新高中数学直线方程公式

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直线方程公式
1.斜率公式
①若直线的倾斜角为α（0
0
≤α＜180
0
）, 则k=tanα (α
?
②若直线过点
P
1
(x
1
,y
1
)
和
P
2
(x
2
,y
2< br>)
两点. 则
k?
y
2
?y
1

x
2
?x
1
?
2
)
解题时，要从斜率存 在与不存在两个方面分类讨论。点P
1
（x
1
,y
1
），P
2
（x
2
,y
2
）的中点P
0
（x
0
,y
0
），则x
0
=（x
1
+ x
2
）2，y
0
=（y
1
+ y
2
）2。
2.方向向量坐标 ：
1
x
2
?
x
1
p p
12
?
1
x
2
?
x
1
?
x
?
x
,
y
?
y
?
?
?
1,k
?

21
21
3.两条直线的平行和垂直
【1】两直线平行的判断
（1）若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2< br>，则l
1
∥l
2
充要条件是k
1
=k
2,且b
1
≠b
2
。
（2）若l
1
：x=x
1
， l
2
：x=x
2
，则l
1
∥l
2
充要条件是x
1
≠x
2
。
（3）不重合的两条直线l
1
、l
2
倾斜角分别为α
1
、α
2
，则l
1
∥l
2
充要条件是α< br>1
=α
2
。
（4）l
1
：A
1
x +B
1
y+C
1
=0， l
2
：A
2
x+ B
2
y+C
2
=0，且A
1
、A
2
、B< br>1
、B
2
都不为零，则l
1
∥l
2
充要条件是A
1
B
2
-A
2
B
1
=0且B
1
C
2
-B
2
C
1
≠0（或A
1
C
2
-A
2
C
1
≠0）。
l
1< br>||l
2
?
【2】两直线垂直的判断
（1）若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k2
x?b
2
，则l
1
⊥l
2
充要条件是k1
·k
2
=-1。
（2）若l
1
的斜率不存在，则l
1
⊥l
2
充要条件是l
2
的斜率为零。
（3）两 条直线l
1
、l
2
倾斜角分别为α
1
、α
2
，则l
1
⊥l
2
充要条件是
a
1
-a
2
=90
0
。
（4）l
1
：A
1
x+B< br>1
y+C
1
=0， l
2
：A
2
x+B2
y+C
2
=0，且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零，则l
1
⊥l
2
充要
条 件是A
1
A
2
+B
1
B
2
=0。
【3】两直线相交的判断
（1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。
（2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。
（3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。
A
1
B
1
C
1
。
??
A
2
B
2
C
2
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（4）直线l
1
：A
1
x+B< br>1
y+C
1
=0， l
2
：A
2
x+B2
y+C
2
=0，则A
1
B
2
-A
2
B
1
≠0是两直线相交的充要条
件。
【4】两直线重合的判断 < br>当两直线斜率与截距都相等时，它们必定重合；当A
1
B
2
-A
2
B
1
=0且B
1
C
2
-B
2
C
1
=0（或
A
1
C
2
-A
2
C
1
=0）时，两直线重合。
4..直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
（3）两点式
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距，
a、b?0
)
ab
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
5.“到角”及“夹角”公式 ：
（1）夹角公式（
l
1
与
l
2
的角）
(1)
tan
?
?|
k
2
?k
1
|
.
1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
(2)
tan
?
?|
A
1
B
2
?A
2< br>B
1
|
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1< br>y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1?l
2
时，直线l
1
与l
2
的夹角是
（2）< br>l
1
到
l
2
的角公式
(1)
tan
?
?
k
2
?k
1
.
1?k
2
k
1
?
.
2
(
l1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y? k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
(2)
tan
?
?
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A
1
B
2
?A
2
B
1
.
A
1
A
2
?B
1
B
2

