高中数学人教版必修课后习题答案电子档

高中数学必修5课后习题答案

第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
练习（P31）
1、
2、前

是：

1?,?
.
0
1
21
2
33
…
…
5
69
…
…
12
153
…
…


5项分别
?
1*
?(n?2m,m?N)
*
?
?
?
2(n?2m,m ?N)
?
n
3、例1（1）
a
n
?
?
； （2）
a
n
?
?

*
?
?
1(n?2m?1,m?N
*
)
?
0(n?2m?1,m?N)
?
?
n
说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举 出其他可
能的通项公式表达形式不唯一的例子.
1
(?1)
n
1< br>?
4、（1）
a
n
?
(n?Z
?
)
； （3）
a
n
?
n?1
(n?Z
?
)

(n?Z)
； （2）
a
n
?
2n
2n?1
2
2
习题2.1 A组（P33）
1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；
（2）
2,6,22,3,10,23,14,15,4,32
；
（3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050；
2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.
1111
2、（1）
1,,,,
； （2）
2,?5,10,?17,26
.
491625
3、（1）（1），
?4
，9，（
?16
），25，（
?36
），49；
a
n
?(?1)
n?1
n
2
；
（2 ）1，
2
，（
3
），2，
5
，（
6
），< br>7
；
a
n
?n
.
1141
4、（1）
,3,13,53,213
； （2）
?,5,,?,5
.
2454
a
n
?n
2
?2n
.
a
n
?5n?4
；
a
n
?3n?2
；5、对应的答案分别是 ：（1）16,21；（2）10,13；（3）24,35；
6、15,21,28；
a
n
?a
n?1
?n
.
习题2.1 B组（P34）
1、前5项是1,9,73,585,4681.
8
n
?1
该数列的递推公式是：
a
n?1
?1?8a
n
,a1
?1
.通项公式是：
a
n
?
.
7

)
2
?10.144518
； 2、
a
1
?10?(1?0.72﹪)?10.072
；
a
2
?10?(1?0.72﹪
)
3
?10.217559
；
a
n
?10?(1?0.72﹪)
n
.
a
3
?10?(1?0.72﹪
35813
3、（1）1,2,3,5,8； （2）
2,,,,
.
2358
2.2 等差数列
练习（P39）
1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应 填：15，
?11
，
?24
.
2、
a
n
?15?2(n?1)?2n?13
，
a
10
?33
. 3、
c
n
?4n

4、（1）是，首项是
a
m?1
?a
1
?md
，公差不变，仍为
d
；
（2） 是，首项是
a
1
，公差
2d
；（3）仍然是等差数列；首项是
a
7
?a
1
?6d
；公差为
7d
.
5 、（1）因为
a
5
?a
3
?a
7
?a
5< br>，所以
2a
5
?a
3
?a
7
. 同理有
2a
5
?a
1
?a
9
也成立；
（2）
2a
n
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)< br>成立；
2a
n
?a
n?k
?a
n?k
(n? k?0)
也成立.
习题2.2 A组（P40）
1、（1）
a
n
?29
； （2）
n?10
； （3）
d?3
； （4）
a
1
?10
. 2、略.
3、
60?
. 4、
2℃
；
?11℃
；
?37℃
. 5、（1）
s?9.8t
； （2）588 cm，5 s.
习题2.2 B组（P40）

1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，< br>a
2010
?a
2002
?8d?0.26?10
5

再加上原有的沙化面积
9?10
5
，答案为
9.26?10
5
；
（2）2021年底，沙化面积开始小于
8?10
5
hm
2
.
2、略.
2.3 等差数列的前
n
项和
练习（P45）
1、（1）
?88
； （2）604.5.
?
59
,n?1
?
?
12
2、
a
n
?
?

6n?5
?
,n?1
?
?< br>12
3、元素个数是30，元素和为900.

