高中数学公式大全(可编辑打印)

高中数学公式大全
目录
1 集合与简易逻辑 ……………………………………………………………………………… 01
2 函数 …………………………………………………………………………………………… 02
3 导数及其应用……………………………………………………………………………………07
4 三角函数 ………………………………………………………………………………………09
5 平面向量…………………………………………………………………………………………10
6 数列 ……………………………………………………………………………………………11
7 不等式……………………………………………………………………………………………12
8 立体几何与空间向量 …………………………………………………………………………13
9 直线与圆 ………………………………………………………………………………………16
10圆锥曲线 ………………………………………………………………………………………18
11排列组合与二项式定理 ………………………………………………………………………19
12统计与概率 ……………………………………………………………………………………20
13复数与推理证明 ………………………………………………………………………………23
§01. 集合与简易逻辑
1. 元素与集合的关系
x?A?x??
U< br>A
，
x??
U
A?x?A
.
2．集合运算 全集U：如U=R
交集：
A?B?{xx?A且x?B}
并集：
A
补集：
?
U
A?{xx?U且x?A}

3．集合关系 空集
?
子集
A?B
:任意
x?B?{xx?A或x?B}

?A

B?A?A?B,A?B?B?A

B
A?x?B

A
注：数形结合---文氏图、数轴
4. 包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A
?AC
U
B? ??C
U
AB?R

5．集合
{a
1
,a
2
,

,a
n
}
的子集个数共有
2
n
个；真子集有
2
n
–1个；非空子集有
2
n
–1个；非空的真子集有
2
n
–
-1-

2个.
6. 真值表
ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
7. 常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于（小于等于） 至少有
n
个
至多有（
n?1
）个
小于 不小于（大于等于） 至多有
n
个
至少有（
n?1
）个
对所有
x
，成立 存在某
x
，不成立
p
或
q

?p
且
?q

对任何
x
，不成立 存在某
x
，成立
p
且
q

?p
或
?q

8. 四种命题
原命题：若p
则
q 逆命题：若q
则
p 否命题：若
?p
则
?q
逆否命题：若
?q
则
?p
原命题与逆否命题真假相同 否命题与逆命题真假相同
9. 充要条件
（1）充分条件：若
p?q
，则
p
是
q
充分条件.
（2）必要条件：若
q?p
，则
p
是
q
必要条件.
（3）充要条件：若
p?q
，且
q?p
，则
p
是< br>q
充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02. 函数
1. 函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2< br>那么
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
(x
1
)?f(x
2
)
2
)< br>?
?0
?
f
x
?0?f(x)在
?
a,b< br>?
上是增函数；
1
?x
2

-2-
< /p>

(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
f(x
1
)?f (x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上是减函数 .
x
1
?x
2
对于复合函数的单调性：
f
?（即
f
?
x
?
与
g
?
x
?< br>的增减性相同，那么符合函数就是增函数（同增）；
?
g
?
x
?
?
?
同增异减

f
?
x
?
与
g
?
x
?
的 增减性相反，那么符合函数就是减函数（异减））
(2)设函数
y?f(x)
在某个 区间内可导，如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为增函数； 如果
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函
数.
2．函数的奇偶性
判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
f(x)偶函数?
f(?x)?f(x)
?
f(x)图象关于
y
轴对称 < br>f(x)奇函数
?
f(?x)??f(x)
?
f(x)图象关于原点对 称
注：①f(x)有奇偶性
?
定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义
?
f(0)=0
对于复合函数：
f
?
?
g
?
x
?
?
?
内偶则偶，两奇为奇
奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么
这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
若 函数
y?f(x)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)
；若函数y?f(x?a)
是偶函数，则
f(x?a)?f(?x?a)

对 于函数
y?f(x)
(
x?R
),
f(x?a)?f(b?x)恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数
x?
两个函数
y?f(x?a)
与
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
a?b
;
2
a?b
对称.
2
若
f(x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(,0)
对称;
若
f(x)??f(x?a)
,则函数
y?f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
多项式函数< br>P(x)?a
n
x
n
?a
n?1
x
n?1< br>?
a
2
?a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项的系数全为零.（常数按偶次项看待)
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项的系数全为零.
3. 函数的周期性

T
是
f(x)
周期
?f(x?T)?f(x)
恒成立（常数
T?0
）
-3-
< /p>

（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T =a； （2）
f(x)?f(x?a)?0
，
或
f(x?a)?
1
1
(f(x)?0)
,
(f(x)?0)
， 或
f(x?a)??
f(x)
f(x)
4. 函数
y?f(x)
的图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
的 图象关于直线
x?a
对称
?f(a?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)
的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(x)< br>和
y?f
?1
a?b
对称
?f(a?mx)?f(b?mx)

2
(x)
的图象关于直线y=x对称.
若将函数
y ?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到函数
y?f (x?a)?b
的图象；若将曲线
f(x,y)?0
的
图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
互为反函数的两个函数的关系
?1
f(a)?b?f(b)?a
.

