【专题】高考数学(理科)一轮复习第3章三角函数解三角形讲义(共8套)含解析打包下载

2020年9月19日发(作者：施佩秋)

精品系列 成套资源 专题打包
【专题】高考数学（理科）一轮复习
第3章三角函数解三角形讲义（共8套）含解析打包下载.doc

第三章 三角函数、解三角形
第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数



1.任意角的概念
01
端点从一个位置旋转到另一个位置所成(1)定义：角可以看 成平面内的一条射线绕着□
的图形．
(2)角的分类

精品系列 成套资源 专题打包


(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角 α在内，可构成一个集合
S
＝
{β|β＝α＋
k
·360°，
k
∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
01
半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角．正角的弧度数是一(1)定义：把长度等于□
个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧 度数是0.
(2)公式

3．任意角的三角函数
01
y
，(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P
(
x
，y
)，那么sinα＝□

精品系列 成套资源 专题打包
02
x
，tanα＝□
03
y
. cosα＝□
x
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在
x
轴 上，
余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段
MP
，< br>OM
，
AT
分别叫做角
04
正弦线、□
05
余弦线和□
06
正切线． α的□


1．概念辨析
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点
P
的位置无关．( )
(3)不相等的角终边一定不相同．( )
(4)借助三角函数线可知，若α为第一象限角，则sinα＋cosα>1.( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．小题热身
9π
(1)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
4
A.2
k
π＋45°(
k
∈Z)
C．
k
·360°－315°(
k
∈Z)
答案 C
9ππ9π
解析 角度制与弧度制不能混用，排除A，B；因为＝2π＋，所以与终边相同444
的角可表示为
k
·360°＋45°(
k
∈Z)或
k
·360°－315°等，故选C.
(2)若角θ同时满足sinθ<0且tanθ<0，则角θ的终边一定落在( )
A．第一象限
C．第三象限
答案 D
B．第二象限
D．第四象限
9π
B．
k
·360°＋(
k
∈Z)
4
5π
D．
k
π＋(
k
∈Z)
4

精品系列 成套资源 专题打包
解析 因为sinθ<0，所以θ 的终边位于
x
轴的下方，因为tanθ<0，所以θ的终边
在第二、四象限，所以角θ 的终边一定落在第四象限．
(3)已知扇形的圆心角为120°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
答案 3π
2π1
解析 设此扇形的半径为
r
，由题意得
r
＝2π，所以
r
＝3，所以此扇形的面积为
32
×2π×3＝3π .
(4)设角θ的终边经过点
P
(4，－3)，那么2cosθ－sinθ＝___ _____.
答案
11

5
22
解析 因为
r
＝|
OP
|＝4＋－
4
?
3
?
11
－sinθ＝2×－
?
－
?
＝.
5
?
5
?
5
43
＝5，所以cosθ＝，sinθ＝－，所以2cosθ
55
题型
一
象限角与终边相同的角

1．(2018·长春 一模)若角α的顶点为坐标原点，始边在
x
轴的非负半轴上，终边在直
线
y< br>＝－3
x
上，则角α的取值集合是( )
?
π
?
A．{α
?
α＝2
k
π－，
k
∈Z
?

3
?
?
?
2π
?
C．{α
?
α＝
k
π－，
k
∈Z
?

3
?
?
?
2π
?
B．{α
?
α＝2
k
π＋，k
∈Z
?

3
?
?
?
π
?< br>D．{α
?
α＝
k
π－，
k
∈Z
?

3
?
?
答案 D
2π
解析 因为直线
y
＝－3
x
的倾斜角是，所以终边落在直线
y
＝－3
x
上的角 的取
3
?
π
?
值集合为{α
?
α＝
kπ－，
k
∈Z
?
，故选D.
3
?
?
2．与2019°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．
答案 219°
解析 因为2019°＝5×360°＋219°，所以与2019°终边相同的角可表示为
k
·360°
＋219°(
k
∈Z)．其中在0°～360°内的角是219° .
α
3．若角α是第二象限角，则是第________象限角．
2
答案 一或三
解析 因为角α是第二象限角，
π
所以2
k
π＋<α<2
k
π＋π，
k
∈Z，
2

精品系列 成套资源 专题打包
παπ
所以
k
π＋<<
k
π＋，
k
∈Z.
422
α
所以是第一或第三象限角．
2

1．象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的 定义直接判断已知角是
第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为
k
·3 60°＋α(0°≤α<360°，
k
∈Z)的形式，即找出与
已知角终边相同的角α ，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
2．表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．
(2)按由小到大分别标出起始和终止边 界对应的－360°～360°范围内的角α和β，
写出最简区间．
(3)起始、终止边界对 应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．如举例说
明3中角α的表示方法.

1.已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．
答案 一
解析 α的终边与－α的终边关于
x
轴对称，－α的终边逆时针旋转180°得180 °
－α的终边，所以由α是第二象限角可知，180°－α是第一象限角.
2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
答案 －675°或－315°
解析 与45°终边相同的角可表示为α＝
k
·360°＋ 45°(
k
∈Z)，当
k
＝－1时，α
＝－360°＋45°＝－3 15°；当
k
＝－2时，α＝－720°＋45°＝－675°，所以在－720°～
0°范围内所有与45°终边相同的角为－675°或－315°.
3.已知角α的终边在如图所示阴 影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表
示为________．

精品系列 成套资源 专题打包
?
π5π
?
答案 {α
?
2
k
π＋<α<2
k
π＋，
k
∈Z
?

46
?
?
?
π5π
?
解析 在[0,2π)内，终边落在阴影部分的角的集合为
?
，
?
，所以所求角的集 合
6
??
4
?
π5π
?
为{α
?
2
k
π＋<α<2
k
π＋，
k
∈Z
?
.
46
?
?
题型
二
弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用

1.已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )
1
A.2 B．1 C. D．3
2
答案 A
解析 解法 一：设此扇形的半径为
r
，弧长为
l
，圆心角为α，则2
r
＋
l
＝4，面积
S
11
22
＝
rl
＝r
(4－2
r
)＝－
r
＋2
r
＝－(
r
－1)＋1，故当
r
＝1时
S
最大，
22
l< br>2
这时
l
＝4－2
r
＝2.从而α＝＝＝2.
r
1
解法二：设扇形圆心角的弧度数为α，
2
l
弧长为
l
，则
l
＋＝4.
α
故
l
＝
4
2
1＋
α
.
4
1
l
2
188
2
2
＝又
S
＝
lr
＝＝≤＝1.
1＋
22α2α44＋4
α
α＋＋4< br>α
4
当且仅当α＝，即α＝2时，
S
取最大值.
α
2.(2018·成都模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为1，那么这个圆心角所对的弧长
是___ _____．
答案
1

sin1
解析 如图所示，设半径为
R
，

精品系列 成套资源 专题打包

1
2
1
则＝sin1，所以
R
＝，
R
2 sin1
1
弧长
l
＝α
R
＝2
R
＝.
sin1
1
条件探究1 若举例说明1改为扇形的圆心角为6，面积为，求扇形的弧长．
3
解 设扇形的半径为
r
，弧长为
l
，
l
?
?
r
＝6，
则
?
11
lr
＝
?
?
2 3
，

l
＝2，
?
?
解得
?
1< br>r
＝.
?
?
3


条件探究2 若举例说明1条件改为扇形的面积是4 cm，当扇形周长最小时，求扇形
的圆心角的弧度数．
解 设此扇形的半径为
r
，弧长为
l
，圆心角为α，
11 1
2
则扇形的面积
S
＝
lr
＝α
r
·r
＝α
r
＝4，
222
8
所以α
r
＝，设扇形的周长为
L
， 2
r
8
则
L
＝2
r
＋α
r
＝ 2
r
＋，
r
∈(0，＋∞)，
r
2
r
－ 8
由
L
′＝2－
2
＝＝
2
8
2
r
＋
r
r
2
r
－
rr
＝0，得
r< br>＝2，
8
当
r
∈(0,2)时，
L
′<0，
L
＝2
r
＋单调递减，
8
当
r
∈(2，＋∞) 时，
L
′>0，
L
＝2
r
＋单调递增，
r
所以当
r
＝2时，扇形的周长
L
取得最小值，
88
此时扇形的圆心角α＝
2
＝＝2.
r
4

精品系列 成套资源 专题打包
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最 大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得
到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

2
1.扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________ cm.
答案
360

π
2036
解析 由弧长公式
l
＝|α|
r
，得
r
＝＝，
100π π
180
1136360
∴
S
扇形
＝
lr
＝×20×＝.
22ππ
3
2.如果一个扇形的半径变为原来的一半，而弧长变为原 来的倍，则该弧所对的圆心角
2
是原来的________倍．
答案 3
解析 设这个扇形的半径为
r
，弧长为
l
，圆心角为α，变化后半径 为
r
′，弧长为
l
′，
3
l
l
′
2
圆心角为α′，则α′＝＝＝3α，所以该弧所对的圆心角是原来的3倍.
r
′1
r
2
题型
三
任意角三角函数的定义及应用

角度1 利用三角函数的定义求值
1.(2018 ·济南二模)已知角α的终边经过点(
m
，－2
m
)，其中
m
≠0，则sinα＋cosα
等于( )
A.－
5533
B．± C．－ D．±
5555
答案 B
解析 ∵角α的终边经过点(
m，－2
m
)，其中
m
≠0，则当
m
>0时，
x
＝
m
，
y
＝－2
m
，
r
y
－2
m
25
xm
55
＝5|
m
|＝5
m
，sinα＝＝＝－，cosα＝＝＝，sinα＋cosα＝－.
r
5
r< br>5
5
m
5
m
5
y
－2
m
2 5
xm
当
m
<0时，
x
＝
m
，
y
＝－2
m
，
r
＝5|
m
|＝－5
m
，sinα＝＝＝，cosα＝＝
r
－5
m
5
r
－5m
＝－
555
，sinα＋cosα＝.综上可得，sinα＋cosα＝±.
555
角度2 三角函数值符号的判定

精品系列 成套资源 专题打包
2.(2018·怀化模拟)sin2·cos3·tan4的值( )
A.小于0
C.等于0
答案 A
π3π
解析 因为<2<3<π<4<，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是
22第三象限角，所以sin2>0，cos3<0，tan4>0，所以sin2·cos3·tan4<0.
角度3 三角函数线的应用
3.函数
y
＝2sin
x
－1的定义域为________．
?
π5π
?
答案 {
x
?
2
k
π ＋≤
x
≤2
k
π＋，
k
∈Z
?