习题2.3 A组（P46）
1、（1）
n(n?1)
； （2）
n
2
； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.
n(a
1
?a
n
)
，并解得
n?27
；
2
17
将
a
1
?20,a
n
?54,n?27
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
，并解得
d?
.
13
1n(a
1
?a
n
)
（2）将
d?,n?37,S
n
?629
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
，
S
n
?
，
32
2、（1）将
a
1
?20,a
n
?54,S< br>n
?999
代入
S
n
?
?
a
n?a
1
?12
?
得
?
37(a
1
?a
n
)
；解这个方程组，得
a
1
?11,a
n
?23
.
?629
?
2
?
51n(n?1)
（ 3）将
a
1
?,d??,S
n
??5
代入
S
n
?na
1
?d
，并解得
n?15
；
662< br>513
将
a
1
?,d??,n?15
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
，得
a
n
??
.
66
2
（4）将
d?2,n?15,a
n
??10
代入
a
n
?a
1
?(n?1)d
，并解得
a
1
??38
；
将
a
1
??38,a
n
??10,n?15
代入
S
n
?
3、
4.55?10
4
m. 4、4.
5、这些数的通项公式：
7(n?1)?2
，项数是14，和为665. 6、1472.
习题2.3 B组（P46）

n(a
1
?a< br>n
)
，得
S
n
??360
.
2
1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前
n
项和公式 ，求出5年内的总
共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.
2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐.
现提供2个证明方法供参考.
（1）由
S
6
?6a
1< br>?15d
，
S
12
?12a
1
?66d
，< br>S
18
?18a
1
?153d

可得S
6
?(S
18
?S
12
)?2(S
12?S
6
)
.
（2）
S
12
?S
6< br>?(a
1
?a
2
??a
12
)?(a
1?a
2
??a
6
)

同样可得：
S
18
?S
12
?S
6
?72d
，因此
S
6
?(S
18
?S
12
)?2(S
12
?S
6
)
.
3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；
所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.
（2）先求出15辆车总共的行驶时 间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次
递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶 时间呈等差数列分布，代入前
n
项和公式，
4?1
这个车队所有车的行驶时间 为
S?
2
3
?15?
85
h.
22

乘以车速
60
kmh，得行驶总路程为2550 km.
4、数列
?
?
1
?
111

??
?
的通项公式为
a
n
?
n(n?1)nn?1
?< br>n(n?1)
?
111111
所以
S
n
?(?) ?(?)?(?)?
122334
111n

?(?)?1??
nn?1n?1n?1
1111
类似地，我们可以求出通 项公式为
a
n
??(?)
的数列的前
n
项和.
n(n?k)knn?k
2.4 等比数列
练习（P52）
1、
2、由

被感染
2
一个首
为
50

4
2
8
0.08
16
0.0032
2
或
?2

题意可知，每一轮
的计算机台数构成
项 为
a
1
?80
，公比
q?20
的等比数
0.2
列，则第5轮被感染的计算机台数
a
5
为
a
5
?a
1
q
4
?80?20
4
?1.28?10
7< br>.
3、（1）将数列
?
a
n
?
中的前
k< br>项去掉，剩余的数列为
a
k?1
,a
k?2
,
列a
k?1
,a
k?2
,
因为
可视为
b
1
,b
2
,
.
是等比数列.
. 令
b?a
k?i
,i?1,2,
，则数
b
i?1
a
k?i?1
??q(i≥1)
，所以，
?
b
n
?
是等比数列，即
a
k?1
,a
k ?2
,
b
i
a
k?i
（2）
?
an
?
中的所有奇数列是
a
1
,a
3
,a
5
,
所以，数列
a
1
,a
3
,a
5
,
，则 < br>a
3
a
5
??
a
1
a
3
?
a
2k?1
?
a
2k?1
?q
2
(k≥1 )
.
是以
a
1
为首项，
q
2
为公比的等比数列.
， （3）
?
a
n
?
中每隔10项取出一项组成的数列 是
a
1
,a
12
,a
23
,
则
a
12
a
23
??
a
1
a
12
?< br>a
11k?1
?
a
11k?10
?q
11
( k≥1)

所以，数列
a
1
,a
12
,a23
,
是以
a
1
为首项，
q
11
为公 比的等比数列.
猜想：在数列
?
a
n
?
中每隔
m
（
m
是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列
是以
a
1
为首项，
q
m?1
为公比的等比数列.
2
?( a
1
q
4
)
2
?a
1
2
q
8
，而
a
3
?a
7
?a
1
q
2
?a
1
q
6
?a
1
2
q
8
4、（1）设
?
a
n
?
的公比为
q
，则
a
5