几中常见抽象函数原型
(1)
f(x?y)?f(x)?f(y ),f(1)?c
.正比例函数
f(x)?cx

(2)
f(x?y )?f(x)f(y),f(1)?a?0
.指数函数
f(x)?a

(3)
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1(a?0,a?1)
.对数函数
f( x)?log
a
x

(4)
f(xy)?f(x)f(y),f(1 )?
?
.幂函数
f(x)?x

(5），
fx(y?)?fxf()y()gxgy()?()
，
'
x
?
f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
. 余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx

x
5. 二次函数
解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
-4-

2
2

(3)零点式
f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在
x??
如下：
b
处及区间的两 端点处取得，具体
2a
b
b
?
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?f(?),f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
；
2a
2a
b

x???
?
p,q
?
，
f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?
，
f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a
b
(2)当a<0时，若
x???
?
p,q
?
，则
f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
，
2a
b

x???
?
p,q
?
，则
f(x)
max
?max
?
f(p ),f(q)
?
，
f(x)
min
?min
?
f( p),f(q)
?
.
2a
(1)当a>0时，若
x??
6. 指数函数与对数函数
y=a
x
与y=log
a
x

定义域、值域、过定点、单调性
？

注：y=a
x
与y=log
a
x图象关于y=x对称（互为反函数）
分数、指数、有理数幂

a?
m
n
1
n
a
m
（
a?0,m,n?N
，且
n?1
）；
a?
?
m
n
?
1
a
m
n
（a?0,m,n?N
，且
n?1
）.
?
?
a,a?0
.
(
n
a)
n
?a
；
当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； 当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?a,a?0
?
有理指数幂的运算性质

a?a?a
rs
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.

(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
rs
(ab)
r
? a
r
b
r
(a?0,b?0,r?Q)
.
注： 若a＞0 ，p是一个无理数，则a
p
表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数 幂
都适用.
-5-

指数式与对数式的互化式

log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N?0)< br>.

对数的换底公式
log
a
N?
log
m
N
loga
(< br>a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,< br>
N?0
).
m
推论
log
a
m
b
n
?
n
m
log
a
b
(
a? 0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
对数的四则运算法则
若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
a
(MN) ?log
a
M?log
a
N
;
(2)
log< br>M
a
N
?log
a
M?log
a
N
;
(3)
log
a
M
n
?nlog
a
M (n?R)
.
注：性质
log
a
1?0

log
a
a?1

a
lo
a
gN
?N

常用对数
lgN?l og
10
N
，
lg2?lg5?1

自然对数
lnN?log
e
N
，
lne?1

7. 函数图像与方程
描点法
函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）
取特殊点如零点、最值点等
图象变换
平移：“左加右减，上正下负”
y?f(x)?y?f(x?h)
伸缩：
y?f(x)?
每一点的横坐标变为原
??????
来的
?
?
?
倍
?y?f(
1
?
x)

对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”
y?f(x)?
x
??
轴
y??f(x)
y?f(x)?
y
??
轴
y?f(?x )

y?f(x)?
原点
???y??f(?x)
注：
y? f(x)
直线
?
x?a
y?f(2a?x)

翻折：
y?f(x)?
y?|f(x)|
保留
x
轴上方部分，

-6-

并将下方部分沿
x
轴翻折到上方
y
y
y=f(x)
y=|f(x)|
a
o
b
c
x< br>a
ox

b
c

y?f(x)?
y?f(|x|)
保留
y
轴右边部分，
并将右边部分沿
y
轴翻折到左边
y
y=f(x)
y
y=f(|x|)
a
o
b
c
x
a
o

b
c
x

零点定理
若
f(a)f(b)?0，则
y?f(x)
在
(a,b)
内有零点
（条件：
f(x)
在
[a,b]
上图象连续不间断）
注：①
f(x)
零点：
f(x)?0
的实根
②在
[a,b]
上连续的单调函数
f(x)
，
f(a)f(b)?0

