180
?
360
?
0
?
6
?
4
?
3
?
2
2
?
3
3
?
4
5
?
6
?
2
?
9、弧长与面积计算公式
弧长:
l?
?
?R
;面积:
S?
二、任意角的三角函数
11
l?R?
?
?R
2
,
注意:这里的
?
均为弧度制.
22
y
xy
1、正弦:sin
?
?
;余弦
cos
?
?
;正切
tan
?
?
r
rx
其中
?
x,y
?
为角
?
终边上任意点坐标,
r?
2、三角函数值对应表:
度
0
弧度
0
P
(x,
y)
r
x
2
?y
2
.
?
30
45
60
90
120
135
150
180
270?
360
1
sin
?
0
2
3
cos
?
1
2
3
tan
?
0
3
3、三角函数在各象限中的符号
?
6
?
4
2
2
?
3
3
2
1
2
3
?
2
1
2
?
3
3
?
4
5
?
6
?
0
3
?
2
2
?
3
2
2
2
1
2
1
0
2
2
1
0
1
?
?
2
?
3
2
2
2
?3
?1
0
1
无
?1
?
3
3
0
无
0
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口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.(简记为“全s t c”)
sin
?
tan
?
cos
?
第一象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第二象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第三象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第四象限:
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
4、三角函数线
设任意角
?
的顶点在原点
O
,始边与x
轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与
P
(x,y)
,
过<
br>P
作
x
轴的垂线,垂足为
M
;过点
A(1,0)作单位圆的切线,它与角
?
的终边或其反向
延长线交于点T.
y
y
T
P
P
A
A
x
M
o
o
M
x
T
(Ⅱ)
(Ⅰ)
y
y
T
M
M
A
A
x
x
o
o
P
P
T
(Ⅲ)
(Ⅳ)
由四个图看出:
当角
?
的终边不在坐标轴上时,有向线段
OM?x,MP?y
,于是有
yyxx
??y?MP
,
co
?
s???x?OM
r1r1
,
yMPAT
tan
?
????AT
.
xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
sin
?
?
5、同角三角函数基本关系式
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sin
2
?
?cos
2
?
?1
tan
?
?
sin
?
?tan
?
cot
?
?1
cos
?
(sin
?
?cos
?<
br>)
2
?1?2sin
?
cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
co
s
?
(
sin
?
?cos
?
,
sin
?
?cos
?
,
sin
?
?cos
?
,三式之间可以互相表示)
6、诱导公式
n
?
?<
br>?
口诀:奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是
2
中整数
n
的奇偶性,把
?
看作锐角)
nn
??
2
n
?<
br>n
?
?
(?1)sin
?
,n为偶数
?
(?
1)
2
cos
?
,n为偶数
sin(?
?
)??
?
?
)?
?
;
cos(
.
n?1
n?1
22
?
(?1)
2
cos
?
,n为奇数?
(?1)
2
sin
?
,n为奇数
??
①.公
式(一):
?
与
?
?2k
?
,
?
k?Z<
br>?
sin(
?
?2k
?
)?sin
?;
cos(
?
?2k
?
)?cos
?
;
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
②.公式(二):
?
与
?
?
sin
?<
br>?
?
?
??sin
?
;
cos
?
?
?
?
?cos
?
;
tan
?
?
?
?
??tan
?
③.公式(三):
?
与
?
?
?
sin<
br>?
?
?
?
?
??sin
?
;
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
;
ta
n
?
?
?
?
?
?tan
?
④.公式(四):
?
与
?
?
?
sin<
br>?
?
?
?
?
?sin
?
;
cos<
br>?
?
?
?
?
??cos
?
;
tan
?
?
?
?
?
??tan
?
⑤.公式(五):
?
与
?
2
?
?
?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
;
cos
?
?
?
?
?
?sin
?
;
?
2
??
2
?
⑥.公式(
六):
?
与
?
2
?
?
?
???
?
?
sin
?
?
?
?
?cos<
br>?
;
cos
?
?
?
?
?sin
?<
br>;
?
2
??
2
?
⑦.公式(七):
?与
3
?
?
?
2
?
3
??
?
3
?
?
?
?
?
?sin
?
;
sin
?
?
?
?
??cos
?;
cos
?
?
2
?
?
2
?
⑧
.公式(八):
?
与
3
?
?
?
2
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?
3
?
??
3
?
?
sin
?
?
?
?
??cos
?
;
cos
?
?
?
?
??sin
?
;
?
2
??
2
?
三、三角函数的图像与性质
1、将函数
y?sinx
的图象上所有的点,向
左(右)平移
?
个单位长度,得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象;再将函
数
y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1
倍(纵坐标不变),得到函数y?sin
?
