职业高中常用数学公式

职业高中常用数学公式
一、 解不等式
﹡1、一元二次不等式：
(a?0,x
1
,x
2
是对应一元二次方程的两根)

判别式
一元二
次不等
式的解
集
2
△﹥0 △=0
?b

}
2a
△﹤0
ax?bx?c?0

{x|x?x
1
或x?x
2
}

{x|x?
R

ax
2
?bx?c?0

{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

﹡2、分式不等式：


⑴
ax?b
?0
cx?d
?
(ax?b)(cx?d)?0

(ax?b)(cx?d)?0
?
?

?
?
cx?d?0
⑵
ax?b
?0
cx?d
ax?b
?0
cx?d
⑶
?
(ax?b)(cx?d)?0

(ax?b)(cx?d)?0
?
?

?
?
cx? d?0
⑷
ax?b
?0
cx?d
﹡3、绝对值不等式：(
c
> 0 )
⑴
|ax?b|?c
?
?c?ax?b?c

?
ax?b??c或ax?b?c

?
?c?ax?b?c

?
ax?b??c或ax?b?c

⑵
|ax?b|?c
⑶
|ax?b|?c
⑷
|ax?b|?c
二、函数部分

1、 几种常见函数的定义域
⑴整式形式：
?
f(x)?a x?b
?
一元一次函数：
定义域为R。
2
f(x)?ax?bx? c
?
一元二次函数：
g(x)
﹡⑵分式形式：
F(x)?
f (x)
要求分母
g(x)?0
不为零
﹡⑶二次根式形式：
F(x)?f(x)
要求被开方数
f(x)?0

⑷指数函数：
y?a
x
(a?0且a?1)
，定义域为R
﹡⑸对数函数：
y?log
a
x(a?0且a?1)
，定义域为（0，+∞）
对数形式的函数：
y?log
a
f(x)
，要求
f(x )?0

⑹三角函数：
?
?
正弦函数：y?sinx的定义域为R
?

?
余弦函数：y?cosx的定义域为R
?
?
?
正切函数：y?tanx的定义 域为{|x|x?k
?
?,k?Z}
2
?
⑺几种形式综合在一起的， 求定义域即在求满足条件的各式解集的交
集。
2、常见函数求值域
⑴一次函数
f(x)?ax?b
：值域为R
﹡⑵一元二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
： ?
4ac?b
2
当a?0时，值域为{y|y?}
?
?
4a

?
2
?
当a?0时，值域为{y|y?
4ac?b< br>}
?
4a
?
﹡⑶形如函数
f(x)?
a
ax ?b
（其中
a
为分
(cx?d?0)
的值域：
{y|y?}
，
c
cx?d
子中
x
的系数，
b
为分母中
x
的系数）；

⑷指数函数：
y?a
x
(a?0且a?1)
值域为（0，+∞）
⑸对数函数：
y?log
a
x(a?0且a?1)
，值域为R
⑹三角函数：
1]
?
?正弦函数：y?sinx的值域为[?1，
?
1]

?
?余弦函数：y?cosx的值域为[?1，
?
正切函数：y?tanx的 值域为R
?
﹡
函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的值域为[-A,A]
3、函数的性质
﹡ ⑴奇偶性
①
?
?
奇函数：f(?x)??f(x),图像关于原点对称
?
偶函数:f(? x)?f(x),图像关于y轴对称

②判断或证明奇偶函数的步骤：
第一步：求函数的定义域，判断是否关于原点对称
第二步：如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数；如果
对称，则求
f(?x)

第三步：若
f(?x)??f(x)
，则函数为奇函数
若
f(?x)?f(x)
，则函数为偶函数
﹡⑵单调性
①判断或证明函数为单调增、减函数的步骤：
第一步：在给定区间（如果没给定，一定要先求 函数的定义域）
内任取
x
1
、
x
2
且
x< br>1
<
x
2
。
第二步：做差
f(x
1
)?f(x
2
)
变形整理；
f(x
1
)?f(x
2
)?0，为减函数
第三步：
?

?
?
f(x
1
)?f(x
2
)?0， 为增函数

②几种常见函数形式的单调区间：
一次函数
f(x)?ax?b
：
??）上单调递增
?
当a?0时，在（-?，

?
??）上单调递减
?
当a?0时，在（-?，
二次函数
f(x)?ax? bx?c(a?0)
：
-b-b
?
当a?0时，在（-?，)上单调递减, 在（,??)上单调递增；
?
2a2a
指数
?
-b-b
?
当a?0时，在（-?,)上单调递增,在(,??)上单调递减。
2a2a
?< br>2
函数
y?a
x
(a?0且a?1)
?
对数函数
?
a?1，在(??,??)上单调递增
??）上单调递减
?
0?a ?1，在（-?，

y?log
a
x(a?0且a?1)
?
?
a?1，在(0,??)上单调递增
??）上单调递减
?
0?a?1，在（ 0，

⑶周期性（主要针对三角函数）
?
正弦函数：y?sinx的最小正周期为2
?
﹡①
?
?
余弦函数：y?cosx的最小正周期为2
?