66
?
?
B．大于0
D．不存在
1
解析 ∵2 sin
x
－1≥0，∴sin
x
≥.由三角函数线画出
x
满 足
2
条件的终边范围(如图阴影所示)．

?
π5π
?
∴
x
∈{
x
?
2
k
π＋≤
x≤2
k
π＋，
k
∈Z
?
.
66
?
?






1.用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点
P
的坐标 ，则可先求出点
P
到原点的距离
r
，然后用三角函数
的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点
的距离 ，然后用三角函数的定义来求相关问题．
2．三角函数值符号的记忆口诀
一全正、二正弦，三正切、四余弦．
3．三角函数线的两个主要应用
(1)三角式比较大小；

精品系列 成套资源 专题打包
(2)解三角不等式(方程).

tanθ
1.若sinθ·cosθ<0，>0，则角θ是( )
sinθ
A.第一象限角
C.第三象限角
答案 D
tanθ1
解析 由>0，得>0，cosθ>0，又sinθ·cosθ<0，所以sinθ <0，所以θ
sinθcosθ
为第四象限角，选D.
1
2.满足cosα≤－的角α的集合为________．
2
?
2π4π
?
答案 {α
?
2
k
π＋≤α≤2
k
π＋，
k
∈Z
?

33
?
?
解析 由三角函数线画出满足条件的
x
的终边范围 (如图阴影所示)．所以α∈
?
2π4π
?
{α
?
2
k
π＋≤α≤2
k
π＋，
k
∈Z
?
.
33
?
?
B．第二象限角
D．第四象限角

5
3.已知角α的终边经过点
P
(－
x
，－6)，且cosα＝－，则
x
＝________.
13
5
答案
2
解析
r
＝|
OP
|＝－
x
2
＋－
2
5 －
x
2
＝
x
＋36，因为cosα＝－，所以
2
＝
13
x
＋36
55
－，显然
x
＞0，解得
x
＝.
132

精品系列 成套资源 专题打包
第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式


1.同角三角函数的基本关系
01
sin
2
α＋cos
2
α＝1. (1)平方关系：□
02
sinα
＝tanα(2)商数关系：□
cosα
2.三角函数 的诱导公式
?
α≠
π
＋
k
π，
k
∈Z< br>?
.
??
2
??




1.概念辨析
(1)对任意α，β∈R，有sinα＋cosβ＝1.( )
sinα
(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．( )
cosα
22

精品系列 成套资源 专题打包
(3)(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα.( )
(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( )
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×
2.小题热身
(1)若sinα＝
1
答案 －
2
解析 因为sinα＝
5π
，<α<π，
52
2
2
5π
，<α<π，则tanα＝________.
52
所以cosα＝－1－sinα＝－
sinα1
所以tanα＝＝－.
cosα2
1－
?
25
?
5
?
2
?
＝－
5
，
?
5
?
cosα－1
(2)化简：＝________.
sinαtanα
答案 －cosα
－sinα
解析 原式＝＝－cosα.
sinα
sinα·
cosα
2
2
?
52π
?
＝________. (3)sin2490°＝________；c os
?
－
3
?
??
11
答案 － －
22
1
解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－.
2
?
52π
?
＝cos
?
16π＋π＋
π
?
＝cos< br>?
π＋
π
?
cos
?
－
??
3< br>?
3
?
3
?
??????
π1
＝－cos＝ －.
32
?
π
?
3
?
π
?
(4 )已知sin
?
＋α
?
＝，α∈
?
0，
?
，则sin(π＋α)＝________.
2
??
2
?
5
?
4
答案 －
5
解析 因为sin
?
?
π
＋α
?
＝co sα＝
3
，α∈
?
0，
π
?
，所以sinα＝1－ cos
2
α＝
4
，所
??
2
?
55
?
2
???
4
以sin(π＋α)＝－sinα＝－.
5

精品系列 成套资源 专题打包
题型
一
同角三角函数关系式的应用

1π1
1.已知cosα＝，－<α<0，则＝( )
52tanα
A.26 B．－26 C．－
答案 C
1π
解析 因为cosα＝，－<α<0，
52
26
2
所以sinα＝－1－cosα＝－，
5
1cosα
所以＝＝
tanαsinα
6
＝－.
12
26
－
5
1
5
66
D.
1212
sin
x
＋3cos
x
2.已知tan
x
＝3，则＝________.
2sin
x
－3cos
x
答案 2
解析 因为tan
x
＝3，
sin
x
＋3cosx
tan
x
＋33＋3
所以＝＝＝2.
2sin
x< br>－3cos
x
2tan
x
－32×3－3
1°＋sin2°＋ sin3°＋…＋sin89°＝________.
答案 44.5
解析 因为sin( 90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sinα＋sinβ＝sinα
＋cosα＝1，
设
S
＝sin1°＋sin2°＋sin3°＋…＋sin89°，
则
S
＝sin89°＋sin88°＋sin87°＋…＋sin1°，
两个式子相加得2
S
＝1＋1＋1＋…＋1＝89，
S
＝44.5.

同角三角函数关系式的应用方法
sinα
22
(1)利用sin α＋cosα＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实
cosα
现角α的弦切 互化．
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方
关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不
明确时，要 进行分类讨论.


2222
2222
2
222
2222

精品系列 成套资源 专题打包
cos
A
121.已知△
ABC
中，＝－，则cos
A
等于( )
sin
A
5
A.
125512
B. C．－ D．－
13131313
答案 D
cos
A
12
解析 因为
A
是三角形内角，且＝－<0，
sin
A
5
所以co s
A
<0且5cos
A
＝－12sin
A
，
则2 5cos
A
＝144sin
A
＝144(1－cos
A
)
14412
2
解得cos
A
＝，所以cos
A
＝－ .
16913
2.若α是第二象限角，则tanα
A.－1
C.－tanα
答案 A
解析 因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，
所以tanα
1sinα
?
cosα
?
sinαcosα
－1＝·
?
＝－·＝－1.
?
2
sinαcosα
?
sinα
?
cosαsi nα
4
B.
3
4
D.或0
3
222
2
222
1
－1化简的结果是( )
2
sinα
B．1
D．tanα
2
3.(2018·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为( )
4
A.－
3
4
C.－或0
3
答案 D
解析 因为2sinα＝1＋cosα，所以4sinα＝1＋2cosα＋cosα，又因为sinα ＝1
－cosα，所以4(1－cosα)＝1＋2cosα＋cosα，即5cosα＋2cosα－ 3＝0，解得cosα
334
＝－1或cosα＝.当cosα＝－1时，sinα＝0，ta nα＝0，当cosα＝时，sinα＝，
555
4
tanα＝.
3
题型
二
诱导公式的应用
2222


1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261° )的结果为( )
A.1 B．－1 C．0 D．2
答案 C
解析 原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°co s9°－sin9°cos9°
＝0.

精品系列 成套资源 专题打包 2.已知
f
(α)＝
π－α
－π－α
π－α
π－α?
25π
?
的值为( ) ，则
f
?
－
?
3
??
1132
A. B. C. D.
2322
答案 A
sinαcosα
解析 ∵
f
(α)＝
－cosα－tanα
＝cosα，
?
25 π
?
＝cos
?
－
25π
?
＝cos
?< br>8π＋
π
?
＝cos
π
＝
1
. ∴
f
?
－
??
3
?
3
?
3
?
32
??????
3.已知cos
?
答案 0
解析 因为cos
?
?
π
－θ
?
＝
a
，则cos
?
5π
＋θ
?
＋sin
?
2π
－θ
?
的值是________．
??
6
??
3
?
?
6
?????
?
5π
＋θ
?
＝cos
?
π －
?
π
－θ
??

???
6
??
?
6
?????
?
π
?
＝－cos
?
－θ
?
＝－
a
.
?
6
?
sin
?< br>?
2π
－θ
?
3
π
?
＝sin
?< br>π
＋
?
?
?
?
2
?
6
－θ
?
?
??
＝cos
?
π
－θ
?
?
?
6
?
?
?
?
＝
a
，
?
?
所以cos
?
?
5π
＋θ
?
＋sin
?
2π
－θ
?
＝0.
??
3
?
?
6
???
π
??
π
??
条件探究1 若举例说明 3的条件“cos
?
－θ
?
＝
a
”改为“sin
?
θ＋
?
＝
a
”，求
12
??
6
? ?
7π
??
cos
?
θ＋
?
.
12??
π
?
π
?
7π
?
??
?
解 cos
?
θ＋
?
＝cos
?
?
θ＋
?
＋
?

12
?
2
?
12
???
?
π
??
＝－sin
?
θ＋
?
＝－
a
.
12
??
?
π
?
条件探究2 若举 例说明3的条件“cos
?
－θ
?
＝
a
”改为“cos(α －17°)＝
a
”，求
?
6
?
sin(α－107°)．
解 sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°)
＝－cos(α－17°)＝－
a
.

(1)诱导公式的两个应用方向与原则
①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．
②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)应用诱导公式的基本流程

精品系列 成套资源 专题打包

(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．
π
(4)注意观察已知角与所求角的关 系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公
2
π5π
?
2π
? ?
π
?
π
式，如举例说明3中－θ＋＋θ＝π，
?
－θ?
－
?
－θ
?
＝.
66
?
3
??
6
?
2

1.(2 019·天一大联考)在平面直角坐标系
xOy
中，角α的终边经过点
P
(3 ,4)，则
2017π
??
sin
?
α－
＝( )
2
?
??
4334
A.－ B．－ C. D.
5555
答案 B
解析 因为角α的终边经过点
P
(3,4)．
所以cosα＝
3
＝.
22
3＋4
5
3
2017π
?
π
???
所以sin
?
α－
＝sin
?
α－－1008π
?