?
x?
?
?
?
的图象;再将函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象上所有点的纵坐标
伸长(缩短)到原来的
A
倍(横坐标不变),得到函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象。
2、函数
y?Asin
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
的性质:
①振幅:
A
;②周期:
T?
2
?
?;③频率:
f?
1
?
?
;④相位:
?
x??
;⑤初相:
?
。
T2
?
3、周期函数:一般地,对
于函数
f
?
x
?
,如果存在一个非零常数
T
,使得
定义域内的每一个
x
值,都满足
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
,那么函数
f
?
x
?
就叫
做周期函数,
T
叫做该函数的周期.
4、⑴
y?Asin(
?
x?
?
)
对称
轴:令
?
x?
?
?k
?
?
?
k
?
?
,得
x?
?
2
?
?
2
?
k
?
?
?
k
?
?
?
对
称中心:
?
x?
?
?k
?
,得
x?
,(,0)(k?Z)
;
?
?
k
?
?
??
x?
?
)
对称轴:令
?
x?
?<
br>?k
?
,得
x?
⑵
y?Acos(
;
?<
br>?
?
k
?
??
?
k
?
??
?
?
2
2
对称中心:
?
x?
?
?k
?
?
,得
x?
,
(,0)(k?Z)
;
2
?
?
⑶周期公式:
①函数
y?Asin(
?<
br>x?
?
)
及
y?Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
②函数
y?Atan
?
?
x??
?
的周期
T?
2
?
?
(A、ω、
?
为常数,且A≠0).
?
(A、ω、
?
为常数,且A≠0).
?
5、三角函数的图像与性质表格
函
数
性
质
y?sinx
y?cosx
y?tanx
图
像
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定
义
域
值
域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k?Z
??
2
??
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
k?Z
?
时,
R
?
2
?
k?Z
?
时,
最
值
y
max
?1
;
当
x?2k
?
?
?
2
?
k?Z
?
时,
y
max
?1;当
x?2k
?
?
?
既无最大值也无最小值
?
k?Z
?
时,
y
min
??1
.
?
y
min
??1
.
周
期
性
奇
偶
性
在
?
?
单
调
性
2
?
2
?
奇函数 偶函数 奇函数
?
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?
2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数; 在
?
在
?
?
?
?2k
?
,2k
?
?
?
k?Z
?
上是增函数;
在
?
2
k
?
,2k
?
?
?
?
?
k?Z
?
上是减函数.
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?
2
?
3
?
?
?
?
?2k
?
,?
2k
?
?
2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数.
?
k?Z
?
上是减函数.
对称中心
对
称
性
对称中心
?
k
?
,0
??
k?Z
?
对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k?Z
?
?
??
k?
?,0
?
?
k?Z
?
?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k?Z
?
对称
中心
?
?
k
?
?
,0
?
?
k?Z
?
?
2
?
无对称轴
6. 五点法作
y
?Asin(
?
x?
?
)
的简图,设
t?
?
x?
?
,取0、
再描点作图。
7.
y?Asin(?x??)
的的图像
3
?
?
、
?
、、
2
?
来求相应
x
的值以及对应的y值
22
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8.
函数的变换:
(1)函数的平移变换
①
y?f(x)?y?f(x?a)(a?0)
将
y?f(x)
图像沿
x
轴向左(右)平移
a
个单位
(左加右减)
②
y?f(x)?y?f(x)?b(b?0)
将
y?f(x)
图像沿
y
轴向上(下)平移
b
个单位
(上加下减)
(2)函数的伸缩变换:
①
y?f(x)?y?f(wx)(w?0)
将
y?f(x)
图像纵坐标不
变,横坐标缩到原来的
1
倍(
w?1
缩短,
w
0?w?1
伸长)
②
y?f(x)?y?Af(x)(A?0)
将
y?f(x)
图像横坐标不
变,纵坐标伸长到原来的A倍(
A?1
伸长,
0?A?1
缩短)
(3)函数的对称变换:
①
y?f(x)?y?f(?x)
)
将
y?f(x)
图像绕
y
轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于
x
轴对称)
②
y?f(x)?y?
?f(x)
将
y?f(x)
图像绕
x
轴翻折180°(整体翻折)
(对三角函数来说:图像关于
y
轴对称)
③
y?f(x)?y?f(x)
将
y?f(x)
图像在
y
轴右侧保留,并把右侧图像绕
y
轴翻折到左侧(偶函数局部
翻折)
④
y?f(x)?y?f(x)
保留
y?f(x)
在
x
轴上
方图像,
x
轴下方图像绕
x
轴翻折上去(局部翻动)
四、三角恒等变换
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1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
(1)
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
c
os
?
