初级中学数学各种公式(全套完整版)

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数学各种公式及性质


1． 乘法与因式分解
①(a
＋
b)(a
－
b)
＝
a
2
－
b
2
；
②(a±b)
2
＝
a
2
±2ab
＋
b
2
；
③(a
＋
b)(a
2
－
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
＋
b
3
；
b5E2RGbCAP
④ (a
－
b)(a
2
＋
ab
＋
b
2
)
＝
a
3
－
b
3
；
a
2
＋
b
2
＝
(a
＋
b)
2
－
2ab
；
(a
－
b)
2
＝
(a
＋
b)< br>2
－
4ab.
p1EanqFDPw
2． 幂地运算性质
①a×a
＝
a
⑥a
-n
＝
mnm+n
a
＝
a
；
②a÷
mnm-n
a
n
a
n
；
③(a)
＝
a
；
④(ab)
＝
ab
；< br>⑤()
＝
n
；
DXDiTa9E3d
b
b
mnmnnnn
1
-nn0
()()⑦a
，特别：＝；＝
1(a≠0 ).
n
a
3． 二次根式
①()
2
＝
a(a≥ 0)
；
②
＝丨
a
丨；
③
＝
×
；< br>④
＝
(a
＞
0
，
b≥0).
4． 三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；
加强条件：||a| -|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量地三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b）
RTCrpUDGiT
|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ；
|a-b|≥|a|-|b|
；
-|a|≤a≤|a|
；

5． 某些数列前n项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)2 ；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n
2
；
5PCzVD 7HxA
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)； 1
2
+2
2
+3
2
+4
2
+5
2
+6
2
+7
2
+8
2
+…+n
2
=n(n+1)(2 n+1)6；
jLBHrnAILg
1
3
+2
3
+33
+4
3
+5
3
+6
3
+…n
3=n
2
(n+1)
2
4
；
1*2+2*3+3*4+ 4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3
；
xHAQX74J 0X
6． 一元二次方程
对于方程：
ax
＋
bx
＋c
＝
0
：

2
?b?b?4ac
2
①
求根公式是
x
＝，其中
△
＝
b
－
4ac< br>叫做根地判别式
.
2a
2
当
△
＞
0
时，方程有两个不相等地实数根；

当
△
＝
0
时，方程有两个相等地实数根；

当△
＜
0
时，方程没有实数根．注意：当
△≥0
时，方程有实数根
.
1 10

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②
若方程有两个实数根
x
1
和
x
2
，则二次三项式
ax
2
＋
bx
＋
c
可分解为
a(x
－x
1
)(x
－
x
2
).
③
以
a
和
b
为根地一元二次方程是
x
2
－
(a
＋
b)x
＋
ab
＝
0.
7． 一次函数
一次 函数
y
＝
kx
＋
b(k≠0)
地图象是一条直线
( b
是直线与
y
轴地交点地纵坐标，称为截距
).
①
当k
＞
0
时，
y
随
x
地增大而增大
(< br>直线从左向右上升
)
；

②
当
k
＜
0
时，
y
随
x
地增大而减小
(
直线从左向右下降< br>)
；

③
特别地：当
b
＝
0
时，< br>y
＝
kx(k≠0)
又叫做正比例函数
(y
与
x成正比例
)
，图象必过原点
.
8． 反比例函数
反比例函数
y
＝
(k≠0)
地图象叫做双曲线
.
①
当
k
＞
0
时，双曲线在一、三象限
(
在每一象限 内，从左向右降
)
；

②
当
k
＜
0
时，双曲线在二、四象限
(
在每一象限内，从左向右上升
).
9． 二次函数
（1）.定义：一般地，如果
y?ax
2
?bx?c(a,b,c
是常数，
a?0)
，那么
y
叫做
x
地二次函数.
（2）.抛物线地三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①
a
地符号决定抛物 线地开口方向：当
a?0
时，开口向上；当
a?0
时，开口向下；
a
相等，抛物线地开口大小、形状相同.
②平行于
y
轴（或重合） 地直线记作
x?h
.特别地，
y
轴记作直线
x?0
.
（3）.几种特殊地二次函数地图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴
x?0
（
y
轴）
顶点坐标
（0,0）
(0,
k
)
(
h
,0)
(
h
,
k
)
b4ac?b
2
(
?，
)
2a4a
y?ax
2

y?ax
2
?k

当
a?0
时
开口向上
当
a?0
时
开口向下
x?0
（
y
轴）
y?a
?
x?h
?

2
x?h

x?h

y?a
?
x?h
?
?k

2
y?ax?bx?c

（4）.求抛物线地顶点、对称轴地方法
2
b
x??