?
2
?
2
???
π
?
3
??
π
?
＝sin
?α－
?
＝－sin
?
－α
?
＝－cosα＝－. 2
?
5
??
2
?
2.(2018·石家庄模拟)已知< br>k
∈Z，化简：
k
π－α
k
＋π＋α
答案 －1
k
－π－α]
＝________.
k
π＋α
－α－π－α
π＋αα
解析 当
k
为偶数 时，原式＝
＝
－sinα－cosα
－sinαcosα

＝－1.
π－α
sinα
－α
π＋α
＝
sinαcosα
s inα－cosα
＝－1. 当
k
为奇数时，原式＝
综上知，原式＝－1.
题型
三
同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用

精品系列 成套资源 专题打包

角度1 化简与求值
1 .已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos
?
β)－1＝0，则sinα的值是( )
A.
35373101
B. C. D.
57103
?
π
＋β
?
＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋
?
?
2
?
答案 C
解析 由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0， tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，
310
又α为锐角，故sinα＝.
10
角度2 sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα三者之间的关系2 .(2018·长沙
1
模拟)已知－π<
x
<0，sin(π＋
x< br>)－cos
x
＝－，则sin
x
－cos
x
＝( )
5
7755
A.－ B. C. D．－
5577
答案 A
111
解析 因为sin(π＋
x
)－cos
x
＝－， 所以－sin
x
－cos
x
＝－，所以sin
x
＋cos< br>x
＝∈
555
π1
(0,1)．又因为－π<
x
<0 ，所以－<
x
<0，所以sin
x
－cos
x
<
x
＋cos
x
＝，两边平方得
25
12449
2
1＋ 2sin
x
cos
x
＝，所以2sin
x
cos
x
＝－.所以(sin
x
－cos
x
)＝1－2sin
xcos
x
＝.所以
252525
7
sin
x
－ cos
x
＝－.
5
角度3 常值代换问题
3
2
3.(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cosα＋2sin2α＝( )
4
A.
644816
B. C．1 D.
252525
答案 A
3
2
解析 当tanα＝时，原式＝cosα＋4sinαcosα
4
3
1＋4×
4< br>64cosα＋4sinαcosα1＋4tanα
＝＝＝＝，
222
sin α＋cosαtanα＋1925
＋1
16
2
故选A.

同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法

精品系列 成套资源 专题打包
(1)弦切互化法：主要利用公式tan
x
＝
sin
xa
sin
x
＋
b
cos
x
进行切化弦或弦化切，如，
cos
xc
sin
x
＋
d
cos
x
a
sin
2
x
＋
b
sin
x
cosx
＋
c
cos
2
x
等类型可进行弦化切．
( 2)和积转换法：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用
(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα可以知一求二．
1
??
2222 2
(3)巧用“1”的变换：1＝sinθ＋cosθ＝cosθ(1＋tanθ)＝sinθ
?
1＋
2
?
＝
?
tanθ
?
π
t an＝….
4

1.1＋π－π＋化简的结果是( )
3－cos3 B．cos3－sin3
C.±(sin3－cos3) D．以上都不对
答案 A
解析 因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝1－2sin3 ·cos3＝
－
2
2
π
＝|sin3－cos3|.因为<3<π， 所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，
2
所以原式＝sin3－co s3.
2.已知tan100°＝
k
，则sin80°的值等于( )
A.
C.
k
1＋
k
1＋
k
2
B．－
D．－
k
1＋
k
2


2
1＋
k
2
kk
答案 B
解析 由已知得tan 100°＝
k
＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－
k
，
sin80°sin80°sin80°
2
又因为tan80°＝＝， 所以＝
k
，注意到
k
<0，可解得sin80°
2
2
cos80°1－sin80°
1－sin80°
＝－
2
k
1＋< br>k
2
.
?
π
??
π
?
3.若s in
x
＝2sin
?
x
＋
?
，则cos
x
cos
?
x
＋
?
＝( )
2
?
2
???
2222
A. B．－ C. D．－
5533
答案 B
?
π
??
π
?
解析 由sin
x
＝2sin
?
x
＋
?
，得sin
x
＝2cos
x
，即tan
x
＝2，则cos
x
cos
?
x
＋
?
＝－
2
?
2
?? ?
sin
x
cos
x
tan
x
22
cos
x
sin
x
＝－
2
＝－.
2
＝－
2
＝－
sin
x
＋cos
x
1＋tan
x
1＋45

精品系列 成套资源 专题打包

精品系列 成套资源 专题打包
第3讲 三角函数的图象与性质


1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
?
π
?< br>正弦函数
y
＝sin
x
，
x
∈[0,2π]的图象上 ，五个关键点是：(0,0)，
?
，1
?
，(π，0)，
?
2
?
?
3π
，－1
?
，(2π，0)．
?
2
?
??
?
π
?
余弦函数
y
＝cos< br>x
，
x
∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，
?，0
?
，(π，－
?
2
?
1)，
?
?
3π
，0
?
，(2π，1)．
?
?
2
?
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质

精品系列 成套资源 专题打包




1．概念辨析

精品系列 成套资源 专题打包
(1)
y
＝tan
x
在整个定义域上是增函数．( )
(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．( )
π2π
?
π2π
?
(3)由sin
?
＋
?
＝sin知，是 正弦函数
y
＝sin
x
(
x
∈R)的一个周期．( )
3
?
63
?
6
(4)三角函数中奇函数一般可化为
y
＝
A
sinω
x
或
y
＝
A
ta nω
x
的形式，偶函数一般可化
为
y
＝
A
cosω
x
＋
b
的形式．( )
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√

2．小题热身
π
? ?
(1)(2017·全国卷Ⅱ)函数
f
(
x
)＝sin
?
2
x
＋
?
的最小正周期为( )
3
??
π
A．4π B．2π C．π D.
2
答案 C
π
?
2π
?
解析 函数
f< br>(
x
)＝sin
?
2
x
＋
?
的最小 正周期
T
＝＝π.故选C.
3
?
2
?
(2)函数
y
＝1－2cos
x
的单调递减区间是________．
答案 [2
k
π－π，2
k
π](
k
∈Z)
解析 y
＝1－2cos
x
的单调递减区间就是
y
＝cos
x
的单调递增区间，即[2
k
π－π，
2
k
π](
k
∈Z)．
?
π
?
(3)函数
y
＝3－2sin< br>?
x
＋
?
的最大值为________，此时
x
＝_ _______.
4
??
答案 5
5π
＋2
k
π(
k
∈Z)
4
π3π5π
?
π
?
解析 函数
y
＝3－ 2sin
?
x
＋
?
的最大值为3＋2＝5，此时
x
＋＝＋2
k
π，即
x
＝
4
?
424
?＋2
k
π(
k
∈Z)．
(4)cos23°，sin68°，cos97°从小到大的顺序是________．
答案 cos97°解析 sin68°＝sin(90°－22°)＝cos22°.
因为余弦函数
y
＝cos
x
在[0，π]上是单调递减的，
且22°<23°<97°，
所以cos97°即cos97°
题型
一
三角函数的定义域和值域

精品系列 成套资源 专题打包
π??
1．函数
f
(
x
)＝－2tan
?
2x
＋
?
的定义域是( )
6
??
π
?
?
?

x
≠A．{
x
?
6
?
?
π
?
C．{
x
?
x
≠
k
π＋
6
?
答案 D
ππ
解析 由2
x
＋≠
k
π＋，
k
∈Z，
62
解得
x
≠
π
?
?
?

x
≠－
B．[
x
?
12
?
?
k
∈Z
?
?

?
?
k
ππ
D．{
x
?
x
≠＋
26
?
k
∈Z
?
?

?
k
π
2
＋
π
，
k
∈Z， 6
π
??
所以函数
f
(
x
)＝－2tan?
2
x
＋
?
的定义域是
6
??
{< br>x
?
x
≠
?
?
k
π
?
π< br>＋，
k
∈Z
?
.
26
?
π
??< br>π
2．函数
y
＝2sin
?
x
－
?
(0≤
x
≤9)的最大值与最小值之和为( )
3
??
6
A．2－3 B．0 C．－1 D．－1－3
答案 A
πππ7π
解析 因为0≤
x
≤9，所以－≤
x
－≤，
3636
π
?
?
3
?
?
π
所以sin
?
x
－
?
∈
?
－，1
?
.
3
?
?2
?
6
?
所以
y
∈[－3，2]，所以
ymax
＋
y
min
＝2－3.
3．(2018·长沙质检)函 数
y
＝sin
x
－cos
x
＋sin
x
c os
x
的值域为________．
?
1
?
答案
?
－－2，1
?

?
2
?
?
π
?
解析 令
t
＝si n
x
－cos
x
，则
t
＝2sin
?
x< br>－
?
∈[－2，2]．
4
??
由(sin
x
－cos
x
)＝1－2sin
x
cos
x
得
1
2
sin
x
cos
x
＝(1－
t
)， < br>2
1
2
所以
y
＝
t
＋(1－
t)，
t
∈[－2，2]的值域即为所求．
2
11
22
因为
y
＝
t
＋(1－
t
)＝－(
t
－1) ＋1，
22
1
当
t
＝－2时，
y
min
＝－－2，
2
当
t
＝1时，
y
max
＝1， < br>2
?
1
?
所以原函数的值域为
?
－－2，1
?
.
?
2
?

精品系列 成套资源 专题打包

1．三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式( 组)，常借助三角函数线或三角函
数图象来求解．
2．三角函数最值或值域的三种求法


1．函数
y
＝cos
x
－
3
的定义域为( )
2
?
ππ
?
A.
?
－，
?
?
66
?
ππ
??
B.
?
k
π－，< br>k
π＋
?
(
k
∈Z)
66
??
π π
??
C.
?
2
k
π－，2
k
π＋
?
(
k
∈Z)
66
??
D．R
答案 C
解析 由cos
x
－
33
≥0，得cos
x
≥，
22
ππ
∴2
k
π－≤
x
≤2
k
π＋，
k
∈Z.
66
?
π
??
π
??< br>1
?
2．已知函数
f
(
x
)＝sin
?x
＋
?
，其中
x
∈
?
－，
a
?
，若
f
(
x
)的值域是
?
－，1
?，则实
6
???
3
??
2
?
数
a的取值范围是________．
?
π
?
答案
?
，π
?

