高中理科数学公式大全(完整版)14720

高中数学公式大全（最新整理版）

§01. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系
x?A?x?C
U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
2.德摩根公式
C
U
(AIB)?C
U
AUC
U
B;C
U
(AUB)?C
U
AICU
B
.
3.包含关系
AIB?A?AUB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AIC
U
B???C
U
AUB?R

4.容斥原理
card(AUB)?cardA?cardB?card(AIB)
.
5 ．集合
{aL,a
n
1
,a
2
,
n
}的子集个数共有
2
个；真
子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；非空的真子
集有
2
n
–2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;
(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
7.一元二次方程的实根分布
依据：若
f(m)f(n)?0
，则方程
f(x)?0
在区
间
(m,n)
内至少有一个实根 .
设
f(x)?x
2
?px?q
，则
（1）方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
内有根的充要条件
?
p
2
?4
为
f(m)?0
或
?
q?0
?
?< br>p
；
?
?
2
?m
（2）方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
?
?
f(m)?0< br>f
f(m)f(n)?0
或
?
?
(n)?0
?
?
p
2
?4q?0
或
?
?
f(m)?0
?
f(n)?0
或
?
?
?
m??
p
2?n
?
?
f(n)?0
；
?
f(m)?0
（ 3）方程
f(x)?0
在区间
(??,n)
内有根的充要条件
?p
2
?4q?0
为
f(m)?0
或
?
?
?
?
?
p
2
?m
.
8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依
据
(1)在给定区间
(? ?,??)
的子区间
L
（形如
?
?
,
?
?
，
?
??,
?
?
，
?
?
,??< br>?
不同）上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数 )恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x?L)
.
(2 )在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二
次不等式
f(x,t)? 0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
man
? 0(x?L)
.
(3)
f(x)?ax
4
?bx
2
?c?0
恒成立的充要条件是
?
?
a?0
?
b?0
或
?
a?0
.
?
?
2
?
c?0
?
b?4ac?0
9.真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假

10.四种命题的相互关系
原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命
题互为逆否；
逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命
题互为逆否；
否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆
否命题互逆；
逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命
题互为逆否；
15.充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；
反之亦然.
§02. 函数
11.函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2< br>那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
f(x
1
)?f(x
2
)
x
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是增函数；
1
?x
2
(x
1
?x
2< br>)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
? 0?
f(x
1
)?f(x
2
)
x
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数.
1
?x
2
(2 )设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0，则
f(x)
为增函数；如果
f
?
(x)?0
，则f(x)
为减函数.
12.如果函数
f(x)
和
g(x)都是减函数,则在公共
定义域内,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果 函数
y?f(u)
和
u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,
则复合函数
y?f[g(x)]
是增函数.

13．奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y
轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，
那么这个函数是奇函数；如果一个函数的 图象关于y轴
对称，那么这个函数是偶函数．
14.若函数
y?f(x)
是 偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数
y?f(x?a)
是偶函
数，则
f(x?a)?f(?x?a)
.
15.对于函数
y?f( x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函
数
f(x)
的对称轴是函数
x?
a?b
2
;
两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图
象关于直线
x?
a?b
2
对称.
16若
f( x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关
于点
(a
2
,0)
对称;
若
f(x)??f(x? a)
,则函数
y?f(x)
为周期
为
2a
的周期函数.

17.函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)
?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的 图象关于直线
x?
a?b
2
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

?f(a?b?mx)?f(mx)
.
18.两个函数图象的对称性 < br>(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于
直 线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a )
与函数
y?f(b?mx)
的
图象关于直线
x?
a?b< br>2m
对称.
(3)函数
y?f(x)
和
y?f
?1
(x)
的图象关于直线
y=x对称.
19.若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单
位，得到函数
y?f( x?a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a
、上 移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
20．互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
21.若函数
y?f (kx?b)
存在反函数,则其反函数
为
y?
1
k
[f?1
(x)?b]
,并不是
y?[f
?1
(kx?b)
,而函
数
y?[f
?1
(kx?b)
是
y?
1k
[f(x)?b]
的反函数.
22.几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x?y)?f(x)?f(y),f(1)? c
.
(2)指数函数
f(x)?a
x
,
f(x?y)?f (x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.
(4)幂函数
f(x)?x
?
,
f(xy)?f(x)f(y),f
'
(1)?
?
.
(5)余弦函数
f(x)?cosx,正弦函数
g(x)?sinx
，
f(x?y)?f(x)f(y)?g(x)g (y)
，
f(0)?1,lim
g(x)
x?0
x
?1
.
23.几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a；
（2）
f(x)?f(x?a)?0
，
或
f(x?a)?
1
f(x)
(f(x)?0)
，
或
f(x?a)??
1
f(x)
(f(x)?0)
, 或
1
2
?f(x)?f
2
(x)?f(x?a),(f(x)?
?
0,1
?
)
,
则
f(x)
的周期T=2 a；
(3)
f(x)?1?
1
f(x?a)
(f(x)?0)，则
f(x)
的周
期T=3a；
(4)
f(x
)1
?x
2
)?
f(x
1
)?f(x
2
1?f(x(x
且
1
)f
2
)
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1
?x
2
|? 2a)
，则
f(x)
的周期T=4a；
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的
周期T=5a；
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期
T=6a.
24.分数指数幂
m
(1)
a
n
?
1
?
n
a
m
（a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
(2)
a
?m
n
?
1
?
m
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
a
n
25．根式的性质
（1）
(
n
a)
n
?a
.
（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
a,a?0
a,a?0
.
?
?
26．有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)
.