2a
2 10

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b4ac?b
2
b
?
4ac?b
2
?
①公式法：
y?ax?bx?c?a
?< br>x?
?
?
，∴顶点是，对称轴是直线
（?，）
2a4a
2a
?
4a
?
2
2
x??
b
.
2a
2
②配方法：运用配方地方法，将抛物线地解析式化为
y?a
?
x?h
?
?k
地形式，得到顶点为(
h
,
k
)，
对称轴是直线
x?h
.
③运用抛物线地对称性：由于抛物线是以对称轴为轴 地轴对称图形，对称轴与抛物线地交点
是顶点.
若已知抛物线上两点
( x
1
,y)、
，则对称轴方程可以表示为：
x?
(x
2,y)
（及y值相同）
2
y?ax?bx?c
中，
a,b,c< br>地作用 （5）.抛物线
x
1
?x
2

2
①
a
决定开口方向及开口大小，这与
y?ax
2
中地
a
完全一样.
②
b
和
a
共同决定抛物线对称轴地位置.由于抛物线
y?ax
2
?bx?c
地对称轴是直线.
bb
x??，故：①
b?0
时，对称轴为
y
轴；②
?0
（即
a
、
b
同号）时，对称轴在
y
轴
2aa
b
左侧；③
?0
（即
a
、
b
异号）时，对称轴在
y
轴右侧.
a
③
c
地大小决定抛物线
y?ax
2< br>?bx?c
与
y
轴交点地位置.
当
x?0时，
y?c
，∴抛物线
y?ax
2
?bx?c
与
y
轴有且只有一个交点（0，
c
）：
①
c?0
，抛物线经过原点; ②
c?0
,与
y
轴 交于正半轴；③
c?0
,与
y
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线地对称轴在
y
轴右侧，则
（6）.用待定系数法求二次函数地解析式
b
?0
.
a
①一般式：
y?ax
2
?bx?c
.已知图像上三点或三对
x
、
y
地值，通常选择一般式.
②顶点式：
y?a
?
x? h
?
?k
.已知图像地顶点或对称轴，通常选择顶点式.
2
③交点 式：已知图像与
x
轴地交点坐标
x
1
、
x
2
，通常选用交点式：
y?a
?
x?x
1
??
x?x
2
?
.
（7）.直线与抛物线地交点
①
y
轴与抛物线
y?ax
2
?bx?c
得交点为(0,
c
).
②抛物线与
x
轴地交点.
二次函数
y?ax
2
?bx?c
地图像与
x
轴地两个交点地横坐标
x
1
、x
2
，是对应一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
地 两个实数根.抛物线与
x
轴地交点情况可以由对应地一元二次方程地根地判别
式判定：
a有两个交点
?
(
??0
)
?
抛物线与
x
轴相交；
b有一个交点（顶点在
x
轴上）
?
(
? ?0
)
?
抛物线与
x
轴相切；
c没有交点
?(
??0
)
?
抛物线与
x
轴相离.
③平行于
x
轴地直线与抛物线地交点
3 10

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同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交 点.当有2个交点时，两交点地纵坐标相等，设纵
坐标为
k
，则横坐标是
ax
2
?bx?c?k
地两个实数根.
LDAYtRyKfE
④一次函 数
y?kx?n
?
k?0
?
地图像
l
与二次函数< br>y?ax
2
?bx?c
?
a?0
?
地图像
G
地交点，由方程
组
y?kx?n
y?ax
2
?bx?c
地解地数目来确定：
a方程组有两组不同地解时
?
l
与
G
有两个交点；
b方程组只有一组解时
?
l
与
G
只有一个交点；
c方程组无解时
?
l
与
G
没有交点.
⑤抛物线与
x
轴两交点之间地距离：若抛物线
y?ax
2
?bx?c
与
x
轴两交点为
A
?
x
1
，0
?
， B
?
x
2
，0
?
，
则
AB?x
1
?x
2

10． 统计初步
（
1
）概念：
①
所要考察地对象地全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取
地一部份个 体叫做总体地一个样本，样本中个体地数目叫做样本容量．
②
在一组数据中，出现
次数 最多地数
(
有时不止一个
)
，叫做这组数据地众数．
③
将一 组数据按大小顺序排列，把处在
最中间地一个数
(
或两个数地平均数
)
叫做这组数据地中位数．
Zzz6ZB2Ltk
（2）公式：设有n个数x
1，x
2
，…，x
n
，那么：
①平均数为：
x=
x
1
+x
2
+......+x
n
；
n
②极差：用一组数据地最大值减去最小值所得地差来反映这组数据地变化范围，用这种方法
得到地差称 为极差，即：极差=最大值-最小值；
dvzfvkwMI1
③方差：数据
x
1
、
x
2
……,
x
n
地方差为
s
2
，
2
1
轾< br>则
s
=
犏
(
x
1
-x
)
+
n
臌
2
(
x
2
-x
)
+.... .+
2
(
x
n
-x
)
2