则
f(x)
在
(a,b)
上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---
f(a)f(b)?0
？
§03. 导数及其应用
1．导数几何意义

f(x)
在点x
0
处导数
f
'
(x
0
)
：指点x
0
处切线 斜率
2．导数公式
(C)
?
?0
（C为常数）
(x
n
)
?
?n?x
n?1

(sinx)
?
?cosx

(cosx)
???sinx
(e
x
)
?
?e
x

(lnx)
?
?1x
'

(u?v)
'
?u?v
'
.

(uv )
'
?u
'
v?uv
'
.
?
u
?

?
u'v?uv'
'''
?
v
?
?
=
v
2

y
x
=
y
u
.
u
x

3．导数应用
单调性：如果
f
'
(x)?0
，则
f(x)
为增函数

-7-

'
如果
f(x)?0
，则
f(x)
为减函数
极大值点：在x
0
附近
f(x)
“左增右减↗↘”
极小值点：在x
0
附近
f(x)
“左减右增↘↗”
注
f
'
(x
0
)?0

求极值：
f(x)
定义域→
f(x)
→
f(x)
零点→列表：
''
x
范围、
f
'
(x)
符号、
f(x)
增减 、
f(x)
极值
求[a，b]上最值：
f(x)
在(a，b)内极值与?(a)、?(b)比较
4．三次函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d

f

(x)?3ax
2
?2bx?c

图象特征：“↗↘↗” “↘↗↘”
a?0,??0

a?0,??0

极值情况:
??0?f(x)
有极值
??0?f(x)
无极值
5．定积分
定理：
性质：
?< br>?
b
a
b
f(x)dx?F(b)?F(a)
其中
F
'
(x)?f(x)

b
a
?
kf(x)dx?k
?
a
b
a
f(x)dx
（k为常数）
bb
aa
f(x)?g(x)dx?
?
f(x)dx?
?
g(x)dx

应用：
② 直线x＝a，x＝b，x轴及曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成 曲边梯形面积
S?
?
b
a
f(x)dx

曲边梯形
②如图，曲线y
1
＝f
1
(x)，y
2
＝f
2
(x)在[a，b]上围成图形的面积S＝S
AMNB
－S
曲边梯形DMNC
＝
?

b
a
f
1
(x)dx ?
?
f
2
(x)dx
a
b



-8-

§04. 三角函数
1．特殊角的三角函数值
?

0
?
???
6

4

3

?

3
?
22

sin
?

0
1
1 0
2

2
3
?1

2

2

cos
?

1
3
1

2

0
2
2

2
?1

0
tg
?

0
3
1
3

0
3

2．弧长
l?
?
?r
扇形面积
S?
1
2
lr

3. 同角三角函数的基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?< br>?1
，
tan
?
=
sin
?
cos
?
，
tan
?
?cot
?
?1
.
4. 正弦、余弦的诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）；符号：“一正全、二正弦、三正切、四余弦”
5. 和差角公式

sin
?
(?
?
?) s
?
inc
?
o?s
?
cos
;
?

s

cos(
?
?
?< br>)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?< br>;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1tan
?
tan
?
.
6. 二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
ta n2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?
.
7. 辅助角公式

asin
?
?bco
?
s
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(其中
tan
?
?
b
a
，a要为正 ).
8. 正弦定理
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
.
9. 余弦定理

-9-

222
a
2
?b
2?c
2
?2bccosA
;（求边） cosA=
b?c?a
2bc
（求角）
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
10. 面积定理
（1）
S?
1
2
ah
11a
?
2
bh
b
?
2
ch
c
（
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的高） .
（2）
S?
1
2
absinC?
1
2
bcsinA?
1
2
casinB
.
11．三角函数的图象性质
y=sinx y=cosx y=tanx
图
象



单调性：
(?
?
,
?
)
增
(0,
?
)
减
(?
?
,
?
2222
)
增
sinx cosx tanx
值域 [-1，1] [-1，1] 无
奇偶 奇函数 偶函数 奇函数
周期
2π 2π π
对称轴
x?k
?
?
?
2

x?k
?

无
中心
?
k
?
,0
?

?
?
2?k
?
,0
?

?
k
?
2,0
?

