高中数学必修1：集合的概念及其运算 知识点及经典例题 含答案

集合的概念及其运算



【知识概述】

一、集合有关概念

1.集合的含义：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
2.集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性.
3.元素与集合之间只能用“
?
”或“
?
”符号连接.
4.集合的表示：
①自然语言描述法；②列举法；③描述法；④Venn图法.
5.常见的特殊集合：
①非负整数集（即自然数集）N；
②正整数集
N
?
或
N
*
；
③整数集Z；
④有理数集Q；
⑤实数集R.
6.集合的分类：①有限集；②无限集；③空集 .
二、集合间的基本关系
1.子集
2.真子集
3.空集:空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
注：集合之间只能用“
?
”“
?
”等连接，元素与集合间用“
?
”或“
?
”符号连接
三、集合的基本运算
1.交集
2.并集
3.交集与并集的性质：
A
A
A?A,A???,AB?BA;

A?A,A??A,AB?BA.
4.全集与补集
（1）全集：用U来表示.
（2）补集：
?
U
A?xx?U且x?A
.

??

【学前诊断】

1．[难度] 易
已知集合A =｛x | x ( x -1) = 0｝，那么（ ）
A. -1∈A B. 1
?
A C. 0∈A D. 0
?
A

2．[难度] 易
已知
A,B< br>均为集合
U?{1,3,5,7,9}
的子集，且
AB?{3}
，(?
U
B)A?{9}
，则
A?
（ ）．
A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}

3．[难度] 易
设
P?{xx?4}, Q?{xx?4}
，则（ ）
A．
P?Q
B．
Q?P
C．
P?

【经典例题】
< br>2
例1．已知集合
A?
?
1,3,x
?
集合
B?1,x
，若
B?A
，则满足条件的实数
x
的个数
2?
Q
D．
Q?
?
P

RR
??
是（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
2
解：因为
B?A
，所以x
2
?3
，或
x?x
．
解得
x??3
，或
x?0, 1
．
当
x?1时，
A,B
中元素不满足互异性，故
x?1
；
当x=0时，A={1,3,0}，B={1,0}，满足条件；
当
x?3
时，A={1,3，
3
}，B={1,3}，满足条件；
当
x??3
时，A={1,3，
?3
}，B={1,3}，满足条件 ；
故满足条件的实数
x
有3个．

k1??k1?
?, k?Z
?
，
N?
?
xx??,k?Z
?
，则（ ）
2442
????
A.
M?N
D.
MN??

例2．设集合
M?
?
xx?


?

解：集合M的元素为：
x?
k12k?1

(k?Z)
，
??
244
3113
,?,,?
.
4444
因为
2k?1
为奇数，所以集合M中的元素为
?,?
集合N的元素为：
x ?
k1k?2
??
(k?Z)
，
424
321123因为
k?2
为整数，所以集合N中的元素为
?,?,?,?,0,,,?
.
444444
故
M
N
，因此选B．

例3． 已知集合
U?
?
1,2,3,4,5,6,7
?
,A?
?< br>2,4,5,7
?
，
B?
?
3,4,5
?
， 则
(痧
U
A)(
U
B)
=( )
A．
?
1,2,3,6,7
?
B.
?
2,3,4,5,7
?
C.
?
4,5
?
D.
?
1,6
?

解：
?1,3,6}
，
?1,2,6,7}
，故
(痧
U
A?{
U
B?{
U
A)

例4． 设集合A?
?
1,2
?
，则满足
A
(
U
B) ?{1,2,3,6,7}
．因此选A．
B?
?
1,2,3
?
的集合B 的个数是（ ）
A．1 B. 3 C. 4 D. 8
解法1：因为
A?{1,2}
，
A?B?{1,2,3}
，则集合B中必含有元素3．
故
B?{3}
，或
B?{1,3}
，或
B?{2,3}
，或
B?{1,2,3}
，共4个．因此选C．
解法2：注意到集合
B
中必含有元素3，而
B
中其他元素应当由从
A
中取0个、1个、
2个元素而得到，这相当于求集合
A
的子集的个数问题．
而集合
A
有2个元素，故
A
的子集共有
2?4
个， 于是满足题目条件的集合
B
共有4
个．选C．
例 5．设集合
S? xx?2?3,T?xa?x?a?8,S
2
??
??
T?R
，则< br>a
的取值范围是（ ）
A．
?3?a??1
B.
?3?a??1