?
3
?
π
?
π
?
π
?
π
?
解析 因为
x
∈
?
－，
a
?
，所以
x
＋∈
?
－，
a
＋
?
.
6
?
6
?
6
?
3
?
π
?
ππ
??
1
?
因为
x< br>＋∈
?
－，
?
时，
f
(
x
)的值域 是
?
－，1
?
，
6
?
62
??
2
?

精品系列 成套资源 专题打包
ππ7π
由函数
y
＝sin
x
的图象 和性质可知，≤
a
＋≤，
266
?
π
?
解得a
∈
?
，π
?
.
?
3
?
3 ．函数
y
＝－cos
x
＋3cos
x
－1的最大值为___ _____．
答案 1
3
?
2
5
?
解析 由题 意可得
y
＝－
?
cos
x
－
?
＋，－1≤ cos
x
≤1，所以当cos
x
＝1时，
y
max
＝1.
2
?
4
?
题型
二
三角函数的单调性

π
?
π
?
1．(2018·乌鲁木齐一模)已知为函数< br>f
(
x
)＝sin(2
x
＋φ)
?
0<φ<
?
的零点，则函数
2
?
3
?
2
f
(
x
)的单调递增区间是( )
5ππ
??
A.
?2
k
π－，2
k
π＋
?
(
k
∈Z)
1212
??
π7π
??
B.
?
2
kπ＋，2
k
π＋
?
(
k
∈Z)
1212??
5ππ
??
C.
?
k
π－，
k
π ＋
?
(
k
∈Z)
1212
??
π7π
? ?
D.
?
k
π＋，
k
π＋
?
(
k
∈Z)
1212
??
答案 C
π
?
π
?
解析 由于为函数
f
(
x
)＝sin(2
x
＋φ)
?
0<φ<
?
的零点，
2
?
3
?
?
π
??
2π
?
则< br>f
??
＝0，所以sin
?
＋φ
?
＝0，
?
3
??
3
?
π
?
π
?
解得φ＝ ，故
f
(
x
)＝sin
?
2
x
＋
?
，
3
?
3
?
πππ
令－＋2
k
π≤2
x
＋≤2
k
π＋(
k
∈Z)，
232< br>5ππ
解得
k
π－≤
x
≤
k
π＋(
k
∈Z)，
1212
5ππ
??
故函数
f
(x
)的单调递增区间为
?
k
π－，
k
π＋
?< br>(
k
∈Z)．
1212
??
π
??
π??
2．已知ω>0，函数
f
(
x
)＝sin
?
ω
x
＋
?
在
?
，π
?
上单调递减，则ω 的取值范围是
4
??
2
??
( )
?
15
?
A.
?
，
?

?< br>24
?
?
1
?
C.
?
0，
?

?
2
?
?
13
?
B.
?
，
?

?
24
?
D．(0,2]

精品系列 成套资源 专题打包
答案 A
ππ
?
πππππ
?
π
解析 由<
x
<π 得ω＋<ω
x
＋<πω＋，由题意知
?
ω＋，πω＋
?
?< br>44
?
22444
?
2
?
2
k
π＋
π
，2
k
π＋
3π
?
(
k
∈Z) ，
?
22
?
??
?
ππππ3π
当
k< br>＝0时，由
?
ω＋≥，πω＋≤，
4242
?
2

15
求得≤ω≤.
24
?
π3π
?
3．函数y
＝|tan
x
|在
?
－，
?
上的单调减区间 为________．
2
??
2
?
π
??
π
?
答案
?
－，0
?
和
?
，π
?

22
????
?
π3π
??
π
?
解析 如 图，观察图象可知，
y
＝|tan
x
|在
?
－，
?
上的单调减区间为
?
－，0
?
和
2
??
2
?
2
?
?
π
，π
?
.
?
2
?
??

π
??
条件探究1 将举例 说明1中的函数改为
f
(
x
)＝sin
?
－2
x< br>＋
?
，求其单调减区间．
3
??
π
?
π
???
解 由已知函数为
y
＝－sin
?
2
x
－
?
，欲求函数的单调减区间， 只需求
y
＝sin
?
2
x
－
?
3
?
3
???
的单调增区间．
πππ
由2
k
π－≤ 2
x
－≤2
k
π＋，
k
∈Z，得
232
k
π－≤
x
≤
k
π＋
π
12
5π
，
k
∈Z.
12
π5π
??
故所给函数的单调减区间为< br>?
k
π－，
k
π＋
?
(
k
∈Z)．
1212
??
条件探究2 若举例说明1中函数的定义域改为[0，π]，求其单调递增区间．
?
5ππ
?
解 记
A
＝{
x
?
k
π－≤
x
≤
k
π＋，
k
∈Z
?
，
B
＝[0，π]．
1212
?
?

精品系列 成套资源 专题打包

?
π
??
7π
?
观察数轴 可知
A
∩
B
＝
?
0，
?
∪
?，π
?

?
12
??
12
?
?
π
??
7π
，π
?
. 所以函数
y
＝
f
(
x
)，
x
∈[0，π]的单调递增区间为
?
0，
?
和
??
?
12
??
12
?



求三角函数单调区间的两种方法
(1)复合函数法

(2)图象法
画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

?
π
?
1．在下列给出的函数中，以π为周期且在
?
0，
?
上是减函数的是( )
2
??
A．
y
＝cos
2
π
??
C．
y
＝sin
?
2
x
＋
?

4
??
答案 B
解析
y< br>＝cos的周期为4π，不符合要求．
y
＝cos(－2
x
)＝cos 2
x
，令
t
＝2
x
，
t
＝2
x< br>2
x
B．
y
＝cos(－2
x
)
?
π
?
D．
y
＝tan
?
x
－
?

4
??
x

精品系列 成套资源 专题打包
?
π
??
π
?
在
x
∈
?
0，
?< br>上为增函数，
y
＝cos
t
在
t
∈(0，π)上为减 函数，所以
y
＝cos(－2
x
)在
?
0，
?2
?
2
???
π
??
π
???
π?
上为减函数，符合要求．同理可得
y
＝sin
?
2
x
＋
?
在
?
0，
?
上先增后减，
y
＝tan
?
x
－
?
在
4
??
2
?
4
???
?
0，
π
?
上为增函数．
??
2
??
?
7π
??
π
??
π
??
π
?
2．已知函数
f
(
x
)＝2sin
?
x
＋
?
，设
a
＝
f
??
，
b
＝
f
??
，
c
＝
f
??
，则
a
，
b
，
c
的
3
???
7
??
6
??
3
?
大小关系是________．
答案
c
<
a
<
b

?
π
??
π
?
解析
f
(
x)＝2sin
?
x
＋＋2π
?
＝2sin
?
x
＋
?
，
33
????
a
＝
f
? ?
＝2sin
7
?
π
?
??
10ππ2ππ
?
π
??
π
?
，
b
＝
f
??< br>＝2sin，
c
＝
f
??
＝2sin＝2sin，因为
y
＝sin
x
21233
?
6
??
3
?
?
π
?
在
?
0，
?
上单调递增，
2
??
π10πππ10ππ
且<<，所以sinc
<
a
<
b
.
32123212
题型
三
三角函数的周期性、奇偶性、对称性

角度1 三角函数的周期性 < br>tan
x
1．(2018·全国卷Ⅲ)函数
f
(
x
) ＝
2
的最小正周期为( )
1＋tan
x
A.
ππ
B. C．π D．2π
42
答案 C
sin
x
cos
x
tan
x
1
解析 由已 知得
f
(
x
)＝＝sin
x
cos
x
＝s in2
x
，
f
(
x
)的最小正周期
2
＝< br>1＋tan
x
sin
x
?
2
2
?
1 ＋
??
?
cos
x
?
T
＝
2π
＝ π.故选C.
2
角度2 三角函数的奇偶性
π
??
2．(201 8·烟台检测)若函数
f
(
x
)＝cos
?
2
x< br>＋φ－
?
(0<φ<π)是奇函数，则φ＝
3
??
_____ ___.
答案
5π

6
ππ5π
解析 因为
f
(
x
)为奇函数，所以φ－＝＋
k
π(
k
∈Z)， φ＝＋
k
π，
k
∈Z.又因
326

精品系列 成套资源 专题打包
5π
为0<φ<π，故φ＝.
6
角度3 三角函数图象的对称性
π
??
3．函数
y
＝2sin
?< br>2
x
＋
?
的图象( )
3
??
A．关于原点对称
C．关于
y
轴对称
答案 B
π
解析 当
x
＝0时，
y
＝2sin＝3，所以A，C错误；
3
π
?
ππ
?
当
x
＝－时，
y
＝2sin?
－＋
?
＝0，所以B正确；
6
?
33
?< br>π
?
ππ
?
当
x
＝时，
y
＝2si n
?
＋
?
＝3，所以D错误．
6
?
33
?


1.周期的计算方法：利用函数< br>y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)，
y
＝
A
cos(ω
x
＋φ)(ω>0)的周期为
2ππ
，函数
y
＝
A
tan(ω
x
＋φ)(ω>0)的周期为求解．
ωω
2．函数具有奇偶性的充要条件
函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)(
x
∈R)是奇函数?φ＝
k
π(k
∈Z)；
π
函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)(
x
∈R)是偶函数?φ＝
k
π＋(
k
∈Z)；
2
π
函数
y
＝
A
cos(ω
x
＋φ)(
x
∈R)是奇函数?φ＝
k
π＋(
k
∈Z )；
2
函数
y
＝
A
cos(ω
x
＋φ) (
x
∈R)是偶函数?φ＝
k
π(
k
∈Z)．
3．与三角函数有关的图象的对称性问题
对于函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)，其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点，
对称中心 一定是函数的零点，因此在判断
x
＝
x
0
或点(
x
0,
0)是否是函数的对称轴或对称中心
时，可通过检验
f
(
x0
)的值进行判断.