注：
k?Z

§05. 平面向量
1. 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数，量那么
结合律：λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb.
2.平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
，则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.

-10-

(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y2
)
，则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(3)设A
(x
1< br>,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
),则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R< br>，则
?
a=
(
?
x,
?
y)
. < br>(5)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x< br>2
,y
2
)
，则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
3. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．
a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．
4. 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b
?
存在实数λ使a=λb．
P、A 、B
三点共线
?
AP||AB
?
AP?tAB
?
O P?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB
、
C D
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB 、CD
不共线.
5. 两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2
2
2
(a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
6. 向量的平行与垂直
设a=
(x
1< br>,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)< br>，且b
?
0，则
平行：
ab?
a?
?
b< br>?
x
1
y
2
?x
2
y
1
（
b?0
）
垂直：
a?b?a?b?0
?x
1
x< br>2
?y
1
y
2
?0

7. 三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y1
)
、
B(x
2
,y
2
)
、
C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
§06. 数 列
1. 等差数列
定义：
a
n?1
?a
n
?d
通项：
a
n
?a
1
?(n?1)d

求和：
S
n
?
中项：
b?
n(a
1
?a
n)
1

?na
1
?n(n?1)d

2
2
a?c
（
a,b,c
成等差）
2

-11-
性质：若
m?n?p?q
，则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

2. 等比数列
定义：
a
n?1
a
?q(q?0)
通项：
a
n?1
n
?a
1
q

n

?
na
1
(
求和：
S
?
q?1)
?
a
n
n
?
?
1
(1?q)

?
1?q
(q?1)

中项：
b
2
?ac
（
a,b,c
成等比）
性质：若
m?n?p?q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q

3. 数列通项与前
n
项和的关系
a
?
?
s1
?a
1
(n?1)
n
?
?
s?s(n?( 数列
{a
n
}
的前n项的和为
s
n
?aa
nn?1
2)
1
?
2
??a
n
).
4. 数列求通项常用几种方法
累加、累乘、取倒数、待定系数、构造辅助数列。（特征根法和不动点法）
5. 数列求和常用方法
公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法


§07. 不 等 式
1.常用不等式：
（1）
a,b?R
?
a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）
a,b?R
?
?
a?b
2
?ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
ab?(
a?b
2
)
2
(当且仅当a＝b时 取“=”号)．

备注：求最值条件是“一正、二定、三相等”

2. 柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.

（5）
a?b?a?b?a?b
.
3. 极值定理
已知
x,y
都是正数，则有
（1）若积
xy
是定值
p
，则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
；

-12-

（2）若和
x?y
是定值< br>s
，则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2s
.
4
2
4. 一元二次不等式
ax
2
?b x?c?0(或?0)
(a?0,??b
2
?4ac?0)
，如果
a
与
ax?bx?c
同号，则其解集在两
根之外；如果
a
与< br>ax
2
?bx?c
异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两 根之间.
5. 含有绝对值的不等式
当a> 0时，有
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a
.
x?a? x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
6. 无理不等式
?
f(x)?g(x)?
?
f(x)?0
?
f (x)?0
（1）
?
g(x)?0
. （2）
f(x)?g( x)?
?
?
g(x)?0
或
?
f(x)?0
. < br>?
?
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?[g(x )]
2
?
g(x)?0
?
f(x)?0
（3）
f( x)?g(x)?
?
?
g(x)?0
.
?
?
f(x)?[g(x)]
2
7. 指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
?
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
log
?
f(x)? 0
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
?
f(x)?g(x)
(2)当
0?a?1
时,
?
f(x)?0
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x )?g(x)
;
logf(x)?log
?
aa
g( x)?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?g(x)
§08. 立体几何与空间向量
1．三视图 正视图、侧视图、俯视图（长对正、高平齐、宽相等）
2．直观图 斜二测画法
?X
'
OY
''
=45
0

平行X轴的线段，保平行和长度 平行Y轴的线段，保平行，长度变原来一半
3．体积与侧面积
V
1
柱
=S
底
h V
锥

3
S V
4
=
底
h
球
=
3
πR
3


-13-

S
2
圆锥侧
=
?
rl
S
圆台侧
=
?
(R?r)l
S
球表
=
4
?
R

4．公理与推论 确定一个平面的条件：
①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点
③两相交直线 ④两平行直线
公理：平行于同一条直线的两条直线平行
定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
5. 平行的判定与性质
线面平行：
a
∥
b
，
b?
?
,a?
?
?
a
∥
?