(2)
(a
r
)
s
?a
rs(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0，p是一个无 理数，则a
p
表示一个确
定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指
数幂都适用.
27.指数式与对数式的互化式

log
b
a< br>N?b?a?N
(a?0,a?1,N?0)
.

28.对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
loga
(< br>a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m
m?1< br>,

N?0
).
推论
log
n
n
a
m
b?
m
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1< br>,

N?0
).
29．对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log< br>M
a
N
?log
a
M?log
a
N
;
(3)
logM
n
a
?nlog
a
M(n?R )
.


§03. 数 列
30. 平均增长率的问题 < br>如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则
对于时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
.
31.数列的同项公式与前n项的和的关系
a
?
s
1
,n ?1
n
?
?
?
s
n
?s
n?1
, n?2
( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n?a
1
?a
2
?L?a
n
).
32.等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d? dn?a
1
?d(n?N
*
)
；
其前n项和公式为 s
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
n
?
2
?na
1
?
2
d

?
d2
n
2
?(a
1
1
?
2
d)n
.
33.等比数列的通项公式
a
n?1
n
?a
1q?
a
1
q
?q
n
(n?N
*
)；
其前n项的和公式为
?
a
1
(1?q
n
)
s
?
,q?1
n
?
?
1?q

?
?
na
1
,q?1
?
a
1
?a
n
q
或
s?
?
?
1?q
,q?1
n
.
?
?
na
1
,q?1
34.等比差数列
?< br>a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d, a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?a?
?
1
n
?
?
bq
n
?(d?b) q
n?1
?d
?
q?1
,q?1
；
其前n项和公式为
?
nb?n(n?1)d,(q?1)
s
?n
?
?
.
?
?
(b?
d
1?q)
1?q
n
q?1
?
d
1?q
n,(q?1)

§04. 三角函数
35．常见三角不等式
（1）若
x?( 0,
?
2
)
，则
sinx?x?tanx
.
(2) 若
x?(0,
?
2
)
，则
1?sinx? cosx?2
.
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
36.同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，
tan
?
=
sin
?
cos
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看
象限）

?
n
sin(
n
?
(n为偶数)
2
?< br>?
)?
?
?
(?1)
2
sin
?
,
?
n?1


?
(?1)
2
cos
?
,
(n为奇数)
(n为偶数)

cos(
n
?
?
n
?
(?1)
2
cos
?
,
2
?
?
)?
?

?
n?1

?
(?1)
2
sin
?
,
(n为奇数)
38.和角与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
m
tan
?
tan
?
.
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?si n
2
?
(平方正
弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
? sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan< br>?
?
b
a
).
39.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
co s2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2c os
2
?
?1?1?2sin
2
?

. tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?.

40.三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?< br>x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω
＞0)的周期< br>T?
2
?
?
；
函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?
?
2
, k?Z
(A,
ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
?
.
41.正弦定理
a
sinA
?
bc
sinB
?
sinC
?2R
.
42.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
43.面积定理
（1）
S?
1
2
ah?
1
2
bh
1
ab
?
2
ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别
表示a、b、c边上的高）.
（2）
S?
1
2
absinC?
1
bcsinA?
1
casinB
.
(3)
S
?OAB
?
1
2
(|
u
OA
uur
22
|?|
uOB
uur
|)
2
?(
u
OA
uur
?
u
OB
uur
)
2
.
44.三角形内角和定理
在△ABC中，有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)< br>?
C
2
?
?
2
?
A?B
2
?2C?2
?
?2(A?B)
.
45.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.
46.向量的数量积的运算律：
(1)
a
·b= b·
a
（交换律）;
(2)（
?
a
）·b=
?
（
a
·b）=
?
a
·b=
a
·（
?
b）;
(3)（
a
+b）·c=
a
·c +b·c.
47.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内的两个不共线向量，那
么对 于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ
1
、
λ
2
，使得a= λ
1
e
1
+λ
2
e
2
．
不共线 的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的
一组基底．
48．向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b?
0，则
a
P
b(b
?
0)
?x
1< br>y
2
?x
2
y
1
?0
.
49.
a
与b的数量积(或内积)
a
·b=|
a
||b|cosθ．
50. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的
投影|b|cosθ的乘积．
51.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1< br>)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则
a+ b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b =
(x
2
,y
2
)
，则
a-b=
(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)
u
设A
(x
1
,y
1
)< br>，B
(
AB
uur
x
2
,y
2
)< br>,则
?
u
OB
uur
?
u
OA
uu r
?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
，则
?< br>a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y< br>2
)
，则
a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
52.两向量的夹角公式
cos< br>?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x
2
?y
222
(
a
=
(x
1< br>,y
1
)
,b=
11
?x
2
?y
2
(x
2
,y
2
)
).
53.平面两点间的距离公式