π
??
1．关于函数
y
＝tan
?
2
x
－
?
，下列说法正确的是( )
3
??
?
π
?
B． 关于点
?
－，0
?
对称
?
6
?
π
D．关于直线
x
＝对称
6

精品系列 成套资源 专题打包
A．是奇函数
?
π
?
B．在区间
?
0，
?
上单调递减
3
??
?
π
?
C.
?
，0
?为其图象的一个对称中心
?
6
?
D．最小正周期为π
答案 C
π
?
π
????
π
?
解析
y
＝tan
?
2
x
－
?
是非奇非偶函数，A错误；
y
＝tan
?
2
x
－
?
在区间
?
0，
?
上单调
3
?
3
?
3
????
π
?
π
k
π
k
ππ
?
递增，B错误；由 2
x
－＝得
x
＝＋(
k
∈Z)，得函数
y
＝tan
?
2
x
－
?
的对称中心为
3
?< br>3246
?
?
k
π
＋
π
，0
?，
k
∈Z，故C正确；函数
y
＝tan
?
2
x
－
π
?
的最小正周期为
π
，D错误．
?
4
???
63
?
2
???
2．(2016·浙江高考)函数
y
＝sin
x
的图象是( )
2

答案 D
π
2
解析 由
y
＝sin
x
为偶函数，其图象关于
y
轴对称，可以排除A，C；当
x
＝时，
y
＝
2< br>π
?
π
?
2
sin
??
＝sin≠1，排除 B，故选D.
4
?
2
?
3．(2018·江苏高考)函数
f
(
x
)满足
f
(
x
＋4)＝
f
(
x
)(
x
∈R)，且在区间(－2,2]上，
f
(
x
)
π
x
cos，0<
x
≤2，
?
?< br>2
＝
?
?
x
＋
1
?
，－2<
x
≤0，
?
?
?
?
?
2
?
2< br>

则
f
[
f
(15)]的值为________．
答案
2

2

精品系列 成套资源 专题打包
1
??
解析 因为
f
(
x
＋4)＝
f(
x
)，函数的周期为4，所以
f
(15)＝
f
(－1 )，
f
(－1)＝
?
－1＋
?
2
??
1< br>＝，
2
π2
?
1
?
所以
f
[f
(15)]＝
f
??
＝cos＝.
42
?
2
?
高频考点 三角函数的图象与性质
考点分析 纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，
综合的 知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以掌握此类题型的解法，
并在高考中拿全分．
?
π
?
[典例1] (2017·全国卷Ⅲ)设函数
f
(
x
)＝cos
?
x
＋
?
，则下列结论错误的是
3
??
( )
A．
f
(
x
)的一个周期为－2π
8π
B．y
＝
f
(
x
)的图象关于直线
x
＝对称 3
π
C．
f
(
x
＋π)的一个零点为
x
＝
6
?
π
?
D．
f
(
x
)在
?
，π
?
上单调递减
?
2
?
答案 D
?
π
?
解析 因为
f
(
x
)＝cos?
x
＋
?
的周期为2
k
π(
k
∈Z) ，所以
f
(
x
)的一个周期为－2π，A
3
??
π
?
π
?
项正确．因为
f
(
x
)＝cos< br>?
x
＋
?
的图象的对称轴为直线
x
＝
kπ－(
k
∈Z)，所以
y
＝
f
(
x
)
3
?
3
?
8π4ππ
?
4π
?
的 图象关于直线
x
＝对称，B项正确．
f
(
x
＋π)＝cos
?
x
＋
?
.令
x
＋＝
k
π＋(< br>k
∈
3
?
332
?
5ππ
Z)，得
x
＝
k
π－π，当
k
＝1时，
x
＝，所以
f
(
x
＋π)的一个零点为
x
＝，C项正确．因
666π2π
??
π
??
为
f
(
x
)＝co s
?
x
＋
?
的递减区间为
?
2
k
π－，2
k
π＋
?
(
k
∈Z)，递增区间为
3?
33
???
?
2
k
π＋
2π
，2< br>k
π＋
5π
?
(
k
∈Z)，
?
π2 π
??
2π
，π
?
是增区间，所以
?
，
?
是减区间，D项错误．故
???
3
?
33
?
3???
2
??
选D.
π
???
π
?
[典例2] (2018·北京高考)设函数
f
(
x
)＝cos
?
ω
x
－
?
( ω>0)．若
f
(
x
)≤
f
??
对任
6< br>???
4
?
意的实数
x
都成立，则ω的最小值为______ __．
2
答案
3
ππ2
解析 结合余弦函数的图象得ω－＝2
k
π，
k
∈Z，解得ω＝8
k
＋，
k
∈Z .又∵ω>0，
463

精品系列 成套资源 专题打包
2
∴当
k
＝0时，ω取得最小值，最小值为.
3
方法指导 函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)(
A
>0 ，ω>0)的性质
π
(1)奇偶性：φ＝
k
π(
k
∈Z) 时，函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)为奇函数；φ＝
k
π＋(
k
∈Z)
2
时，函数
y
＝
A< br>sin(ω
x
＋φ)为偶函数．(原理：诱导公式、
y
＝
A< br>sinω
x
为奇函数、
y
＝
A
cosω
x< br>＋
b
为偶函数)
2π
(2)周期性：
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)存在周期性，其最小正周期为
T
＝.
ω
ππ
(3)单调性：根据
y
＝sin
t
和
t< br>＝ω
x
＋φ的单调性来研究，由－＋2
k
π≤ω
x
＋ φ≤
22
＋2
k
π，
k
∈Z得单调递增区间；由
间 ．(原理：复合函数同增异减)
(4)对称性：利用
y
＝sin
x
的对称中心为(
k
π，0)(
k
∈Z)求解，令ω
x
＋φ＝
k
π(
k
∈Z)，
ππ
求得
x
.利用y
＝sin
x
的对称轴为
x
＝
k
π＋(
k
∈Z)求解，令ω
x
＋φ＝
k
π＋(
k
∈Z) ，求
22
得其对称轴．(原理：对称中心、对称轴处函数值的特点)
注意：明确推导 以上结论的原理，可以类似推出
y
＝
A
cos(ω
x
＋φ) 、
y
＝
A
tan(ω
x
＋φ)
的相关性质.





π3π
＋2
k
π≤ω
x
＋φ≤＋2
k
π，
k
∈Z得单调递减区
22

精品系列 成套资源 专题打包
第4讲 函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)的图象及应用



1.“五点法”作函数
y
＝
A
sin(ωx
＋φ)(
A
>0，ω>0)的简图
“五点法”作图的五点是在一个周 期内的最高点、最低点及与
x
轴相交的三个点，作图
时的一般步骤为：
(1)定点：如下表所示．

(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的 曲线顺次连接得到
y
＝
A
sin(ω
x
＋
φ)在一 个周期内的图象．
(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)在R上的图象．
2．函数
y
＝sin
x
的图象经变换得到
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)(
A
>0，ω>0)的图象的步骤

精品系列 成套资源 专题打包


1．概念辨析
π
(1)将函数
y
＝3sin2
x
的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是
y
＝
4
π
??
3sin
?
2
x
＋
?
. ( )
4
??
(2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平 移”中平移的长度一
致．( )
1
(3)将函数
y
＝2sin< br>x
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得函数
y
2
＝ 2sin的图象．( )
2
(4)由图象求解析式时，振幅
A
的大小是由 一个周期内图象中最高点的值与最低点的值
确定的．( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√

2．小题热身
π
??
(1)函数
y
＝2sin
?
2
x
＋
?
的振幅、频率和初相分别为( )
4
??
1π
A．2，，
π4
1π
C．2，，
π8
答案 A
π
?
2π11π
?
解析 函数y
＝2sin
?
2
x
＋
?
的振幅是2，周期< br>T
＝＝π，频率
f
＝＝，初相是，
4
?
2
T
π4
?
B．2，
D．2，
1π
，
2π4
1π
，－
2π8
x

精品系列 成套资源 专题打包
故选A.
?
π
?
(2)用五点法作函数y
＝sin
?
x
－
?
在一个周期内的图象时，主要确定 的五个点是
6
??
________、________、__________、_ _______、________.
答案
?
?
π
，0
?

?
?
6
?
?
2π
，1
?

?
3
?
??
?
7π
，0
?

?
6
?
??
?
5π
，－1
?

?
3
?
??
?
13π
，0
?

?
6
?
??
解析 列表：


?
π
??
2π
??
7π
??
5π
，－1
?
、
?
13π
，0
?
. 五个点依次是
?
， 0
?
、
?
，1
?
、
?
，0
?、
???
6
?
?
6
??
3
??
6
??
3
???
1π
(3)将函数
f
(
x
)＝－cos2
x
的图象向右平移个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标
26
伸长到原来的2倍，得到函数
y
＝
g
(
x
)的 图象，则
g
?
答案
3

2
?
3π
?
＝________.
?
?
4
?
1π1
解析 函数
f
(
x
)＝－cos2
x
的图象向右平移个单位长度后得函数
y
＝－262
π
?
1
??
π
?
cos2
?< br>x
－
?
＝－cos
?
2
x
－
?，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数
g
(
x
)
6
?
3
?
2
??
π
?
π3
??
3π
??
3ππ
?
＝－cos
?
2
x－
?
，所以
g
??
＝－cos
?
－
?
＝sin＝.
3
?
3
?
32
??
4??
2
(4)(2018·长春模拟)函数
f
(
x
)＝
A
sin(ω
x
＋φ)(
A
>0，ω>0，|φ|<π)的 部分图象如
图所示，则函数
f
(
x
)的解析式为________．

精品系列 成套资源 专题打包

π
??
答案 < br>f
(
x
)＝2sin
?
2
x
＋
?< br>
3
??
T
7πππ2π
解析 由图象可知
A
＝2，＝－＝，所以＝π，ω＝2，所以
f
(
x
)＝2sin(2
x
41234ω
＋φ)，又
f
?
?
7π
?
＝－2，所以2×
7π
＋φ＝2
k
π＋
3π
，
k< br>∈Z，φ＝2
k
π＋
π
，
k
∈Z，又
?1223
?
12
?
π
?
π
?
|φ|< π，所以φ＝，所以
f
(
x
)＝2sin
?
2
x< br>＋
?
.
3
?
3
?