22
?a
3
?a
7
，同理< br>a
5
?a
1
?a
9
所以
a
5
2
?a
n?1
?a
n?1
(n?1)
. 由此得出 ，
a
n
是
a
n?1
和
a
n?1
的 等比中项. （2）用上面的方法不难证明
a
n
2
?a
n?k< br>?a
n?k
(n?k?0)
. 由此得出，
a
n
是< br>a
n?k
和
a
n?k
的等比中项
(n?k?0). 同理：可证明，
a
n
)
n
. 5、（1）设
n
年后这辆车的价值为
a
n
，则
a
n
?13.5(1 ?10﹪
)
4
?88573
（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. （2）
a
4
?13.5(1?10﹪
习题2.4 A组（P53）
1、（1）可由
a
4
?a
1
q
3
，得
a
1
??1
，
a
7
?a
1
q
6?(?1)?(?3)
6
??729
.
也可由
a< br>7
?a
1
q
6
，
a
4
?a
1
q
3
，得
a
7
?a
4
q
3?27?(?3)
3
??729

?
a
1
?2 7
?
a
1
??27
?
??
?
a
1
q?18
（2）由
?
3
，解得
?
2
， 或
?
2

q?q??
?
??
?
a
1
q?8
33
??
4
?
3
?
a
1
q?4
（3）由
?
6
，解得
q
2
?
，
2
?
?
a
1
q?6
2
a
7
6
2< br> 还可由
a
5
,a
7
,a
9
也成等比数 列，即
a?a
5
a
9
，得
a
9
???9< br>.
a
5
4
2
7
4
?
?
a
1
q?a
1
?15
（4）由
?
3
?< br>?
a
1
q?a
1
q?6
①
②
q
2
?15
1
?
，由此解得
q?
或
q ?2
. ①的两边分别除以②的两边，得
q2
2
当
q?
1
时，
a
1
??16
. 此时
a
3
?a
1
q
2
??4
. 当
q?2
时，
a
1
?1
. 此时
a
3
?a
1
q
2
?4
.
2
2、设
n
年后，需退耕
a
n
，则
?
an
?
是一个等比数列，其中
a
1
?8(1?10﹪),q?0. 1
.
)
5
?13
（万公顷） 那么2005年需退耕
a
5
?a
1
(1?q)
5
?8(1?10﹪
3、若< br>?
a
n
?
是各项均为正数的等比数列，则首项
a
1< br>和公比
q
都是正数.
由
a
n
?a
1< br>q
n?1
，得
a
n
?a
1
q
n?1
?a
1
q
1
2
n?1
2
?a
1< br>(q)
1
2
(n?1)
.
那么数列
?
a
n
?
是以
a
1
为首项，
q
为公比的等比 数列.
4、这张报纸的厚度为0.05 mm，对折一次后厚度为0.05×2 mm，再对折后厚度为0.05×
2
2

mm，再对折后厚度为0.05×
2
3
mm. 设
a
0
?0.05
，对折
n
次后报纸的厚度为
a
n< br>，则
?
a
n
?
是一个
等比数列，公比
q?2
. 对折50次后，报纸的厚度为
这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约
3.84?10
8
m
），所以能够在地球和月
球之间建一座桥.
5、设年平均增长率为
q,a
1
?105
，
n
年后空气质量为良的天数为
a
n< br>，则
?
a
n
?
是一个等比数列.
由
a
3
?240
，得
a
3
?a
1
(1?q)< br>2
?105(1?q)
2
?240
，解得
q?
240
?1?0.51

105
a?ba?b?2ab(a?b)
2
a?b
6、由已知条件知，
A?
?ab??≥0

,G?ab
，且
A?G?
222
2
所以有
A≥G
，等号成立的条件是
a?b
. 而
a,b
是互异正数，所以一定有
A>G
.
7、（1）
?2
； （2）
?ab(a
2
?b
2
)
. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.
习题2.4 B组（P54） < br>1、证明：由等比数列通项公式，得
a
m
?a
1
q
m ?1
，
a
n
?a
1
q
n?1
，其中
a
1
,q?0

a
m
a
1
q
m ?1
m?n
??q
所以
n?1
a
n
a
1
q
2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率 为
q
，
n
年后的残留量为
a
n
，则
?a
n
?
是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730
则
a
n
?a
1
q
5730
?q
5730
1
1
5730
1
?0.999879