?
正切函数：y?tanx的最小正周期为
?
?
﹡②函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的最小正周期
T?
﹡4 、反函数
⑴原函数与反函数的关系：
2
?
?

① 原函数的定义域是反函数的值域；原函数的值域是反函数的定义
域
② 原函数与反函数的图像关于
y?x
对称
⑵求反函数的步骤：

第一步：求原函数的值域，它是反函数定义域；
第二步： 由
y?f(x)
解析式求出
x?f
?1
(y)

第 三步：对换
x
y
得到反函数
y?f
?1
(x)
注明 它的定义域
⑶掌握几种常见的函数的反函数求法：
① 求一元一次函数
y?ax?b
的反函数
② 求形如
y?
ax?b
函数的反函数
cx?d
﹡三、指数部分与对数部分常用公式
1、指数部分：

⑴有理指数幂的运算法则：
①
a
r
rsr?s
?a
s
?a
r?s
②
(a)?a
③
(a?b)
r
?a
r
?b
r

⑵分数指数幂与根式形式的互化：
①
a?a
②
a
n
m
m
n
?
m
n
?
1
n
a
m
(m、n?N*,且n?1)

⑶一些其它结论：
0
①
a?1
②
(
n
a)
n
?a
③
n
a
n
?
?
?
a,当n为奇数

|a|，当n为偶数
?
2、对数部分：

⑴
l og
a
a?1
；⑵
log
a
1?0
；⑶对数恒等式：
a
log
a
N
?N
。
⑷
log
a
(M?N)?log
a
M?log
a
N< br>
⑸
log
a
(
M
)?log
a
M ?log
a
N
；
N
p
⑹
log
a
M?plog
a
M

log
c
b

log
c
a
⑺换底公式：
log
a
b?

﹡四、三角部分公式

1、弧度与角度
⑴换算公式：180
0
=
?
，1
0
=
1rad=
180
0
?
rad
180?
?
57
0
18
'
=57.30
0

l
（在这里
R
⑵弧长、圆心角与半径之间关系式：
|
?< br>|?
?
为弧度，
l
为弧长，
R
为半径）
2 、角
?
终边经过点P
(x,y)
，
r?x
2
?y< br>2
，则

sin
?
?
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?

rrx
2、 三角函数在各象限的正负情况：
sin
?

+ +
－ －
三角函数值的符号
cos
?

－ +

－ ＋
tan
?

－ +

＋ －
4、同角函数基本关系式：
平方关系
sin
2
?
?cos
2
?
=1
sin
?
?1?cos
?

22
倒数关系 商数关系
sin
?

cos
?
cos
?
⑵
cot
?
?

sin
?
tan
?
·
cot
?
=1
1

cot
?
1

cot
?
=< br>tan
?
⑴
tan
?
?
tan
?
=
cos
2
?
?1?sin
2
?

5、简化公式：
?
sin(?
?
)??sin
?
?

①
?
cos(?
?
)?cos
?
②
?
tan(?
?
)??tan
?
?
?
sin(2
?
?
?
)??sin
?
?
?
c os(2
?
?
?
)?cos
?

?
tan (2
?
?
?
)??tan
?
?

?< br>sin(
?
?
?
)?sin
?
?
③
?
cos(
?
?
?
)??cos
?
④
?
tan(
?
?
?
)??tan
?
?
?
sin(
?
?
?
)??sin
?
??
cos(
?
?
?
)??cos
?

?
tan(
?
?
?
)?tan
?
?
??
sin(?
?
)?cos
?
?
?
sin(2 k
?
?
?
)?sin
?
2
?
?
?
⑤
?
cos(2k
?
?
?
)?cos
?< br>（k
??
）⑥
?
cos(?
?
)?sin
?

?
2
?
tan(2k
?
?
?
) ?tan
?
?
?
?
tan(
?
?
?
)?cot
?
?
2
?
6、两角和与差的正弦、余弦、正切：
⑴两角和与差的正弦：
sin(
?
?
?
)?sin?
cos
?
?cos
?
sin
?

s in(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?c os
?
sin
?

⑵两角和与差的余弦：
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

⑶
两角和与差的正切：
tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?
)?
7、二倍角公式：
⑴二倍 角的正弦：
sin2
?
?2sin
?
cos
?

tan
?
?tan
?

1?tan
?
ta n
?
tan
?
?tan
?

1?tan
?
tan
?

⑵二倍角的余弦：
c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?