④标准差：方差地算术平方根.
数据
x
1
、
x
2
……,
x
n
地标准差
s
，
则
s
=
2< br>1
轾
x-x+
()
犏
1
n
臌
(x
2
-x
)
+.....+
4 10
2
(
x
n
-x
)
2

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一组数据地方差越大，这组数据地波动越大，越不稳定.
11． 频率与概率
（1）频率
频率=
频数
，各小组地频数之和等于总数，各小组地频率之和等 于1，频率分布直方图中各
总数
个小长方形地面积为各组频率.
rqyn14ZNXI
（2）概率
①如果用P表示一个事件A发生地概率，则0≤P（A）≤1；
P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；
②在具体情境中了解概率地意义，运用列举法 （包括列表、画树状图）计算简单事件发生地
概率.
③大量地重复实验时频率可视为事件发生概率地估计值；
12． 锐角三角形
①< br>设
∠A
是
△ABC
地任一锐角，则
∠A
地正弦：sinA
＝
∠A
地正切：
tanA
＝
，
∠A< br>地余弦：
cosA
＝，
22
．并且
sinA
＋
cosA
＝
1.
EmxvxOtOco
0
＜
sinA< br>＜
1
，
0
＜
cosA
＜
1
，
tanA
＞
0
．
∠A
越大，
∠A
地正弦和正切值 越大，余弦值反而越
小
.
SixE2yXPq5
②
余角公式：sin(90?
－
A)
＝
cosA
，
cos(90?< br>－
A)
＝
sinA.
③
特殊角地三角函数值：
si n30?sin45?
＝
cos60?
＝，＝
cos45?
＝
tan30?
＝，
tan45?
＝
1
，
tan60?＝
.
h
α
l
sin60?
，＝
cos30?
＝

6ewMyirQFL
，
④
斜坡地坡度：
i
＝
铅垂高度
＝．设坡角为α
，则
i
＝
tanα
＝
.
水平宽度
13． 正（余）弦定理
（1）正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R；注：其中 R 表示三角形地外接圆半径.
kavU42VRUs
正弦定理地变形公式：(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；
(2) sinA : sinB : sinC = a : b :
c
y6v3ALoS89
（2）余弦定理 b< br>2
=a
2
+c
2
-2accosB；a
2
= b
2
+c
2
-2bccosA；c
2
=a
2
+b
2
-2abcosC；
M2ub6vSTnP
注：
∠C所对地边为
c
，
∠B
所对地边为
b
，
∠A所对地边为
a
5 10

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14． 三角函数公式
（
1
）

两角和公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB- sinBcosA
0YujCfmUCw
cos(A+B)=cosAcosB- sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
eUts8ZQVRd
tan(A+B)=(tanA+tanB)(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)(1+tanAtanB)
sQsAEJkW5T
ctg(A+B)=(ctgActgB-1)(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)(ctgB-ctgA)
GMsIasNXkA
（
2
）

倍角公式

tan2A=2tanA(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

（
3
）

半角公式

sin(A2)=√((1-cosA)2) sin(A2)=-√((1-cosA)2)
cos(A2)=√((1+cosA)2) cos(A2)=-√((1+cosA)2)
tan(A2)=√((1-cosA)((1+cosA)) tan(A2)=-√((1-cosA)((1+cosA))
TIrRGchYzg
ctg(A2)=√((1+cosA)((1-cosA)) ctg(A2)=-√((1+cosA)((1-cosA))
7EqZcWLZNX
（
4
）

和差化积

sinA+sinB=2sin((A+B)2)cos((A-B)2 cosA+cosB=2cos((A+B)2)sin((A-B)2)
lzq7IGf02E
tanA+tanB=sin(A+B)cosAcosB tanA- tanB=sin(A-B)cosAcosB
zvpgeqJ1hk
ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)sinAsinB
NrpoJac3v1
（
5
）

积化和差

2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
1nowfTG4KI
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
fjnFLDa5Zo
15． 平面直角坐标系中地有关知识
（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a
，
b），则P关于x轴对称地点为P
1
（a
，－
b），P关于
y轴对称地点为P
2
（
－
a
，
b），关于原点对称地点为P
3
（
－
a
，－
b）.
tfnNhnE6e5 （2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a
，
b）向左平移h个单位，坐标变为P（a< br>－
h
，
b），
向右平移h个单位，坐标变为P（a＋h
，b）；向上平移h个单位，坐标变为P（a
，
b＋h），向
下平移h个单位，坐标 变为P（a
，
b－h）.如：点A（2，－1）向上平移2个单位，再向右平
移5个单 位，则坐标变为A（7，1）.
HbmVN777sL
6 10