?
，解得
q?()
2
2
（2）设动物约在距今
n
年前死亡，由
a
n
?0.6
，得
a
n
? a
1
q?0.999879
n
?0.6
.
解得
n?4221
，所以动物约在距今4221年前死亡.
a
n
3、在等差数列1，2，3，…中，
有
a
7< br>?a
10
?17?a
8
?a
9
，
a
10
?a
40
?50?a
20
?a
30

由此可以猜想，在等差数列
?
a
n
?
中
若
k?s?p?q(k,s,p,q?N
*
)
，则
a
k
?a< br>s
?a
p
?a
q
.
从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个
a
s
a
k
O
k
p
a
p
q
a
q
s
n
akas
问题：由等差数列
?
a
n
?
的图象，可以看出
k< br>?
，
s
?

a
p
pa
q
q
（第3题）
根据等式的性质 ，有
a
k
?a
s
k?s
?
，所以
a
k
?a
s
?a
p
?a
q
.
a
p
?a
q
p?q

猜想对于等比数列
?
an
?
，类似的性质为：若
k?s?p?q(k,s,p,q?N
*
)
，则
a
k
?a
s
?a
p
?a
q
.
2.5 等比数列的前
n
项和
练习（P58）
1、（1）
S
6
?
a?aq
a
1
(1?q)3(1 ?2)
??189
. （2）
S
n
?
1n
?< br>1?q1?2
1?q
66
?2.7?
11
(?)
90 3
??
91
.
1
45
1?(?)
3
2、 设这个等比数列的公比为
q

所以
S
10
?(a
1
?a
2
??a
5
)?(a
6
?a
7< br>??a
10
)
?S
5
?q
5
S
5< br>?(1?q
5
)S
5
?50

同理
S
15
?S
10
?q
10
S
5
.
因为
S
5
?10
，所以由①得
q
5
?
S
10
?1?4?q
10
?16

S
5
代入②，得
S
15
?S
10
?q
10
S< br>5
?50?16?10?210
.
3、该市近10年每年的国内生产总值构成 一个等比数列，首项
a
1
?2000
，公比
q?1.1

2000(1?1.1
10
)
设近10年的国内生产总值是
S
10
，则
S
10
??31874.8
（亿元）
1?1.1
习题2.5 A组（P61）
1、（1）由
q
3?
a?aq?1?64?(?4)
a
4
64
?51
.
???64
，解得
q??4
，所以
S
4
?
14
?
1?q1?(?4)
a
1
?1
（2）因为
S
3
?a
1
?a
2
?a
3
?a
3
(q
?2
?q
?1
?1)
，所以
q
?2
?q
?1
?1?3
，即
2q
2
?q?1?0

131
解这个方程，得
q?1
或
q??
. 当
q?1
时，
a
1
?
；当
q??
时，
a
1
?6
.
222
2、这5年的产值是一个以
a
1
?138?1. 1?151.8
为首项，
q?1.1
为公比的等比数列
a
1
(1?q
5
)151.8?(1?1.1
5
)
??926.754
（万元） 所以
S
5
?
1?q1?1.1
3、（1） 第1个正方形的面积为4
cm
2
，第2个正方形的面积为2
cm
2< br>，…，
1
这是一个以
a
1
?4
为首项，
q ?
为公比的等比数列
2
1
所以第10个正方形的面积为
a
10
?a
1
q
9
?4?()
9
?2
?7< br>（
cm
2
）
2

（2）这10个正方形的 面积和为
S
10
?
a
1
?a
10
q
?
1?q
4?2
?7
?
1?
1
2
12
?8?2
?7
（
cm
2
）
4、（1）当< br>a?1
时，
(a?1)?(a
2
?2)?
当< br>a?1
时，
(a?1)?(a
2
?2)?
?(a
n< br>?n)??1?2?
?(a
n
?n)?(a?a
2
?
?(n?1)??
(n?1)n

2
?n)

?5
?n
)

?a
n
)?(1?2?
（2）
(2?3?5
?1
)?(4?3?5
?2
)?(n?3?5< br>?n
)?2(1?2?
（3）设
S
n
?1?2x?3x
2
?
则
x S
n
?x?2x
2
?
?nx
n?1
……①
?n)?3(5
?1
?5
?2
?
?(n?1)x
n?1< br>?nx
n
……②
?x
n?1
?nx
n
……③ ①－②得，
(1?x)S
n
?1?x?x
2
?
当x?1
时，
S
n
?1?2?3?
1?x
n
nx
n
n(n?1)
?
；当
x?1
时，由③得，
Sn
?