题型
一
函数
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)的图象及变换



2π
??
1．(2 017·全国卷Ⅰ)已知曲线
C
1
：
y
＝cos
x
，
C
2
：
y
＝sin
?
2
x
＋< br>?
，则下面结论正确
3
??
的是( )
π
A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
6
个单位长度，得到曲线
C
2

π
B．把
C1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
12
个单位长度，得到曲线
C
2

1π
C．把
C
1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
26
单位长度，得 到曲线
C
2

1π
D．把
C
1
上各点的横 坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个
212
单位长度，得到曲线
C
2

答案 D

精品系列 成套资源 专题打包
2π
?
ππ
?
π
????
π
??
解析 由
C
2
：
y
＝sin
?
2
x
＋< br>?
＝sin
?
2
x
＋＋
?
＝cos
(
2
x
＋
)
＝cos
?
2
?
x
＋
??
.
3
?
62
?
6
????
12
??
根据三角 函数图象变换的规律，可得D正确．
2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数
y
＝sinω
x
与
y
＝cosω
x
的任意三个相< br>邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )
A．π B.
答案 B
解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±
长为2×
2
，故等边三角形的高为 2，由此得到边
2
6π4π
C. D.3π
23
3262π266π
×2＝，边长即为函数的周期，故＝，ω＝.
33ω32

?
ππ
?
3．已知函数
f
(
x
)＝2sinω
x
(ω>0)在区间
?
－，
?< br>上单调递增，求ω的最大值．
?
34
?
π
??
π< br>?
ππ
?
解 函数
f
(
x
)＝2sinω< br>x
(ω>0)在
?
－，
?
上单调递增，所以
?
－，
?
?
?
2ω2ω
??
34
?
ππ< br>－≤－，
?
3
?
－
π
，
π
?
，所以
?
2ω
?
2ω2ω
?
?
ππ
??
?
?
2ω
≥
4
.


33
解得0<ω≤，所以ω的最大值为.
22
π
??
4． 已知函数
y
＝cos
?
2
x
－
?
.
3
??
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；
π
??
(3)说明
y
＝cos
?
2
x
－
?
的图象可由
y
＝cos
x
的图象经过怎样的变换而得到．
3
??

精品系列 成套资源 专题打包

π
?
2ππ
?
解 (1)函数
y
＝cos
?
2
x
－
?
的振幅为1，周期
T
＝＝π，初相是－ .
3
?
23
?
(2)列表：


描点，连线．

π
?
π
?
(3)解法一：把y
＝cos
x
的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到
y
＝ cos
?
x
－
?
3
?
3
?
的图象 ；

精品系列 成套资源 专题打包
1
?
π
?再把
y
＝cos
?
x
－
?
的图象上所有点的横 坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到
y
＝
3
?
2
?π
??
cos
?
2
x
－
?
的图象．
3
??
1
解法二：将
y
＝cos
x
的图象 上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得到
y
＝
2
cos2
x
的图象；
π
?
π
??
π
???
再将
y
＝cos2
x
的图象向右平移个单位长度，得到
y
＝co s
?
2
?
x
－
??
＝cos
?
2
x
－
?
的
6
??
3
?
6
???
图象．


作函数
y
＝
A
sin (ω
x
＋φ)(
A
>0，ω>0)的图象常用的两种方法
(1)五 点法作图：用“五点法”作
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)的简 图，主要是通过变量代换，设
π
2
3π
，2π来求出相应的
x
，通过列表，计算得出五点坐标，
2
z
＝ω
x
＋φ，由
z
取0，，π，
描点后得出图象．
(2)图象的变换：由函数
y
＝s in
x
的图象通过变换得到
y
＝
A
sin(ω
x< br>＋φ)的图象有两种
途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

1.要 想得到函数
y
＝sin2
x
＋1的图象，只需将函数
y
＝c os2
x
的图象( )
π
A.向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
4
π
B.向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度
4
π
C.向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
2
π
D.向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度
2
答案 B
π
解析 先将函数
y
＝cos2
x
的图象向右平移个单 位长度，得到
y
＝sin2
x
的图象，再
4
向上平移1个单 位长度，即得
y
＝sin2
x
＋1的图象，故选B.
π
? ?
2.(2018·青岛模拟)将函数
f
(
x
)＝2sin
?
2
x
＋
?
图象上的每个点的横坐标缩短为原来
3
??
π
的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数
g
(x
)的图象，在
g
(
x
)图象
12
的所有对称 轴中，离原点最近的对称轴方程为( )

精品系列 成套资源 专题打包
π
A.
x
＝－
24
5π
C.
x
＝
24
答案 A
π
B．
x
＝
4
π
D．
x
＝
12
π
??
解析 当函数
f
(
x
)＝2s in
?
2
x
＋
?
图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半 ，纵坐
3
??
π
?
π
?
4
x
＋< br>标不变时，此时函数解析式可表示为
f
1
(
x
)＝2sin< br>?
，再将所得图象向左平移个单
?
3
?
12
?
2π
?
??
π
?
π
?
?
位得到函数g
(
x
)的图象，则
g
(
x
)可以表示为g
(
x
)＝2sin
?
4
?
x
＋?
＋
?
＝2sin
?
4
x
＋
?
.
3
??
?
?
12
?
3
?
2 πππ
k
π
则函数
g
(
x
)的图象的对称轴可表示 为4
x
＋＝＋
k
π，
k
∈Z，即
x
＝－＋ ，
k
32244
π
∈Z.则
g
(
x
)的图 象离原点最近的对称轴，即
g
(
x
)的图象离
y
轴最近的对 称轴为
x
＝－.
24
题型
二
由图象确定
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)的解析式

1.已知函数
f
(
x
)＝
A
sin(ω
x
＋φ)(
A
>0，ω>0,0<φ<π)，其导函数
f
′(
x
)的图象如图
?
π
?
所示，则
f
??
的 值为( )
?
2
?

A．22 B.2 C．－
答案 D
解析 依题意得
f
′(
x
)＝
A
ωcos(ω
x
＋φ)，结合函数
y
＝
f
′(x
)的图象，则
T
＝
4
?
2π
＝
ω< br>22
D．－
24
?
3π
－
π
?
＝π，ω＝2.
8< br>?
?
8
?
1
又
A
ω＝1，因此
A< br>＝.
2
3π3π7π3π
?
3π
??
3π
?
因为0<φ<π，<＋φ<，且
f
′
??
＝cos
?＋φ
?
＝－1，所以＋φ＝
4444
?
8
??
4
?

精品系列 成套资源 专题打包
π
?
π
?
π1
?
122
?
π
?
1
?
π ，即φ＝，所以
f
(
x
)＝sin
?
2
x
＋
?
，
f
??
＝sin
?
π＋
?
＝－×＝－.
4
?
4
?
42
?
224
?
2
?
2
?
2.设
f
(
x
)＝A
sin(ω
x
＋φ)(
A
>0，ω>0，|φ|<π)，其图 象上最高点
M
的坐标是(2，2)，
曲线上的点
P
由点
M< br>运动到相邻的最低点
N
时，在点
Q
(6,0)处越过
x
轴．
(1)求
A
，ω，φ的值；
(2)函数
f
(x
)的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；
若不能，说明 理由．
2ππ
解 (1)由题意知
A
＝2，
T
＝(6－2 )×4＝16，所以ω＝＝.又因为
Q
(6,0)是零
T
8
ππ值点，且|φ|<π，所以×6＋φ＝π，所以φ＝，经验证，符合题意．所以
A
＝2，< br>84
ππ
ω＝，φ＝.
84
(2)
f
(
x
)的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．
π
??
π
由(1 )知
f
(
x
)＝2sin
?
x
＋
?
，当
f
(
x
)的图象向右平移2个单位长度后，所得图象
4
??
8
π
的函数解析式为
g
(
x
)＝2sin< br>x
，是奇函数.
8

确定
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)＋
b
(
A
>0，ω>0)中参数的方法
(1)求
A
，
b
：确定函数的最大值
M
和最小值< br>m
，则
A
＝
2π
(2)求ω：确定函数的周期
T，则可得ω＝；
M
－
m
2
，
b
＝
M
＋
m
2
；
T
(3)求φ：常用的方法有：
①代 入法：把图象上的一个已知点代入(此时
A
，ω，
b
已知)或代入图象与直线
y
＝
b
的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

精品系列 成套资源 专题打包



π
??
1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数
f
(
x
)＝cos (π
x
＋φ)
?
0<φ<
?
的部分图象，则
2??
f
(3
x
0
)＝( )

1
A.
2
C.
3

2
1
B．－
2
D．－
3

2
答案 D
解析 ∵
f
(
x
)＝cos(πx
＋φ)的图象过点
?
0，
∴
?
?
3
?
?
，
2
?
π
?
3ππ3
?
＝ cosφ，结合0<φ<，可得φ＝.∴由图象可得cos
?
π
x
0
＋
?
＝，π
x
0
6
?
2226
?
ππ5
＋＝2π－，解得
x
0
＝.
663
π
?< br>3
?
∴
f
(3
x
0
)＝
f
(5)＝cos
?
5π＋
?
＝－.
6
?
2
?

精品系列 成套资源 专题打包
π
??
2.已知函数
f
(
x
)＝
A
tan (ω
x
＋φ)
?
ω>0，|φ|＜
?
，
y
＝
f
(
x
)的部分图象如图所示，
2
??
?
π
?
则
f
??
等于________．
?
24
?