C.
a??3
或
a??1
D.
a??3
或
a??1

解：由
x?2?3
，得
x?2??3
，或
x?2?3
．
所以
x??1
， 或
x?5
，即
S?(??,?1)
又
S
(5,??)
．
T?R
，结合图形，
?
a??1,
可知有
?
解得
?3?a??1.

?
a?8?5,
因此选A．


a
-1
5
a+8

例 6．定义集合运算< br>A?B?zz?xy(x?y),x?A,y?B
，设集合
A?
?
0, 1
?
,B?
?
2,3
?
，
则集合
A?B< br>的所有元素之和为（ ）
A． 0 B.6 C.12 D.18
解：当
x?0
时，不论
y? 2
还是
y?3
，都有
z?0
．
当
x?1
时，若
y?2
，则
z?1?2(1?2)?6
；
当
x?1
时，若
y?3
，则
z?1?3(1?3)?12
．
??
A?B?{0,6,12}
，故所有元素之和为18，因此选D．

例 7．已知集合
A?
?
?
x,y
?
x
2
?mx?y?2?0,B?
?
(x,y)x?y?1?0,0?x?2
?，又
?
AB??,
求实数m的取值范围.
?
x
2< br>?mx?y?2?0,
解：联立
?
消去y，得
x
2
? (m?1)x?1?0
. （*）
?
x?y?1?0
?
x
2
?mx?y?2?0,
因为
AB??
，所以
?
在
0?x?2
上有解，
?
x?y?1?0
即
x
2
?(m?1)x?1?0
在
0?x?2
上至少有一个根．
2
故??0
，即
(m?1)?4?0
，解得
m??1
，或
m ?3
．
当
m?3
时，两根和
x
1
?x
2
??(m?1)?0
，两根积
x
1
x
2
?1
，
故方程（*）只有负根，因此
m?3
不可能．
当
m??1< br>时，两根和
x
1
?x
2
??(m?1)?0
，两根积
x
1
x
2
?1
，
故方程（*）两根都是正数，且互为倒数．
因此方程（*）在
0?x?2
上至少有一个根，所以
m??1
．


【本课总结】

1. 集合中的元素具有“确定性、互异性、 无序性”三个特性，在解题时要注意运用，
题目解出来后要注意检验其元素是否满足这三个性质，尤其是 集合元素的“互异性”
最容易被忽视，应引起足够的重视.

2. 用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一 般
地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示.
3. 含有n个元素的集合有
2
个子集，
2?1
个真子集.
4. 集合的运算性质：
对于任意两个集合A，B，有
nn
AB?BA,AB?B
AA?A,AA?A;
A???,A??A;
A;
如果A?B,则AB?A,AB? B;

A
?
U
A?U;
A
?
U
A ??;
痧
U
?
U
A
?
?A;
?B)?(痧 (
U
B)
；
U
(A
U
A)
?B)?(痧(
U
B)
．
U
(A
U
A)



【活学活用】

1. [难度] 易
已知集合S={a，b，c}中的三个元素分别是
?
ABC的三边长，那么
?
ABC一定不是（ ）.
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形

2. [难度] 易
设集合
A?x2x?1?3,B?x?3?x?2
，则
A?B
等于（ ）.
A.
x?3?x?1
B.
x1?x?2

C.
xx??3
D.
xx?1


3．[难度] 中
设
U ?
?
0,1,2,3
?
，
A?x?Ux?mx?0
，若?1,2
U
A?
?
2
????
??
??
????
??
?
，则实数
m?
_________．