?n?
2
(1?x)1?x
2
?100 ?2
?9
)
5、（1）第10次着地时，经过的路程为
100?2(50?25?
（2）设第
n
次着地时，经过的路程为293.75 m，
2
?1
(1?2
?(n?1)
)
?1?2?(n?1)
则
100?2?10 0(2?2??2)?100?200??293.75

1?2
?1
所以< br>300?200?2
1?n
?293.75
，解得
2
1?n< br>?0.03125
，所以
1?n??5
，则
n?6

6、证明：因为
S
3
,S
9
,S
6
成等差数列，所 以公比
q?1
，且
2S
9
?S
3
?S
6< br>
a
1
(1?q
9
)a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)
??
即，
2?

1?q1?q1?q
于是，
2q9
?q
3
?q
6
，即
2q
6
?1?q
3

上式两边同乘以
a
1
q
， 得
2a
1
q
7
?a
1
q?a
1
q
4

即，
2a
8
?a
2
?a
5
，故
a
2
,a
8
,a
5
成等差数列
习题2.5 B组（P62）
b
?
a
b
1 ?()
n?1
b
n
a
n?1
?b
n?1
n
a
?())?a?

b
aa?b
1?
a
? a
7
)?q
7
S
7

1、证明：
a
n
?a
n?1
b??b
n
?a
n
(1?
2、证明：因为
S
14
?S
7
?a
8
?a
9
??a
14
?q
7
(a
1
?a
2
?
所以
S
7
,S
14?7
,S
21?14
成等比数列

3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收 量构成一个等比数列，首项为
a
1
?100
，公比为
q?1.2.
所以，2010年能回收的废旧物资为
a
9
?100?1 .2
8
?430
（t）
a
1
(1?q
9
)100(1?1.2
9
)
??2080
（t） （2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为
S
9
?

1?q1?1.2
可节约的土地为
1650?4?8320
（
m
2
）
4、（ 1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每
(a?na)n< br>月固定存入
a
元，连续存
n
个月，计算利息的公式为
?
月利率.
2
因为整存整取定期储蓄存款年利率为
2.52﹪
，月利率为
0.21﹪

(50?50?36)?36
故到期3年时一次可支取本息共
?0.21﹪?1800?1869.93
（元）
2
若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略.
（2）略.
（3）每月存50元，连续存3年
按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪
，且需支付
20﹪
的利息税
所以到期3年时一次可支取本息 共
1841.96
元，比教育储蓄的方式少收益
27.97
元.
36(x?36x)
（4）设每月应存入
x
元，由教育储蓄的计算公式得
?0.21﹪?36x?10000

2
解得
x?267.39
（元），即每月应存入
267.39
（元）
（5）（6）（7）（8）略
)
7
，2005年初存5、设每年应存入
x< br>万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为
x(1?2﹪
)
6
，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为
x(1?2﹪
入的钱到2010年底利 和为
x(1?2﹪
)
.
)
7
?x(1?2﹪)
6
?
根据题意，
x(1?2﹪?x(1?2﹪)?40

x(1?2< br>﹪
)(1?1.02
7
)
根据等比数列前
n
项和公式 ，得
?40
，解得
x?52498
（元）
1?1.02
故，每年大约应存入52498元
第二章 复习参考题A组（P67）
1、（1）
B
； （2）
B
； （3）
B
； （4）
A
.
(?1)
n?1
(2 n?1)
2n?1
2、（1）
a
n
?
n
； （2）
a
n
?1?
；
(2n)
2
2
7
（3）
a
n
?(10
n
?1)
； （4）
a< br>n
?1?(?1)
n
或
a
n
?1?cosn
?
.
9
3、
4、如果
a,b,c
成等差数列，则
b?5
；如果
a,b,c
成等比数列，则
b?1
，或
?1
.
5、
a
n
按顺序输出的值为：12，36，108，324，972.
sum?86093436
.