(2)
sin(
?
?
?
)?s
in
?
cos
?
?sin
?
cos
?
<
br>(3)
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
(4)
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin<
br>?
sin
?
(5)
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
tan
?
?ta
?
n?
1?tan
?
tan<
br>?
tn?
?
?
a
?
??
?1t<
br>?
an
?
?
tan
(6)
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
?
tan
?
?tan
?
?tan
?<
br>?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
1?tan
?
tan
?
(7)
asin?
?bcos
?
=
定,
sin
?
?
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其
中,辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
所在的象限决
a
a<
br>2
?b
2
,tan
?
?
b
,该法也叫合一变形).
a
b
a
2
?b
2
,co
s
?
?
(8)
1?tan
??
1?tan
??<
br>?tan(?
?
)
?tan(?
?
)
1?tan
?
41?tan
?
4
2.
二倍角公式
(1)
sin2a?2sinacosa
(2)
cos2a?cosa?sina?1?2sina?2cosa?1
2222
tan2a?
(3)
2tana
1?tan
2
a
3. 降幂公式:
cos
2
a?
(1)
4. 升幂公式
1?cos2a1?cos2a
2
(2)
sina?
22
2
(1)
1?cos
?
?2cos
(3)
1?sin
?
?(sin
(5)
sin<
br>?
?2sin
?
2
(2)
1?cos
?
?2sin
2
?
2
?
?cos)
2
(4)
1?sin
2
?
?cos
2
?
22
?
?
2
cos
?
2
5.
半角公式(符号的选择由
?
所在的象限确定)
2
sin
(1)
a1?cosa
a1?cosa
,
,
??cos??
22
22
(2)
学习必备
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tan
(3)
6. 万能公式:
(1)
s
in
?
?
a1?cosasina1?cosa
????
21?co
sa1?cosasina
2tan
?
2
,
(2)
cos
?
?
1?tan
2
1?tan
2?
?
2
,
2
1?tan
2
2tan
?
2
2
.
?
?
(3)
tan
?
?
1?tan
2
2
7.三角变换:
三角变换是
运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算、
化简的方法技能。
(1)
角的变换:角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,还可作添加、删除角的恒等变形
(2)
函数名称变换:三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:
asi
n
?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
其中
cos
?
?
31?(3)
22
a
a?b
22
,sin
?
?<
br>b
22
y?sinx?3cosx
a?b
,比如:
?1
2
?(3)
2
(
1
1?(3)
22
sinx?cosx)
13
??
?
?2(sinx?
cosx)
?2(sinxcos?cosxsin)
?2sin(x?)
22
3
33
2
(3)注意“凑角”运用:
??
?
?
?
?
?
?
?
,
?
?
?
?
?
?
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,
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1
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?
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?
??
例如:已知
?
、
?
?(
3
?
3
?
12
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,
?
)
,
sin(
?
?
?
)
??
,
sin(
?
?)?
,则
cos(
?
?)??
4413
54
(4)常数代换:在三角函数运算、求值、证明中有
时候需将常数转化为三角函数,特别是常数“1”可转化为
“
sin
?
?co
s
?
”
(5)幂的变换:对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理,有时需要升幂
例如:
1?cosa
常用升幂化为
有理式。
(6)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
(7)
结构变化:在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求
差
等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
(8)消元法:如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法
(9)思路变换
:如果一种思路无法再走下去,试着改变自己的思路,通过分析比较去选择更合适、简捷的方
法去解题目
。
(10)利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子:
sina?cosa
,
sinacosa
sina?cosa
,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元。
22
8.函数的最值
(几种常见的函数及其最值的求法):
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①
y?asinx?b
(或
acosx?b)
型:利用三角函数的值域,须注意对字母的讨论
②<
br>y?asinx?bcosx
型:引进辅助角化成
y?
2
a
2
?b
2
sin(x?
?
)
再利用有界性
③
y?asinx?bsinx?c
型:配方后求二次函数的最值,应注意
sinx?1
的约束
④
y?
asinx?b
型:反解出
sinx
,化
归为
sinx?1
解决
csinx?d
⑥
y?a(sinx?co
sx)?bsinx?cosx?c
型:常用到换元法:
t?sinx?cosx
,但
须注意
t
的取值范围:
t?2
。
9.三角形中常用的关系:
sinA?sin(B?C)
,
cosA??cos(B?C)
,
sin
sin2A??sin2(B?C)
,
cos2A?cos2(B?C)
10.
常见数据:
sin15??cos75??
AB?C
,
?cos<
br>22
6?2
,sin75??cos15??
6?2
,
44
tan15??2?3
,
tan75??2?3
,