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16． 多边形内角和公式
多边形内角和公式：
n
边形地内角和等于
(n
－
2)180?< br>（
n≥3
，
n
是正整数），外角和等于
360?
17 ． 平行线段成比例定理
（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得地对应线段成比例.
如图：a ∥b∥c，直线l
1
与l
2
分别与直线a
、
b
、< br>c相交与点A
、
B
、
C和D
、
E
、
F，
则有
ABDEABDEBCEF
?,?,?
.
BCEFAC DFACDF
（2）推论：平行于三角形一边地直线截其他两边（或两边地延长线），所得地对应线段成 比例.
如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB
、
AC相交与点D
、E，则有：
ADAEADAEDEDBEC
?,??,?
DBECABACBCA BAC
V7l4jRB8Hs





l
1
A
B
C
l
2
D
E
FA
E
A
D
a
b
c
B
C
BC
D
E
18． 直角三角形中地射影定理
直角三角形中地射影定理：如 图：Rt△ABC中，∠ACB＝90
o
，CD⊥AB于D，
则有：（1）
CD
2
?AD?BD
（2）
AC
2
?AD?AB
（ 3）
BC
2
?BD?AB

19． 圆地有关性质
AC
DB
（
1
）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中地任意两个性 质：
①
经过圆心；
②
垂直弦；
③
平分弦；
④
平分弦所对地劣弧；
⑤
平分弦所对地优弧，那么这条直线就具有另外三个性
质．注： 具备
①
，
③
时，弦不能是直径
.
83lcPA59W9
（
2
）两条平行弦所夹地弧相等
.
（
3
）圆心角地度数等于它所对地弧地度数
.
（
4
）一条弧所对地圆周角等于它所对地圆心角地一半
.
（
5
）圆周角等于它所对地弧地度数地一半
.
（
6
）同弧或等弧所对地圆周角相等
.
7 10

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（
7
）在同圆或等圆中，相等地圆周角所对地弧相等
.
（
8
）
90?
地圆周角所对地弦是直径，反之，直径所对地圆周角是
90?，直径是最长地弦
.
、

（
9
）圆内接四边形地对角互补
.
20． 三角形地内心与外心
（1）三角形地内切圆地圆心叫做三角形地内心．三角形地内心就是三内角角平分线地交点.
（2）三角形地外接圆地圆心叫做三角形地外心．三角形地外心就是三边中垂线地交点．
常见 结论：①Rt△ABC地三条边分别为：a
、
b
、
c（c为斜边），则它地内 切圆地半径
r?
1
S?lr
2
②△ABC地周长为
l
，面积为S，其内切圆地半径为r，则
a?b?c
；
2
21． 弦切角定理及其推论
（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另 一边和圆相切地角叫做弦切角.如图：∠PAC
为弦切角.
（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹地弧地度数地一半.
A

11< br>如果AC是⊙O地弦，PA是⊙O地切线，A为切点，则
?PAC?AC??AOC

22
推论：弦切角等于所夹弧所对地圆周角（作用证明角相等）
如果AC是⊙O地弦，PA是⊙O地切线，A为切点，则
?PAC??ABC

22． 相交弦定理、割线定理和切割线定理
（1）相交弦定理：圆内地两条弦相交，被交点分成地两条线段长地积相等.
如图①，即：PA·PB = PC·PD
（2）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线，这 点到每条割线与圆交点地两条线段长地积相等.
如图②，即：PA·PB = PC·PD
mZkklkzaaP
（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线，切线长 是这点到割线与圆交点地两条线段长
地比例中项.如图③，即：PC
2
= PA·PB
AVktR43bpw


C
O
P
B
D
C
O
A
D
P
B
8 10
B

O

C

P

C
O
A
B
P
A

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① ② ③
23． 面积公式
①S
正
△
＝
×(
边长)
2
．

⑧
S
扇形
n
?
r< br>2
1
??lr

3602
②S
平行四边形
＝底
×
高．

⑨
S
圆柱侧
＝底面周长
×
高＝
2πrh
，

③S
菱形
＝底
×(
对角线地积
)
，
高＝
×
1
④
S
梯形
?(上底?下底)?高?中位线?高

2
S
全面积
＝
S
侧
＋
S
底
＝
2πrh
＋
2πr
2

⑩
S
圆锥侧
＝
×
底面周长
×
母线＝
πrb
，

S
全面积
＝
S
侧
＋
S
底
＝
πrb
＋
πr
2

⑤
S
圆
＝
πR
2
．

⑥
l
圆周长
＝
2πR
．

⑦
弧长
L
＝


．

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有
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