)
8
?1396.3
（万） 6、
1381.9?(1?0.13﹪
7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.
n(n?1)13?12

d?10,a
1
?100
. 由
S
n
?a
1
n?d
得：
S
13
?100?13??10?2080?2000
.
22
所以第二种领奖方式获奖者受益更多.
8、因为
a
2
?a
8
?a
3
?a
7
?a
4
?a
6
?2a
5

5
所以
a
3?a
4
?a
5
??a
6
?a
7
?45 0?(a
2
?a
8
)
，则
a
2
?a
8
?180
.
2
10?10n
9、容易得到
a
n
?10n,S
n
??10?1200
，得
n?15
. < br>2
10、
S
2
?a
n?1
?a
n?2
??a
2n
?(a
1
?nd)?(a
2
?nd)??(a
n
?nd)

容易验证
2S
2
?S
1
?S
3
. 所以，
S
1
,S
2
,S
3
也是等差数列，公差为
n
2
d
.
11、
a
1
?f(x?1)?(x?1)
2
?4(x?1)?2?x
2
?2x?1

因为
?
a
n
?
是等差数列，所以
a
1
,a
2< br>,a
3
也是等差数列.
所以，
2a
2
?a
1
?a
3
. 即，
0?2x
2
?8x?6
. 解得
x?1
或
x?3
.
当
x?1
时，a
1
??2,a
2
?0,a
3
?2
. 由此可求出
a
n
?2n?4
.
当
x?3
时 ，
a
1
?2,a
2
?0,a
3
??2
. 由此可求出
a
n
?4?2n
.
第二章 复习参考题B组（P68）
1、（1）
B
； （2）
D
.
2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释.
a,b,c
成等差，则通项公式为
y?pn?q
的形式，
1
111111
且
a,b,c
位于同一直线上，而
,,
的通项公式却是
y?
的形式，
,,
不可能在同一直
pn?q
abcabc
线上，因此肯定不是等差数列.
（2）成等比数列. 因为
a,b,c
成等比，有
b
2
?ac
.
又由于
a,b,c
非零，两边同时取倒数，则有
111
所以，
,,
也成等比数列.
abc
)
6
?0.126，质量分数：
0.05?(1?25﹪)
6
?0.191
. 3、体积分数：
0.033?(1?25﹪
1111
???
.
2< br>bacac
4、设工作时间为
n
，三种付费方式的前
n
项和分 别为
A
n
,B
n
,C
n
. 第一种付费方式为常数 列；
第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为

0.4(1?2
n
)
n(n?1)
2
2的等比数 列. 则
A
n
?38n
，
B
n
?4n?
? 0.4(2
n
?1)
.
?4?2n?2n
，
C
n
?
1?2
2
下面考察
A
n
,B
n
,C
n
看出
n?10
时，
38n?0.4(2
n
?1)
.
因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.

n ≥10
时，
A
n
≤C
n
,B
n
≤C
n

因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.
5、第一星期选择< br>A
种菜的人数为
n
，即
a
1
?n
，选择B
种菜的人数为
500?a
.
所以有以下关系式：
a
2
?a
1
?80﹪

?b
1
?30﹪
……
11
所以
a
n?150?a
n?1
，
b
n
?500?a
n
? 350?a
n?1

22
如果
a
1
?300
，则
a
2
?300
，
a
3
?300
，… ，
a
10
?300

6、解：由
a
n
?2 a
n?1
?3a
n?2

得
a
n
?a< br>n?1
?3(a
n?1
?a
n?2
)
以及
a
n
?3a
n?1
??(a
n?1
?3a
n?2)

所以
a
n
?a
n?1
?3
n?2
(a
2
?a
1
)?3
n?2
?7
，
a
n
?3a
n?1
?(?1)
n?2
(a
2?3a
1
)?(?1)
n?2
?13
.
由以上两式得 ，
4a
n
?3
n?1
?7?(?1)
n?1
?13

1
n?1n?1
所以，数列的通项公式是
a
n
?
?
3?7?(?1)?13
?
?