答案 3
T
3ππππ
解析 观察图象可知＝－，所以＝，ω＝2，所以
f
(
x
)＝
A
t an(2
x
＋φ)．
2882ω4
?
3π
，0
?
，
?
3π
?
所以
3π
＋φ＝
k
π (
k
∈Z)，又因为函数图象过点
?
所以0＝
A
tan?
2×＋φ
?
，
?
8
4
?
8
???
3πππ
所以φ＝
k
π－(
k
∈Z)．又因为|φ| <，所以φ＝.又图象过点(0,1)，
424
π
??
所以
A＝1.综上知，
f
(
x
)＝tan
?
2
x＋
?
，
4
??
?
π
??
ππ
?
故
f
??
＝tan
?
2×＋
?
＝3.
?
24
??
244
?
题型
三
三角函数图象性质的应用

角度1 三角函数模型的应用
?
π
1 ．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
y
＝3sin
?
x
＋φ
?
6
据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A.5 B．6 C．8 D．10
?
＋
k
，
?
?

精品系列 成套资源 专题打包
答案 C
解析 由图象可知，
y
min
＝2 ，因为
y
min
＝－3＋
k
，所以－3＋
k
＝2， 解得
k
＝5，所以这
段时间水深的最大值是
y
max
＝3＋
k
＝3＋5＝8.
角度2 函数零点(方程根)问题
?
π
??
2π
?
2.已知关于
x
的方程2sin
?
x
＋
?
＋1－
a
＝0在区间
?
0，
?
上存在两个根，则实数
a
6
?
3
???
的取值范围是__ ______．
答案 [2,3)
π
?
π
??
π
?
a
－1
，
?
2π
?
解析 2sin
?
x
＋
?
＋1－
a
＝0化为sin
?
x＋
?
＝令
t
＝
x
＋，由
x
∈
?
0，
?
得，
6
?
6
?
3
?26
???
?
t
＝
x
＋∈
?
，
π
6
π
?
6
5π
?
a
－11
a
－1
?
π5π
?
，画出函数
y
＝sin
t
，
t
∈
?
，
?
的图象和直线
y
＝ ，当≤
?
6
?
6
?
222
?
6
< 1，即2≤
a
<3时，函数
y
＝sin
t
，
t∈
?
程有两个根.
?
π
，
5π
?
的 图象和直线
y
＝
a
－1
有两个公共点，原方
?
6< br>?
2
?
6
角度3 三角函数图象性质的综合
π
??
3.函数
f
(
x
)＝
A
sin(ω
x＋φ)
?
ω>0，|φ|<
?
的部分图象如图，则( )
2
??

π
A．函数
f
(
x
)的 对称轴方程为
x
＝4
k
π＋(
k
∈Z)
4
π5π
??
B.函数
f
(
x
)的递减区间为
?< br>8
k
π＋，8
k
π＋
?
(
k
∈Z)
44
??
C.函数
f
(
x
)的递增区间为[8k
＋1,8
k
＋5](
k
∈Z)
17
??< br>D.
f
(
x
)≥1的解集为
?
8
k
－，8
k
＋
?
(
k
∈Z)
33
??
答案 D
2ππ
解析 由题图知，
A
＝ 2，函数
f
(
x
)的最小正周期
T
＝4×(3－1)＝8， 故ω＝＝，
84
?
π
?
因为点(1,2)在图象上，所以2sin< br>?
π
＋φ
?
＝2，因为|φ|<
π
，所以
f
(
x
)＝2sin
?
x
＋φ
?
，
?
4
?
2
?
4
???

精品系列 成套资源 专题打包
π
?
ππππ
?
π
所以φ＝，即f
(
x
)＝2sin
?
x
＋
?
，由< br>x
＋＝
k
π＋(
k
∈Z)得
x
＝4
k
＋1，即函数
4
?
4442
?
4
f
(< br>x
)的对称轴方程为
x
＝4
k
＋1(
k
∈Z )，所以A项错误；由2
k
π＋≤
x
＋≤2
k
π＋
π
2
π
4
π
4
3π
(
k
2
∈Z)得8
k
＋1≤
x
≤8
k
＋5，即函数
f< br>(
x
)的单调减区间为[8
k
＋1,8
k
＋5](< br>k
∈Z)，所以B，C
π
?
π
?
1πππ5π
?
π
?
π
两项错误；由2sin
?
x
＋
?
≥1，得sin
?
x
＋
?
≥，所以2
k
π＋≤
x
＋≤2
k
π＋
4
?
4
?
26446
?
4
?
4
17
?
17
?
(
k
∈Z)，解得8
k
－≤
x
≤8
k
＋ (
k
∈Z)，即不等式
f
(
x
)≥1的解集为
?< br>8
k
－，8
k
＋
?
(
k
∈Z)，< br>33
?
33
?
故选D.

(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面
①已知三角函数模型，利用三角函数的有关 性质解决问题，其关键是准确理解自变量的
意义及自变量与函数之间的对应法则；
②把实际问 题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解
决问题，其关键是建模．
(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路
①把函数表达式转化为正弦型函数形式
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)＋
B
(
A< br>>0，ω>0)；
②画出一个周期上的函数图象；
③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．
(3)研究
y
＝
A
sin(ω
x
＋φ)的性质时可将ω
x
＋φ视为一个整体，利用 换元法和数形结
合思想解题.





??
π
??
1.设函数
f
(
x
)＝
?
sin
?
x
＋
??
(
x
∈R)，则
f
(
x
)( )
3
????
A.在区间
?< br>?
2π
，
7π
?
上是增函数
6
?
?
3
?
π
??
B.在区间
?
－π，－
?< br>上是减函数
2
??
?
ππ
?
C.在区间
?
－，
?
上是增函数
?
34
?
?
π5π< br>?
D.在区间
?
，
?
上是减函数
6
??
3
答案 A

精品系列 成套资源 专题打包
??
π
??
解析 函数
f
(
x
)＝
?
sin
?
x
＋
??
(
x
∈R)的图象 如图所示，由图象可知函数
f
(
x
)＝
3
????
?
sin
?
x
＋
π
??
(
x
∈R )在区间
?
2π
，
7π
?
上是增函数．故选A.
?????
3
?
3
??
6
????

2.一个大风车的半径为8 m,12 min旋转一周，它的最低点
P
0
离地面2 m，风车翼片的
一个端点
P
从
P
0
开始按逆时针方向旋转，则点
P
离地面距离h
(m)与时间
t
(min)之间的函数
关系式是( )

π
A．
h
(
t
)＝－8sin
t
＋10
6
π
B.
h
(
t
)＝－cos
t
＋10
6
π
C.
h
(
t
)＝－8sin
t
＋8
6
π
D.
h
(
t
)＝－8cos
t
＋10
6
答案 D
解析 设
h
(
t
)＝
A
cosω
t
＋
B
，因为12 min旋转一周，
2ππ
所以＝12，所以ω＝，
ω6
由于最大值与最小值分别为18,2.
?
?
－
A＋
B
＝18，
所以
?
?
A
＋
B
＝2，
?

解得
A
＝－8，
B
＝10.
π
所以
h
(
t
)＝－8cos
t
＋10.
6
π
???
π
??
π
?
3.若函数
f
(
x
)＝sin
?
ω
x
＋
?
(ω>0)满足
f
(0)＝
f
??
，且函数在
?
0 ，
?
上有且只有
6
?
2
???
3
??

精品系列 成套资源 专题打包
一个零点，则
f
(
x
)的最小正周期为( )
A.
π3π
B．π C. D．2π
22
答案 B
π
0＋
3
π
解析 依题意，函数
f
(
x< br>)图象的一条对称轴为
x
＝＝，又因为函数
f
(
x
) 在
26
?
0，
π
?
上有且只有一个零点，所以
π< br>－0≤
T
≤
π
－
π
，所以
2π
≤< br>T
≤
4π
.根据选项可得，
??
?
2
?f
(
x
)的最小正周期为π.




642633

精品系列 成套资源 专题打包
第5讲 简单的三角恒等变换
第1课时 两角和、差及倍角公式


1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
01
cosαcosβ±sinαsinβ. (1)C
(α?β)
：cos (α?β)＝□
02
sinαcosβ±cosαsinβ. (2)S
(α±β)< br>：sin(α±β)＝□
03
tanα±tanβ
?
α，β，α±β≠
π
＋
k
π，
k
∈Z
?
. (3)T
(α±β)
：tan(α±β)＝□
??
2
1?tanαtanβ
??
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
01
2sinαcosα. (1)S2α
：sin2α＝□
02
cos
2
α－sin
2α＝□
03
2cos
2
α－1＝□
04
1－2sin< br>2
α. (2)C
2α
：cos2α＝□
05
2tanα
(3)T
2α
：tan2α＝□
2
1－tanα
?
α≠±
π
＋
k
π，且α≠
k
π＋
π
，
k
∈Z
?
.
??
42
??
3.公式的常用变形
01
tan(α±β)(1?tanαtanβ)． (1)tanα±tanβ＝□
2
02
1＋cos2α
， (2)cosα＝□
2
2
03
1－cos2α
. sinα＝□
2
(3)1±sin2α＝(sinα±cosα)，
π
??
sinα±cosα＝2sin
?
α±
?
.
4
??
04
a
2
＋
b
2
sin( α＋φ)，(4)
a
sinα＋
b
cosα＝□其中cosφ＝
ta nφ＝(
a
≠0)．
2
a
a
2
＋
b，sinφ＝
2
b
a
2
＋
b
2
，b
a

精品系列 成套资源 专题打包
1.概念辨析
(1)公式C
(α±β)
，S
(α±β)
，S
2α
，C
2α
中的角α，β是任意的．( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．( )
(3 )在锐角△
ABC
中，sin
A
sin
B
和cos
A
cos
B
大小关系不确定．( )
tanα＋tanβ
(4) 公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－
1－tanαtan β
tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立．( )
α
?
2
α
?
α
(5)对任意角α都有1＋sin＝
?
sin＋cos?
.( )
66
?
3
?
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.小题热身
π
?
4
?
(1)若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin?
α＋
?
＝( )
4
?
5
?
A.－
227272
B. C．－ D.
10101010
答案 C
4
解析 因为cosα＝－，α是第三象限的角，
5
3
2
所以sinα＝－1－cosα＝－，
5
π
?
ππ
?
所以sin
?
α＋
?
＝sinαcos ＋cosαsin
4
?
44
?
2
?
4
?
272
?
3
?
＝
?
－
?
×＋?
－
?
×＝－.
10
?
5
?
2?
5
?
2
(2)计算：cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)s inβ＝( )
(α＋2β)
(α＋2β)
答案 D
解析 cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝cos[(α＋β)－β]＝cosα.
3
(3)已知cos
x
＝，则cos2
x
＝( )
4
1111
A.－ B. C．－ D.
4488
答案 D
1
?
3
?
22
解析 cos2
x
＝2cos
x
－1＝2×
??
－1＝.
8
?
4
?
(4)在平面直角坐标系
xOy
中，角α与角β 均以
Ox
为始边，它们的终边关于
y
轴对
3
称．若tanα ＝，则tan(α－β)的值为( )
5
B．sinα
D．cosα

精品系列 成套资源 专题打包
30915
A.0 B. C. D.
34168
答案 D
解析 由角α与角β的始边相同，终边关于
y< br>轴对称可知tanα＝－tanβ.又tanα
33
＝，所以tanβ＝－，
55
3
?
3
?
－
?
－
?
5
?
5
?
tanα－tanβ15
所以tan(α－β)＝＝＝，故选D.
1＋tanαtanβ
3
?
3
?
8
1＋×
?
－
?
5
?
5
?