?
a
a
∥
?
，
a?
?
,
?
?
??b?
a
∥
b

b
面面平行：
?
A B
∥
?
，
AC
∥
?
?
平面
ABC
∥
?

?
∥
?
，
a?
?
?
a
∥
?

6．垂直的判定与性质
线面垂直：
p?AB,p?AC?p?面ABC

面面垂直：
a?
?
,a?
?
?
?
?
?

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直；
若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
P
三垂线定理：
O
PO?
?
,AO?a?PA?a

A
?
a
PO?
?
,PA?a?AO?a

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直逆定理？
7．空间角、距离的计算
异面直线所成的角 范围（0°，90°] 平移法：转化到一个三角形中，用余弦定理
直线和平面所成的角 范围[0°，90°] 定义法：找直线在平面内射影，转为解三角形
二面角 范围[0°，180°]
定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形
点到平面的距离
体积法--用三棱锥体积公式

-14-

注：计算过程，“一作二证三求”，都要写出
8．立体几何中的空间向量解法
法向量求法：设平面ABC的法向量
n
=（x,y）
??
n?AB,n?AC

??
n?AB?0,n?AC?0
解方程组，得一个法向量
n


A

B


?

异面直线所成角
C

rr
rr
|a?b|
cos
?
?|cosa,b|
=
rr?
|a|?|b|
oo
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
x?y?z?x
2
?y
2
?z2
2
1
2
1
2
1
222

r r
（其中
?
（
0?
?
?90
）为异面直线
a,b
所成角，
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量）线面角 ：
AB?n
AB?n

直线与面的夹角
sin
?< br>?cos?n,AB??
（其中
n
是平面
?
的法向量，
AB
是平面
?
的一条斜线，
AB
与平面
?
所成的 角为
?
）

二面角：设
n
1
,n
2
是面
?
,
?
的法向量，二面角
?
?l?
?
的大小为
?
，则
cos
?
?cos?n
1
,n
2
?
或
?cos?n
1
,n
2
?

即二面角大小等于
?n
1
,n
2
?
或
?< br>??n
1
,n
2
?

点到面距离：
若n
是平面
?
的法向量，
AB
是平面
?
的一条斜 线段，且
B?
?
，
9．棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于 底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距
离与棱锥高的 平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的
比的 平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．
10. 球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直
径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
-15-

棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
66
a
,外接球的半径为
a
.

124
§09. 直线与圆
1. 倾斜角 范围
?
0,
?
?

注：直线向上方向与
x
轴正方向所成的最小正角，倾斜角为
90?
时，斜率不存在
2. 斜率公式

k?tan
?
?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
）.
x
2
?x
1
3. 直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式 < br>y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y< br>2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
(4)截距式
xy
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
4. 两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
? k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1
.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1< br>?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、 B
2
都不为零,
①
l
1
||l
2
?A
1
B
1
C
1
； ②
l
1
?l
2
?A
；
??
1
A
2
?B
1
B
2
?0
A
2
B
2
C
2
5．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过 定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x?x
0
),其中
k
是待定的系
数; 经过定点
P
0
( x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系数．
(2)共点直线系方程：经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1< br>y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
(A
1x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x? B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ 是待定的系数．
-16-

(3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线
Ax?By?C?0< br>平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0< br>)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A ≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变
量．
6. 距离公式
两点间距离：|AB|=
(x
1
?x2
)?(y
1
?y
2
)
22

点到直线距离：
7. 圆的四种方程
d?
|Ax
0
?B y
0
?C|
A?B
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?By?C?0
).
（1）圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
＞0).
222
?
DE
?
圆心
?
?,?
?
半径
r?
2
??
2D
2
?E
2
?4F

2
（3）圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y? y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1< br>)
、
B(x
2
,y
2
)
).
8. 圆系方程
22
(1)过直线
l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系方程是
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ 是待定的系数．
C
2
:
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的圆系方程是(2 ) 过圆
C
1
:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
??
(x
2
?y
2
?D
2
x?E
2y?F
2
)?0
,λ是待定的系数．
9. 点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有 三种
若
d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
，则
22
222
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点
P
在圆内.
10. 直线与圆的位置关系
222
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )?(y?b)?r
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
-17-