4
?
7、设这家牛奶厂每年应扣除
x
万元消费基金
2002年底剩余资金是
1000(1?50﹪)?x

)?x](1?50﹪)?x ?1000(1?50﹪)
2
?(1?50﹪)x?x
2003年底剩余资金是
[1000(1?50﹪
……
)
5
?(1?50﹪)
4
x?(1?50﹪)
3x?(1?50﹪)
2
x?(1?50﹪)x?2000
5年后达到资金
1000(1?50﹪
解得
x?459
（万元）

第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
练习（P74）
1、（1）
a?b≥0
； （2）
h≤4
； （3）
?
?
(L?10)(W?10)?350
.
L?4W
?
2、这给两位数是57. 3、（1）
?
； （2）
?
； （3）
?
； （4）
?
；
习题3.1 A组（P75）
1、略. 2、（1）
2?
3
7?4
； （2）
7?10?3?14
.
x
2
x
2
3、证明 ：因为
x?0,?0
，所以
?x?1?x?1?0

44
xx
因为
(1?)
2
?(1?x)
2
?0
，所以
1??1?x

22
?
x? 0
?
x?5?0
?
?
?
4x?48
4、设
A
型号帐篷有
x
个，则
B
型号帐篷有
(x?5)
个 ，
?

?
0?5x?48?5
?
3(x?5)?48
?
?
?
4(x?4)≥48
5、设方案的期限为
n
年时， 方案
B
的投入不少于方案
A
的投入.
n(n?1)
所以，
5n??10≥500
即，
n
2
≥100
.
2
习题3.1 B组（P75）
1、（1）因为
2x
2
?5x?9?(x
2
?5x?6)? x
2
?3?0
，所以
2x
2
?5x?9?x
2?5x?6

（2）因为
(x?3)
2
?(x?2)(x? 4)?(x
2
?6x?9)?(x
2
?6x?8)?1?0

所以
(x?3)
2
?(x?2)(x?4)

（3）因 为
x
3
?(x
2
?x?1)?(x?1)(x
2
? 1)?0
，所以
x
3
?x
2
?x?1

（4）因为
x
2
?y
2
?1?2(x?y?1)?x
2?y
2
?1?2x?2y?2?(x?1)
2
?(y?1)
2< br>?1?0

所以
x
2
?y
2
?1?2(x?y?1)

2、证明：因为
a?b?0,c?d?0
，所以
ac?bd?0

1
又因为
cd?0
，所以
?0

cd

于是
ab
ab
?

??0
，所以
dc
dc
3、设安排甲种货箱
x
节， 乙种货箱
y
节，总运费为
z
.
?
35x?25y≥1530
?
所以
?
15x?35y≥1150
所以
x≥28
，且
x≤30

?
x?y?50
?
所以
?
?
x?28?
x?30
?
x?29
，或
?
，或
?

y?22y?20
y?21
??
?
所以共有三种方案，方案一安排 甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29
节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱 30节，乙种货箱20节.
当
?
?
x?30
时，总运费
z?0.5?30?0.8?20?31
（万元），此时运费较少.
?
y?20
3.2 一元二次不等式及其解法
练习（P80）
1、（1）
?
x?1≤x≤
?
?
?
??
10
?
1
?
?
； （2）R； （3）
?
xx?2
?
； （4）
?
xx?
?
；
3
?
2
??
3
?
2
?
?
?
5
4
4
?
3
?
?
?
5
3
?
?
（5）
?
xx??1,或x?
?
； （6）
?
xx?,或x?
?
； （7）
?
x??x?0
?
.
?
33
?
? ?
2、（1）使
y?3x
2
?6x?2
的值等于0的
x的集合是
?
1?,1?
?
；
33
??
??< br>?
33
?
??
,或x?1?
使
y?3 x
2
?6x?2
的值大于0的
x
的集合为
?
xx? 1?
?
；
33
??
??
?
33
?
??
?x?1?
使
y?3x?6x?2
的值小于0的
x
的集合是
?
x1?
?
.
33
??
? ?
2
（2）使
y?25?x
2
的值等于0的
x
的集 合
?
?5,5
?
；
使
y?25?x
2
的值大于0的
x
的集合为
?
x?5?x?5
?
；
使
y?25?x
2
的值小于0的
x
的集 合是
?
xx??5,或x?5
?
.
（3）因为抛物线
y? x
2
+6x?10
的开口方向向上，且与
x
轴无交点
所以使
y?x
2
+6x?10
的等于0的集合为
?
；

