高考数学(全国用文科)一轮专题练习：专题2 函数概念与基本初等函数I 第8练 Word版含解析

训练目标
训练题型
(1)函数奇偶性的概念；(2)函数周期性．
(1)判定函数的奇偶性；(2)函数奇偶性 的应用(求函数值，求参数)；(3)函数周
期性的应用．
(1)判断函数的奇偶性首先要考虑函数定义域是否关于原点对称；(2)根据奇偶
解题策略 性求参数，可先用特殊值法求出参数，然后验证；(3)理解并应用关于周期函
数的重要结论：如f(x )满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)的周期T＝2|a|.
一、选择题
1．(2 016·江西赣州于都实验中学大考三)若奇函数f(x)＝3sinx＋c的定义域是[a，b]，则a＋b< br>＋c等于()
A．3B．－3
C．0D．无法计算
2．设f(x)是定义 在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图象，
则f(2014)＋f( 2015)等于()

A．3B．2
C．1D．0
3．函数f(x)是 周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上
的解集为()
A．(1,3) B．(－1,1)
C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)
4．已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g( 1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()
A．4B．3
C．2D．1
5．(2016·吉林汪清六中月考)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f( x)，当0≤x≤1
时，f(x)＝x，则f(7.5)等于()
A．0.5B．－0.5

C．1.5D．－1.5
6．(2016·开封二模)已知函数f(x)定义 在R上，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋22，若函
数y＝f(x)的图象关于y轴对称， f(－1)＝2，则f(2015)等于()
A．－2＋22B．2＋22
C．2－22D．2
?
1－2
x
?x≥0?，
?
7．已知函数f(x)＝
?
x
则该函数是()
?
2－1?x<0?，
?
－

A．偶函数且单调递增B．偶函数且单调递减
C．奇函数且单调递增D．奇函数且单调递减
2x
8．对任意实数a、b，定义两种运算：ab＝a
2
－b
2，a?b＝?a－b?
2
，则函数f(x)＝
2－?x?2?
()
A．是奇函数，但不是偶函数
B．是偶函数，但不是奇函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
二、填空题 9．(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x
2
)为偶函数，则a ＝________.
1
10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f(x＋ 2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2015)
f?x?
＝________.
2< br>?
?
x－2x，x≥0，
11．若函数f(x)＝
?
2
是奇函数，则实数a的值为________．
?
－x＋ax，x<0
?

12．(2016·山东乳山一中月考)定义在(－∞，＋∞)上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝ －f(x)，且在
[－1,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
1
?①f(x)的图象关于点P
?
?
2
，0
?
对称；②f( x)的图象关于直线x＝1对称；③f(x)在[0,1]上是增函
数；④f(2)＝f(0)．
其中正确的是________．(把你认为正确的判断序号都填上)

答案精析

1．C[因为函数f(x)＝3sin x＋c的定义域是[a，b]，并且是奇函数，所以f(0)＝0，
即3sin 0＋c＝0，得c＝ 0，而奇函数的定义域关于原点对称，所以a＋b＝0，所以a＋b＋c

＝0.故选C. ]
2．A[因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2 014)＋f(2 01 5)＝f(671×3＋1)
＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图象可知f(1) ＝1，f(－1)＝2，所以f(2 014)＋f(2 015)＝1
＋2＝3.]
3．C[f(x)的图象如图．

当x∈(－1,0)时，xf(x)>0；
当x∈(0,1)时，xf(x)<0；
当x∈(1,3)时，xf(x)>0.
所以x∈(－1,0)∪(1,3)．]
4．B[由题意知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
得f(－1)＝－f(1)，g(－1)＝g(1)，
??
?
f(－1)＋ g(1)＝2，
?
－f(1)＋g(1)＝2，
?
?
?
< br>?
f(1)＋g(－1)＝4
?
??
f(1)＋g(1)＝4，
解得g(1)＝3.故选B.]
5．B[∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(7.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.故选B.]
6．D[依题意 得f(－1)＝2，f(x＋4)＋f(x)＝22，f(x＋8)＋f(x＋4)＝22，因此f(x＋8)＝ f(x)．注
意到2 015＝8×251＋7，因此f(2 015)＝f(7)＝f(－1)＝2，故选D.]
7．C[当x>0时，f(x)＝1－2
－
x
，
这时－x<0，所以f(－x)＝2
－
x
－1，

于是f(－x)＝－f(x)；
当x<0时，f(x)＝2
x
－1，这时－x>0，
所以f(－x)＝1－2
x
，于是也有f(－x)＝－f(x)．
又f(0)＝0，故函数f(x)是一个奇函数．
又因为当x>0时，f(x)＝1－2
－
x
单调递增，
当x<0时，f(x)＝2
x
－1也单调递增，
所以f(x)单调递增．故选C.]
8．A[由题意可得
4－x
2
2x
f(x)＝＝，
2－?x?2?
2－(x－ 2)
2
?
?
则
?
(x－2)
≥0，
??
2－(x－2)
≠0
2
2
4－x
2
≥0，< br>

－2≤x≤2，
?
?
?
?
x∈R，?
?
x≠4且x≠0

?－2≤x≤2且x≠0.
即此函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]．
所以－4≤x－2<－2或－2所以(x－2)
2
＝|x－2|＝2－x，
4－x
2
4－x
2
4－x
2
.
x
所以f(x)＝
2－
因为f(－x)＝
＝＝
2－(2－x)
(x－ 2)
2
4－(－x)
2

－x
＝－
4－x
2
＝－f(x)≠f(x)，
x
2x
所以函数f(x)＝是奇函数，但不是偶函数．]
2－?x?2?

9．1
解析 f(x)为偶函数，则ln(x＋所以ln(x＋a＋x
2
)＋ln(－x＋
a＋x
2
)为奇函数 ，
a＋x
2
)＝0，
即ln(a＋x
2
－x
2
)＝0，所以a＝1.
10．1
1
解析 由f(x＋2)＝，
f(x)
1
得f(－1＋2)＝，
f(－1)
即f(1)f(－1)＝1，
而f(1)＝1，故f(－1)＝1，
1
又因为f(x＋4)＝＝f(x)，
f(x＋2)
所以f(2 015)＝f(504×4－1)＝f(－1)＝1.
11．－2
解析 因为f(x)是奇函数，
所以f(0)＝0，
当x>0时，－x<0，
由f(－x)＝－f(x)，
得－(－x)
2
＋a(－x)＝－(x
2
－2x)，
则a＝－2；
当x<0时，－x>0，
由f(－x)＝－f(x)，
得(－x)
2
－2(－x)＝－(－x
2
＋ax)，
得x
2
＋2x＝x
2
－ax，则a＝－2.
所以a＝－2.
12．①②④
1111
x＋
?
＝－f< br>?
x－
?
，结合偶函数的条件，可知f
?
＋x
?＝－f
?
－x
?
，所以解析 根据题意有f
?
?
2
??
2
??
2
??
2
?

1
?
函数图象关于点
?
故①正确；式子还可以变形为f(x＋2)＝f(x )＝f(－x)，故②正确；
?
2
，0
?
对称，
根据对称性 ，可知函数在[0,1]上是减函数，故③错；由②可知f(2)＝f(0)，故④正确．所以
答案为① ②④.