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(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C< br>1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
直线
l
1
?l
2
时，直线l
1
到l
2
的角是
6.对称问题
【1】关于点对称问题
（1）求已知点关于点的对称点
P（x
1
，y
1
）关于点Q（x
0
，y
0
）的对称点为（2 x
0
- x
1
，2 y
0
- y
1
）。
（2）直线关于点的对称直线
设l的方程为：Ax+By+C=0（A
2
+ B
2
≠0）和点P（x
0
，y
0
），求l关于P点的对称直 线方程。
设P
1
（x
1
，y
1
）是对称直线l1
任意一点，它关于P（x
0
，y
0
）的对称点（2 x
0
- x
1
，2 y
0
- y
1
）在直线
l上，代入得A（2 x
0
- x
1
）+B（2 y
0
- y
1
）+C=0，即Ax
1
+By
1
+C
1
=0为所求对称直线的方程。与已知
方 程平行。
常见和对称结论有：设直线l：Ax+By+C=0：
※l关于x轴的对称直线是Ax+B（-y）+C=0
※l关于y轴的对称直线是A（- x）x+By+C=0
※l关于原点的对称直线是A（- x）x+B（-y）+C=0
※l关于y=x的对称直线是Bx+Ay+C=0
※l关于y=-x的对称直线是A（-y）+B（- x）+C=0
【2】关于直线对称问题
（1）点关于直线的对称点
※设P（x
0
，y
0
），l： Ax+By+C=0（A
2
+B
2
≠0），若P关于l的对称点的坐标Q为（ x，y），
?
y?y
0
?
A
?
?
?
?
?
??1
?
?
x?x
0
?
B
?
则l是PQ的垂直平分线，即PQ⊥l，PQ的中点在l上，解方程组
?
?
A?
x?x
0
?B?
y?y
0
?C?0
?
22
?
?
.
2
可得Q点坐标。
※点A（x，y）关于直线x+y+c=0的对称点A
1
的坐标为（-y-c, -x-c），关于直线x-y+c=0的
对称点A
2
的坐标为（y-c, x+c），曲线f（x,y）=0关于直线x+y+c=0的对称曲线为f（-y-c, -x-c）
=0，关于直线x-y+c=0的对称曲线为f（y-c, x+c）=0。
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※一般地，点A（a,b）关于x轴的对称点的 坐标为A
1
（a,-b），关于y轴的对称点的坐标为
A
2
（-a, b），关于y=x轴的对称点的坐标为A
3
（b,a），关于y=-x轴的对称点的坐标为A< br>4
（-b,a），
关于x=m轴的对称点的坐标为A
5
（2m-a,b ），关于y=n轴的对称点的坐标为A
6
（a,2n-b）。
（2）直线关于直线的对称直线
若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：
※若a、b相交，则l是a、b夹角的平分线；
※若点A在直线a上，那么点A关于直线l的 对称点B一定在直线b上，这时，AB⊥l且AB
中点D在l上；
※a以l为轴旋转180
0
一定与b重合。
7、两点间的距离公式
若点
A
x
1
,
y
，
B
2
??
?
x
,
y
?

2
2
1
21
则
AB?
?
x
?
x
,
y
?
y
?
即 终点坐标-始点坐标
2
若
a?
?
x,y
?
?a?
8.点到直线间的距离公式

点
p
x
2
?
y

2
?
x
,
y
?
到
l : Ax+By+C=0
的距离为

0
0
点到几种特殊直线的距离： < br>※点P（x
0
，y
0
）到x轴的距离d=
y
0
，
※点P（x
0
，y
0
）到y轴的距离d=
x
0
，
※点P（x
0
，y
0
）与x轴平行的直线y=a的距 离d=
y
0
?a
，
※点P（x
0
，y
0
）与y轴平行的直线x=b的距离d=
x
0
?b
。
9.平行线间的距离公式

l
:Ax?By?
C
?0

与

l
11
:Ax?By?
C
2
?0

2
?
c
?
c
?
的距离为
d?
c
?
c
12
12
2

A
2
?
B
10．四种常用直线系方程
(1)定点直线系方 程：经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线 系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直线
x? x
0
),其
中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0< br>(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的
系数．
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(2)共点直线系方程：经过两直线< br>l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方
程为
(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
)，其中λ是待定的系数．
( 3)平行直线系方程：直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与
直线
Ax?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
)，λ是参变量．
(4)垂直直线系方程：与直线
Ax?By?C?0
(A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量．
11、求最大值与最小值
在直线l上求一点P使
PA?PB
取得最小值时， “同侧对称异侧连”，即两点位于直线的同
侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接 连接两点即可。
在直线l上求一点P使
PA?PB
取得最大值时，“异侧对称同侧连”。

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