高一数学必修一集合与函数的概念

高一数学必修一集合与函数的概念



第一章集合与函数概念

一：集合的含义与表示

1、集合的含义： 集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这 个整体。

把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为
集。

2、集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于 这个集合是确
定的：属于或不属于。

(2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复
的。

(3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位
置不影响集合

3、集合的表示：{…}

(1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……}

b、描述法：

①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表
示集合。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。

4、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合

(2)无限集：含有无限个元素的集合

(3)空集：不含任何元素的集合

5、元素与集合的关系：

(1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA

(2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即自然数集)记作：N

正整数集N*或N+

整数集Z

有理数集Q

实数集R

6、集合间的基本关系

(1).“包含”关系(1)—子集

定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的 元素，我们说这
两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA)

注意：有两种可能(1)A是B的一部分;

(2)A与B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或
BA

(2).“包含”关系(2)—真子集

如果集合，但存在元素xB且x￠A，则集合A是集合B的真子集

如 果AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
读作A真含与B

(3).“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”

如果AB同时BA那么A=B

(4).不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

(5)集合的性质

①任何一个集合是它本身的子集。AA

②如果AB,BC,那么AC

③如果AB且BC，那么AC

④有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

7、集合的运算

运算类型交集并集补集

定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B 的交
集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.由所有属于集
合A或 属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：
AB(读作‘A并B’)，即AB={x| xA，或xB}).全集：一般，若一个集
合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集 合为
全集，记作：U

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元
素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作，

CSA=

韦恩图示

性质A∩A=A

A∩Φ=Φ

A∩B=BA

A∩BA

A∩BBAUA=A

AUΦ=A

AUB=BUA

AUBA

AUBB(CuA)∩(CuB)=Cu(AUB)

(CuA)U(CuB)=Cu(A∩B)

AU(CuA)=U

A∩(CuA)=Φ.

二、函数的概念

1.函数的概念：设A、 B是非空的数集，如果按照某个确定的对
应关系f，使于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一 确定
的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个
函数.记作：y= f(x)，x∈A.

(1)其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;

(2)与x的值相 对应的y值叫做函数值，函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3.函数的表示方法：

(1)解析法：明确函数的定义域

(2)图想像：确定函数图像是否连线，函数的图 像可以是连续的
曲线、直线、折线、离散的点等等。

(3)列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。

4、函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),( x∈A)中的x
为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数
y=f(x ),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系
y=f(x)，反过来，以满足y =f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标
的点(x，y)，均在C上.

(2)画法

A、描点法：B、图象变换法：平移变换;伸缩变换;对称变换，即
平移。

(3)函数图像平移变换的特点：

1)加左减右——————只对x

2)上减下加——————只对y

3)函数y=f(x)关于X轴对称得函数y=-f(x)

4)函数y=f(x)关于Y轴对称得函数y=f(-x)

5)函数y=f(x)关于原点对称得函数y=-f(-x)

6)函数y=f(x)将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不
动得

函数y=|f(x)|

7)函数y=f(x)先作x≥0的图像，然后作关于y轴对 称的图像得
函数f(|x|)

三、函数的基本性质

1、函数解析式子的求法

(1)、函数的解析式是函数的一种表示方 法，要求两个变量之间
的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数
的定义 域.

(2)、求函数的解析式的主要方法有：

1)代入法：

2)待定系数法：

3)换元法：

4)拼凑法：

2.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数 通过四则运算结合而成的.那么，
它的定义域是使各部分都有意的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

3、相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值
的字母无关);

②定义域一致(两点必须同时具备)

4、区间的概念：

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

(2)无穷区间

(3)区间的数轴表示

5、值域(先考虑其定义域)

(1)观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值
域;

(2 )反表示法：针对分式的类型，把Y关于X的函数关系式化成
X关于Y的函数关系式，

由X的范围类似求Y的范围。

(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来
确定函数的值域，

注意定义域的范围。

(4)代换法(换元法)：作变量代换，针对根式的题型，转化成二
次函数的类型。

6.分段函数

(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况.

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的
并集.

(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

7.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应
法则f，使对于集合A中的任意 一个元素x，在集合B中都有唯一确
定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的
一个映射。记作“f(对应关系)：A(原象)B(象)”

对于映射f：A→B来说，则应满足：

(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一
的;

(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;

(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

注意：映射是针对自然界 中的所有事物而言的，而函数仅仅是针
对数字来说的。所以函数是映射，而映射不一定的函数

8、函数的单调性(局部性质)及最值

(1)、增减函数

1)设 函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x1，x2，当 x1

2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，

那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调
减区间.

注意：函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调
不增，和单调不减两种

(2)、图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函 数
y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的
图象从左到右是上 升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3)、函数单调区间与单调性的判定方法