d
uuuruuuru

AB
uur
A,B
=
|AB|?AB?

?(x< br>2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
21
)
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
).
54.向量的平行与垂直 设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，且b
?
0，则
A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x< br>2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0
.
55.线段的定比分公式
设< br>P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，
P
分点,
?
是实数，且
u
PP
uuruuur
(x,y)
是线段
PP
12
的
1
?
?
PP
2
，则
?
?
x
1
?
?
x
2
?
x??
1?
?
uuuruu
?
u
OP
uur
OP
ur
1
?
?
OP
2

?
y ?
?
y
?
2
1?
?
?
y?
1?
?
u
OP
uur
1?
?
?tOP
u uur
1
?(1?t)
u
OP
uur
2
（
t?
1
1?
?
）.
56.三角形的重心坐标公式
△A BC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
)
、
B (x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
,
y
1
?y
2
?y
333
)
.
57.点的平移公式
?
?
?
x
'
?x?h
?
?
x?
'
uuur
uuur
uuur
?
?y?k
?
?
x?h
?OP
'
?OP?PP
'
.
?
y
'
?
?
y?y
'
?k
注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形
F
'
上
的对应点为
P
'
(x
'
,y
')
uuur
，且
PP
'
的坐标为
(h,k)
.
58.“按向量平移”的几个结论
（1）点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点

P
'
(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移
后得到图 象
C
'
,则
C
'
的函数解析式为
y?f(x?h) ?k
.
(3) 图象
C
'
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,
若
C
的解析式
y?f(x)
, 则
C
'
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲 线
C
:
f(x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得< br>到图象
C
'
,则
C
'
的方程为
f(x?h, y?k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k )
平移后得到的向
量仍然为m=
(x,y)
.
59. 三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一 点，角
A,B,C
所对边
长分别为
a,b,c
，则
（1）
O
为
?ABC
的外心
?
u
OA
uur2
uuur
2
uuur
2
（2）
O
为
?ABC
的重心
?
u
OA
uur
?
?
u< br>OB?OC
.
OB
uur
?
u
OC
uur
?
r
0
.
?
u
（
OA
uur< br>3）
?
u
OB
uu
O
r
为
?
u
OB
u
?
ur
ABC
?
u
OC
uur
的垂心
?
u
OC
uur
?OA
uuur< br>.
（4）
O
为
?ABC
?aOA
uuur
?bOB
uuur
?cOC
uuur
的内心
?
r
0
.
（
?aOA
uu
5
ur
）
O
?bOB
u
为
uur
?ABC
的
?A
的旁心
?cOC
uuur
.

§06. 不 等 式
60.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
2
? b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时
取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
?
a?b
2
?ab
(当且仅当a＝b时
取“=”号)．
（3）
a
3
?b
3
?c
3?3abc(a?0,b?0,c?0).

（4）柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
61.极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有
最小值
2p
；
（2）若和
x?y
是定值
s
，则当
x?y
时积
xy
有最
大值
1
4
s
2
.
推广 已知
x,y?R
，则有
(x?y)
2
?(x?y)
2
?2xy

（1）若积
xy
是定值,则当< br>|x?y|
最大时,
|x?y|
最大；
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
（2）若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小；
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
62.含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
.
x?a? x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
63.无理不等式
?
f(x
（1）
f(x)?g(x)?
?
)?0
?
g(x)?0
.
?
?
f(x)?g (x)
（2）
?
f(x)?0
f(x)?g(x)?
?
?< br>g(x)?0
或
?
f(x)?0
.
?
?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
f(x)?0
（3）
f(x)?g(x)?
?
?
g(x)?0
.
?
?
f(x)?[g(x)]
2
64.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
log(x)?log
?
a
f
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
?
f(x)?g(x)
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
log)?log
?
a
f(x
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?g(x)

§07. 直线和圆的方程
65.斜率公式
k?
y
2
?y
1
x
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
2
?x
1

66.直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截
距).
（3）两点式
y?y
1
x?x
1
y
?
(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)

2
?y
1
x
2
?x
1(
x
1
?x
2
)).
(4)截距式
xy
a
?
b
?1
(
a、b
分别为直线的横、
纵 截距，
a、b?0
)