=
1?2sin
2
?
=
2cos
2
?
?1

⑶二倍角的正切：
tan2
?
?
8、解斜三角形：
2tan
?
1?tan
2
?

b
2
?c
2
?a
2
⑴余弦定理：
a?b?c?2bccosA
；
cosA?

2bc
222
222
a?c?b

b< br>2
?a
2
?c
2
?2accosB
；
cos B?

2ac
a
2
?b
2
?c
2

c?a?b?2abcosC
；
cosC?

2ac
222
abc
??
⑵正弦定理：
sinAsinBsinC
五、几何部分
1、 向量
⑴几何形式的运算：
??
?
?
三角形法则：AB?BC?AC
①< br>加法：
?

??
?
AB?AD?AC
?
平行 四边形法则：
?
??
②
减法：三角形法则AB?AC?CB

????
|
?
a|?|
?
|?|a|
?
当
?
?0,
?
a与a同向，
?
?
??
?
当
?
?0,
?
a?0?a?0
③
数乘向量：
?
a?
?

????
?
当
?
?0,
?a与a反向，|
?
a|?|
?
|?|a|
?
?
?
?
?
④向量的数量积：
a?b?|a|?|b|?cos
?
（其中
?
为两个向量的夹角）
?
?
﹡ ⑵代数方式的运算：设< br>a?(a
1
,a
2
)
，
b?(b
1,
b
2
)
，
?
?
①加法：
a?b?(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
)

?< br>?
②减法：
a?b?(a
1
?b
1
,a
2< br>?b
2
)

?
③数乘向量：
?
a?(
?
a
1
,
?
a
2
)

< br>?
?
④向量的数量积：
a?b?a
1
b
1
? a
2
b
2
（结果为实数）
?
?
⑶两个向量平行与 垂直的判定：设
a?(a
1
,a
2
)
，
b?(b< br>1,
b
2
)
，
?
?
?
?
b?
?
a
b
a
??
a
1
b
2?a
2
b
1
①平行的判定：∥
?
?
?
?
②垂直的判定：
a
⊥
b
?
a?b?0
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?0

?
?
⑷其它公式：设
a?(a
1
,a
2)
，
b?(b
1,
b
2
)

?
22
①向量的长度：
|a|?a
1
?a
2
?
|
AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2< br>?y
1
)
2

﹡③设
M
(

?
﹡②设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
,y< br>2
?y
1
)
；
A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
,y
2
)
，则线段AB的中点M的坐标为
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)

22
﹡④两个向量的夹角为
?
?
?
a?b
，则cos
?
?
?
?
?
|a||b|
a
1
b
1
?a
2
b
2
a
1
?a
2
22
b
1
?b
2
'
22

⑤ 平移公式：图形F上点P（x,y）对应平移后的图形
F
上的点
'
?
x?x?h
?
'''
'
P(x,y)
平移向量
PP?(h, k)
，则
?
'

?
y?y?k
2、 直线部分
⑴斜率公式：①
k?tan
?
(
?
为直线的倾斜角，
?
?90
0
）

②
k?
y
2?y
1
(x
1
?x
2
)

x
2
?x
1
⑵直线方程的形式：
① 点斜式：
y?y
0
?k(x?x
0
)
（
k
为斜率，
(x
0
,y
0
)
为直线过的
点）；

② 斜截式：
y?kx?b
（
k
为斜率，
b
为直线在
y
轴上的截距）；
③ 一般式：
Ax?By?C?0(A ?0)
（斜率
k??
⑶两条直线平行或垂直的条件：
① 两条直线斜率为< br>k
1
,k
2
，且不重合则
l
1
∥
l
2
?
k
1
?k
2

② 两条直线的斜率为
k
1
,k
2
，则
l
1
⊥
l
2
?
k
1
?k
2
??1

⑷两条直线的夹角公式（设夹角为
?
）：
①
k
1
?k
2
时，
l
1
∥l
2
，夹角
?
=
0
0
；
②k
1
?k
2< br>??1时，
l
1
⊥l
2
，则夹角
?
=90
0
；
③
tan
?
?|
k
1
?k
2
|
（
k
1
?k
2
?? 1
）
1?k
1
k
2
AC
,b??
） < br>BB
⑷点
(x
0
,y
0
)
到直线
A x?By?C?0
的距离公式：

d?|
Ax
0
?By
0
?C
|

22
A?B
⑸两平行线
l
1
:Ax?By?C
1
? 0
与
l
2
:Ax?By?C
2
?0
间距离

d?|
C
1
?C
2
|

22
A?B
3、圆部分
⑴圆的方程：
① 标准方程：(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
(其中圆心为(a,b)
，半径为
r
)
② 一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
（其中圆心为
(?
为
r?< br>D
2
?E
2
?4F
）
2
DE
,? )
，半径
22