其中
d?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
.
11. 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2< br>，半径分别为r
1
，r
2
，
O
1
O
2
?d

d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
12. 圆的切线方程
已知圆
x
2
?y
2
?r
2
．
① 过圆上的
P
2
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
2
.
13. 直线截圆所得弦长（垂径定理）
2

AB?2r?d
2

备注：其中d表示圆心到弦AB的距离，r表示圆的半径。

§10. 圆锥曲线方程

1. 椭圆 |PF
x
2
y
2
1
|+|PF< br>2
|=2a(2a>|F
1
F
2
|) 标准方程：
a
2
?
b
2
?1(a?b?0)
.
焦半径：
PF
a
2
1
?e(x?
c
)
，
PF
a
2
2
?e(
c
?x)
.
中心原点 对称轴？ 焦点F
1
(c,0)、F
2
(-c,0)
顶点: (±a,0),(0, ±b) 范围: -a?x?a,-b?y?b
其中2a、2b表示长轴、短轴长
x
2
y
2
椭圆的切线方程
1(a?b?0)
上一点
P(x
x
0
xyy
a
2
?
b
2
?
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
a
2
?
0
b
2
? 1
.
2. 双曲线：|PF
x
2
y
2
1
|-|PF
2
|=±2a(0<2a<|F
1
F
2
|) 标准方程：
a
2
?
b
2
?1(a?0,b?0)

焦半径：
PF
1
?|e(?x
a
2
c
)
，
|PF
2
?|e(
a
2
c
?x)< br>.
|
中心原点 对称轴？ 焦点F
1
(c,0)、F
2
(-c,0)

-18-

顶点: 双曲线(±a,0) 范围：|x| ? a，y?R
其中2a、2b双表示实轴、虚轴长
双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
a
xy
xy
b
(2)若渐近线方 程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（??0
，焦点在x轴上，
??0
，焦点在y
abab
轴上）.
22
x
2
y
2
xxyy
双曲线的切线方程
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0< br>,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
3. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
顶点（原点） 对称轴（x轴） 开口（向右） 范围x?0 离心率e=1
2
pp
,0)
准线
x??

22

p
焦半径
CF?x
.
?
0
2
pp
焦点弦长
CD?x
1
?? x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22
焦点
F(
抛物线的切线方程
y?2px
上一点< br>P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0y?p(x?x
0
)

4. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?
2
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
或
AB?(1?k
2
) (x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1 ?cot
2
?
（弦端点A
(x
1
,y
1
) ,B(x
2
,y
2
)
，由方
程
?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx?c?0
，
??0
,
?
为直线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.

?
F(x,y)?0
§11. 排列组合、二项定理
1. 分类计数原理（加法原理）
N?m
1
?m
2
?
分步计数原理（乘法原理）
N?m
1
?m
2
?
2. 排列数公式
?m
n
.
?m
n
.
-19-

A
m
n
=
n(n?1 )?(n?m?1)
=
n！
(n?m)！
.(
n
，
m
∈N
*
，且
m?n
)．
注:规定
0!?1
.
3. 组合数公式
C
m
n
=
A
m
n
n(n?1)
?
(n?m?1)
n！
A
m
=
1?2?
?
?m
=
！?(n ?m)！
(
n
∈N
*
，
m?N
，且
m?n
).
m
m
组合数的几个性质
(1)
C
m
C
n?m
(2)
C
m
m?1m
012rnn
n
=
n

n
+
C
n
=
C
n?1
. (3)< br>C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?? ?C
n
?2
.
注:规定
C
0
n
?1
.
4．排列组合应用题
原则：分类后分步，先选后排，先特殊后一般
解法：相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”，特殊元素“定位法”，复杂问题“排除法”
5. 二项式定理
(a?b)
n
?C
0n1n?1
b?C
2n?22rn?rrnn
n
a?C
n
a
n
ab?
?
?C
n
ab?
?
?C
n
b
通项公式
T
rn?rr
r?1
?C
n
ab
(r?0，1，2?，n)
.
备注：
C
r
n
---第
r?1
项二项式系数
性质：所有二项式系数和为
2
n

中间项二项式系数最大
§12 概率与统计
1．古典概型：
P(A)?
m
A包含的基本事 件个数
n
（
总的基本事件个数
）
求基本事件个数：列举法、图表法
2．几何概型：
P
?
A
?
?
A的区域长度（面积或 体积）
区域总长度（面积或体积）