题型
一
两角和、差及倍角公式的直接应用
< br>1.已知角α与角β均以
x
轴的非负半轴为始边，它们的终边关于
y
轴 对称，且角α
的终边与单位圆交于点
P
?
42
答案 －
9
解析 因为角α的终边与单位圆交于点
P
?
122
所以sinα＝，cosα＝.
33
因为角α与角β的终边关于
y
轴对称，
?
221?
，
?
，则sin(α－β)＝________.
?
33
?
?
221
?
，
?
， < br>?
33
?
?
221
?
所以角β的终边与单位圆交于点
Q
?
－，
?
，
?
33
?
122
所以sinβ＝，cosβ＝－，
33< br>1
?
22
?
22142
所以sin(α－β)＝sinαco sβ－cosαsinβ＝×
?
－
－×＝－.
?
3
?339
3
?
5π
?
1
?
2.(2018·全国 卷Ⅱ)已知tan
?
α－
?
＝，则tanα＝________.
4
?
5
?
3
答案
2
5π
ta nα－tan
4
5π
?
tanα－11
?
α－
解析 tan
?
＝＝＝，
?
4
?
5π1＋tanα5
?
1＋tanα·tan
4

精品系列 成套资源 专题打包
3
解方程得tanα＝.
2
5
?
π
??
5π
3.已知α∈
?
，π
?
，sinα＝，则cos
?－2α
5
?
2
??
6
4＋33
答案 －
10
5
?
π
?
解析 因为α∈
?
，π
?
，sinα＝.
5
?
2
?
25
2
所以cosα＝－1－sinα＝－.
5
4
所以sin2α＝2sinαcosα＝－，
5
3
22
cos2α＝cosα－sinα＝，
5
所以cos
?
＝－



?
的值为________．
?
?
?
5π
－2α
?
＝cos
5π
cos2α＋sin
5π
sin2α ?
66
?
6
?
331
?
4
?
4＋33
×＋×
?
－
?
＝－.
252
?
5
?
10

应用三角公式化简求值的策略
(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两
角差的 余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.


1π
1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin2α的值为( )
32
42222242
A.－ B．－ C. D.
9999
答案 A
11π
解析 ∵sin(π－α)＝，∴sinα＝，又∵≤α≤π，
332
22
2
∴cosα＝－1－sinα＝－，
3

精品系列 成套资源 专题打包
1
?
22
?
42
∴sin2α＝2sinαcosα＝2××
?
－
＝－.
?
3
?
9
3
?
45
2.(2018·上饶 三模)由射线
y
＝
x
(
x
≥0)按逆时针方向旋转到射线< br>y
＝－
x
(
x
≤0)的
312
位置所成的角 为θ，则cosθ＝( )
16165656
A.－ B．± C．－ D．±
65656565
答案 A
4435
解析 设
y
＝
x
(
x
≥0)的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝，射线
y
＝－
x
(
x
≤0)
35512
512
的倾斜角为β ，sinβ＝，cosβ＝－，∴cosθ＝cos(β－α)＝cosαcosβ＋
1313
3
?
12
?
4516
sinαsinβ＝×
?
－< br>?
＋×＝－.
5
?
13
?
51365
11 tanα
3.若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则等于( )
23tanβ
1
A.5 B．－1 C．6 D.
6
答案 A
1
解析 由题意可得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，
2
15
sinαcosβ－cosαsinβ＝，解得sinαcosβ＝，
312
1tanα
cosαsinβ＝，∴＝5.
12tanβ
题型
二
两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( )
1323
A. B. C. D.
2322
答案 A
解析 －sin133°cos197°－cos47°cos73°
＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17°
1
＝sin(47°－17°)＝sin30°＝.
2
2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( )
A.3
C.2
答案 C
解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)
B．1＋2
D．2(tan18°＋tan27°)

精品系列 成套资源 专题打包
＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°
＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2.
3.已知sinα＋cosα＝
7
答案
8
解析 由sinα＋c osα＝
55
22
，得sinα＋cosα＋2sinαcosα＝1＋sin2α＝ ，所
24
5
，则cos4α＝________.
2
1
?
2
71
?
2
以sin2α＝，从而cos4α＝1－2sin2α＝ 1－2×
??
＝.
4
?
4
?
8
4
条件探究1 将举例说明3的条件改为“sinα－cosα＝”，求cos4α.
3
4
解 因为sinα－cosα＝，
3
16
所以1－2sinαcosα＝，
9
7
所以sin2α＝2sinαcosα＝－，
9
17
?
7
?
22
所以cos4α＝1－2sin2α＝1－2×
?
－
?
＝－.
81
?
9
?
π
?
2
2
?
条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos
?
α－
?
＝，α∈(π，2π)”，求sinα
4
?
3
?
＋co sα.
π
??
1＋cos
?
2α－
?
2
?
π
?
?
2
?
解 因为cos
?
α－
?
＝
4
?
2
?
1＋sin2α21
＝＝.所以sin2α＝>0，
233
3π
??又因为α∈(π，2π)，所以α∈
?
π，
?
，
2
??
所以sinα＋cosα<0，
14
2
(sinα＋cosα)＝1＋2sinαcosα＝1＋＝，
33
23
所以sinα＋cosα＝－.
3

1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题
(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．
13
(2)注意特殊 角的应用，当式子中出现，1，，3等这些数值时，一定要考虑引入
22
特殊角，把“值变角” 构造适合公式的形式．

精品系列 成套资源 专题打包
2．熟记三角函数公式的两类变式
(1)和差角公式变形
sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，
cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，
tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanαtanβ)．
(2)倍角公式变形
1＋cos2α1－cos2α
22
降幂公式cosα＝，sinα＝，
2 2
α
?
2,
?
α
2
α
2
α
配方变形：1±sinα＝
?
sin±cos
?
1＋cosα＝2cos， 1－cosα＝2sin.
22
?
22
?





x
2
xx
2
x
1.若
x∈[0，π]，sinsin＝coscos，则
x
的值是( )
3333
A.
ππππ
B. C. D.
6432
答案 D
x
2
xx
2
x
π
解析 由已知得，coscos－ sinsin＝cos
x
＝0.∵
x
∈[0，π]，∴
x
＝ .
33332
2.(2019·湖南郴州质检)已知
x
∈(0，π)， < br>π
??
π
?
2
?
x
sin
?
－
x
?
＝cos
?
＋
?
，则tan
x< br>＝( )
?
3
??
24
?
12
A. B．－2 C. D.2
22
答案 D
解析 因为sin
?
?
π
－
x
?
＝cos
2
?
x
＋< br>π
?
，
??
24
?
?
3
???< br>?
π
?
1＋cos
?
x
＋
?
2?
31
?
所以cos
x
－sin
x
＝， 222
3cos
x
－sin
x
＝1－sin
x
，解得cos
x
＝
3
，
3
2
因为
x∈(0，π)，所以sin
x
＝1－cos
x
＝
6
，
3

精品系列 成套资源 专题打包
sin
x
所以tan
x
＝＝＝2.
cos
x3
3
2tan
3.化简：
2
1－tan
1
答案
2
1
sin2α
2
解析 原式＝tan(90°－2α)·＝
cos2α
1
sin2α
cos2α
2
1
＝·＝.
sin2αcos2α2
题型
三
两角和、差及倍角公式的灵活应用

角度1 角的变换
π
?
1π4
?
1.(201 8·南开区模拟)已知0<α＜<β<π，cos
?
β－
?
＝，sin(α＋ β)＝.
4
?
325
?
(1)求sin2β的值；
π
??
α＋
(2)求cos
??
的值．
4
??
π
?
7
?
π
?
2
?
解 ( 1)sin2β＝cos
?
－2β
?
＝2cos
?
β－?
－1＝－.
4
?
9
?
2
??
ππ 3π
(2)因为0<α<<β<π，所以<α＋β<，
222
π
??
所以sin
?
β－
?
>0，cos(α＋β)<0，
4
??
π
?
14
?
因为cos
?
β－
?＝，sin(α＋β)＝，
4
?
35
?
π
?
223
?
所以sin
?
β－
?
＝，cos(α＋β)＝－，
4
?
35
?
π
???
所以cos
?
α＋
?
＝cos
?
4
???
α＋β
π
? ?
π
???
－
?
β－
??
＝cos(α＋β)·c os
?
β－
?
＋
4
??
4
???
－2α
－2α
1
sin2α
2
·
cos2α
－α
－α
·
sinαcosα
＝________.
22
co sα－sinα
6
3
π
??
3
?
142282－3
?
sin(α＋β)sin
?
β－
?
＝
?
－
?
×＋×＝.
4
??
5
?
35315
?
角度2 函数名称的变换
sin10°
2.求值：(1)＝________；
1－3tan10°
1＋cos20°
?
1
－tan5°
?
＝________. (2)－sin10°
??
2sin20°
?
tan5°
?