?
相交
?
⑵直线与圆的位置关系
?
相切
，判定方法有两种：
?
相离
?
① 代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消元后得一二元一次 方
?
??0时，直线与圆相交
?
程。当
?
??0时，直线与 圆相切

?
??0时，直线与圆相离
?
② 几何法：先求圆心到直线 的距离
d
，由
d
与半径
r
的大小情况来判
?
d?r，直线与圆相离
?
定
?
d?r，直线与圆相切

?
d?r，直线与圆相交
?
4、椭圆部分
⑴定义式：
|MF
1
|?|MF
2
|?2a(2a?|F
1
F
2
|)

⑵椭圆的标准方程与性质：
焦点位置
图象
焦点在
x
轴上

y

焦点在
y
轴上

y





0

0
0
x




x




椭圆的标
准方程
焦点坐标
顶点坐标
其它

x
2
y
2
??1(a?b?0)

a
2< br>b
2
y
2
x
2
??1(a?b?0)

a
2
b
2
(?c,0)

(?a,0)
、
(0,?b)

(0,?c)

(?b,0)
、
(0,?a)

长轴长：
2a
；短轴长：
2b
；焦距：
2c

长半轴长：
a
； 短半轴长：
b

焦半距：
c

5、双曲线部分

⑴定义式：
||MF
1
|?|MF
2
||?2a(2a?|F
1
F
2
|)

⑵双曲线的标准方程与性质：
6、抛物线部分 < br>⑴抛物线定义：平面内到定点F与定直线
l
的距离相等的点的轨迹为
抛物线。（ 定点F为焦点，定直线
l
称为准线）
⑵抛物线的标准方程、图像、焦点坐标、准线方程：（p>0）
标准方程 图像

y

焦点坐标 准线方程
y
2
?2px

l

0 F
x


p
F(,0)

2
x??
p

2
y
2
??2px


y


l

F 0
x


F(?
p
,0)

2
x?
p

2
x
2
?2py


y

F
0
x

p
F(0,)

2
y??
p

2
l

x
2
??2py


y

l

0
x

F

p
F(0,?)

2
y?
p

2

六、数列

?
s
1
(n?1)
1、 已知前
n
项和公式
S
n
：
a
n
?
?

s?s(n?2,n?Z)
n?1
?
n
2、 等差数列：
⑴通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
（
a
1
是首项；
d
为公差

n
为项数；
a
n
为通项即第
n
项）
a?b
(或2A?a?b)

2
⑵等差公式：a，A，b三数成等差 数列，A为a与b的等差中项，
则
A?
⑶前
n
项和公式：
①
S
n
?a
1
n?
n(n?1)
d（已知
a
1
,d,n
时应用此公式）
2
②
S
n
?
n(a
1
?a
n
)
（已知
a
1
,a
n
,n
时应用此公式）
2
③特殊地：当数 列为常数列
a,a,a,
----时，
S
n
?na

3、等比数列：
⑴通项公式：
a
n
?a
1
q
n?1

⑵等比中项公式：若a，A，b三数成等比数列，则A为a与b
2
的等比中项，则
A? a?b(或A??a?b)

⑶前
n
项和公式：
a
1
(1?q
n
)
①
S
n
?(q?1)
（已知
a
1
,q,n
时应用）
1?q
②
S
n
?
a
1
?a
n
q)
(q?1)
（已知
a
1
,a< br>n
,n
时应用）
1?q
③当
q?1
时，数列为常数列，则
S
n
?na
1

七、排列组合、二项式定理：
⑴排列：

m
①选排列：
P
n
?n(n?1)(n?2)
…
(n?m?1)=
n!

(n?m)!
n
②全排列：
P
n?n!?n(n?1)(n?2)
…
?2?1

③特殊的：0！=1 < br>m
P
n!
m
n
C??
⑵组合：①
n

m
m!(n?m)!
P
m
特殊地：
C
n
? C
n
?1
；
C
n
mn?m
②
C
n
?C
n

0n
1
?n

⑶二项式定理：
①二项式定理：（等号右边称二项展开式）
0n1n?12 n?22rn?rrn?1nn
(a?b)
n
?C
n
a?C
n
ab?C
n
ab?????C
n
ab?????C
nab
n?1
?C
n
b

rn?rr
②通 项公式：
T
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2,3???)

③二项式系数：
C
n

④性质一：与首末两端等 距离的两项二项式系数相等：
C
n
?C
n
mn?m
r

性质二：当
n
为偶数时，展开式有
n?1
项为奇数 ，中间一项的二项
式系数最大；当
n
为奇数时，展开式有
n?1
项为 偶数，中间
两项的二项式系数相等且最大。
性质三：
C
nm?1mm
?C
n
?C
n?1

012nn
性 质四：
C
n
?C
n
?C
n
?????C
n
?2