注：试验出现的结果无限个
3．常用抽样（不放回）
简单随机抽样：逐个抽取（个数少） 系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）
分层抽样：总体分成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）
4．用样本估计总体
众数： 出现次数最多的数据

-20-

中位数：按从小到大，处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）
平均数 ：
x?
1
n
?
n
x
方差
S
2?
1

n
?
n
i
(x
i
?x)
标准差
s
极差S=最大数-最小数

i?1

i?1
5．频率分布直方图
小长方形面积=组距×
频率
组距
=频率 各小长方形面积之和为1
众数—最高矩形中点的横坐标 中位数—垂直于
x
轴且平分直方图面积的直线与
x
轴交点的横坐标
6. 茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如
众数、中位数、平均数等

7. 互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
n
个互斥事件分别发生的概率的和 P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋…＋P(A< br>n
)．
8. 独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).
n个独立事件同时发生的概率 P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
)．

9．常用分布
两点分布
B(1,P)
：
E(?)?p

D(?)?p(1?P)

二项分布
B(n,P)
：
E(?)?np

D(?)?np(1?P)

P(??k)?
C
kkn?k
n
pq

超几何分布
H(N,M,n)
：
E(?)?n?
M
N

D(?)?n?
M
N
(1?
M
N
)?
N?n
N?1

P(??k)?
？
10. 数学期望
E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
??x
n
P< br>n
?

11. 方差
D
?
?
?
x
2
?
?
x
2
1
?E
?
??p
12
?E
?
?
?p?
2
?
?x
2
n
?E
?
?
?p
n
?

标准差
??
=
D
?
.
12.方差与期望的关系
D
?
?E
?
2
?
?
E
?
?
2
.
(x?
?
)
2
12. 正态分布密度函数
f(x)?
1
?
2
?
2
2
??
e ,x?(??,??)

性质：曲线在
x
轴上方、关于
x?
?
对称，曲线与
x
轴围成面积为1


-21-

频率组距
总体密度曲线
变量在区间
?
a,b
?内取值的概率等于
密度曲线与
x
轴、直线
x?a
、
x?b

所围成曲边梯形的面积

单位
O
a
b


y
标准正态分布曲线
f?x? =
?
1
x
22??
?
?e
-
?
2
图中
?
阴影部分 面积
表示概率
P(x?x
0
)



x

x
13.标准正态分布
N(0,1)
：
E
(?)?0,
D
(
X
)?1

P(??a)?
?
(a)
可查表
P(a???b)?
?
(b)?
?
(a)

a?0,
?
(a)?1?
?
(?a)

a?0,
?
(0)?0.5

正态分布
N(
?
,
?
2
)
：
E
(?)?
?
,
D
(
X
)?
?
2

P(??a)?F(a)?
?
(
a?
?
?
)

P(a???b)?F(b)?F(a)


P(X?a)?1?P(X?a)
.

14. 回归直线方程
?
n
?
?
n
x
i
?x
??
yi
?y
?
b?
?
?
i?1
?
x
i
y
i
?nxy
1
y?a?bx
，其中
?
n
?
i?
?
?
?
x
i
?x
?< br>2
n
x
2
?nx
2
.

?
i?1
?
i
i?1
?
a?y?bx


-22-

§13复数与推理证明
1．复数概念
复数：
z?a?bi
(a,b
?R)
，实部a、虚部b
分类：实数（
b?0
），虚数（
b?0
），复数集C
注：
z
是纯虚数
?a?0
，
b?0

共轭复数：
z?a?bi

模：
z?a
2
?b
2

z?z?z
2

复平面：复数z对应的点
(a,b)

2. 复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.（
a,b,c,d?R
）
3．复数运算
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bd
c
2
?d
2
?
bc?ad
c
2
?d
2
i(c?di?0)< br>.
乘方：
i
2
??1
，
i
n
?
i
4k?r
?i
r

4. 合情推理
类比：特殊推出特殊 归纳：特殊推出一般
演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论）
5．直接与间接证明
综合法：由因导果
比较法：作差—变形—判断—结论
反证法：反设—推理—矛盾—结论
分析法：执果索因

分析法书写格式：
要证A为真，只要证B为真，即证……，

-23-

这只要证C为真，而已知C为真，故A必为真
注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程
5．数学归纳法：
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(k?N* ，k?1)时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立
由(1)(2)知这命题对所有正整数n都成立
注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用











-24-