使
y?x
2
+6x?10
的小于0的集合为
?
；
使
y?x
2
+6x?10
的大于0的集合为R.
（4）使y??3x
2
?12x?12
的值等于0的
x
的集合为
?
2
?
；
使
y??3x
2
?12 x?12
的值大于0的
x
的集合为
?
；
使
y??3x
2
?12x?12
的值小于0的
x
的集合为?
xx?2
?
.
习题3.2 A组（P80）
?
3
1、（1）
?
xx??,或x?
2
?
?
1313
?
5
?
??
x??x?
； （2）
??
；
?
2
?
22
??
??（3）
?
xx??2,或x?5
?
； （4）
?
x0?x?9
?
.
2、（1）解
x
2< br>?4x?9≥0
，因为
???20?0
，方程
x
2
? 4x?9=0
无实数根
所以不等式的解集是R，所以
y?x
2
?4x?9
的定义域是R.
（2）解
?2x
2
?12x?18≥0
，即
(x?3)
2< br>≤0
，所以
x?3

所以
y??2x
2
?12x?18
的定义域是
?
xx?3
?

3、
mm??3?22,或m??3?22
； 4、R.
5、设能够在抛出点2 m以上的位置最多停留t秒.
1
依题意，
v< br>0
t?gt
2
?2
，即
12t?4.9t
2
?2
. 这里
t?0
. 所以t最大为2（精确到秒）
2
答：能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2秒.
6、设每盏台灯售价
x
元，则
?

x?
?
x15≤x?2
?
0
习题3.2 B组（P81）
?
x≥15
. 即
15≤x?20
.所以售价
x[30?2 (x?15)]?400
?
??
?
5?52
?
?
1
?
?
5?52
?
?x?
x?x?1
1、（1）?
x
； （2）； （3）； （4）
x3?x?7
?
??
?
??
.
3
22
??
??
??
2、由
??(1?m)
2
?4m
2
?0
，整理，得
3m
2
?2m?1?0
，因为方 程
3m
2
?2m?1?0
有两个实数
11
?
1?
根
?1
和，所以
m
1
??1
，或
m
2
?
，
m
的取值范围是
?
mm??1,或m??
.
3
?
33
?

?
4242
?
1
2
3
??
,或x?3?
3、使函数
f (x)?x?3x?
的值大于0的解集为
?
xx?3?
?
.
22
24
??
??
4、设风暴中心坐标为
(a,b)
，则
a?3002
，所以
(3002)
2
?b
2
?45 0
，即
?150?b?150

而
300
3002?15015
，
?15
.
?(22?1)?13.7
（h）
202
20
所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
练习（P86）
1、
B
.
2、
D
.
3、
B
.
4、分析：把已知条件用下表表示：
工序所需时间分钟

收益元
打磨
桌子
A

桌子
B

10
5
450
着色
6
12
480
上漆
6
9
450

40
30
工作最长时间
解：设家具厂每天生产
A
类桌子
x
张，
B
类 桌子
y
张.
对于
A
类桌子，
x
张 桌子需要打磨
10x
min，着色
6x
min，上漆
6x
m in
对于
B
类桌子，
y
张桌子需要打磨
5 y
min，着色
12y
min，上漆
9y
min
而打磨工人每天最长工作时间是
450
min，所以有
10x?5y≤450
.
类似地，
6x?12y≤480
，
6x?9y≤450

在实际问题中，
x≥0,y≥0
；
?
10x?5y≤450
?6x?12y≤480
?
?
所以，题目中包含的限制条件为
?
6x?9y≤450

?
x≥0
?
?
?
y≥0
练习（P91）
1、（1）目标函数为
z?2x?y
，可行域如图所示，作出直线
y??2x?z，可知
z
要取最大值，

即直线经过点
C
时，解方 程组
?
y
?
x?y?1
y
2x?y?2?2?(?1)?3
. 得
C(2,?1)
，所以，
z
max
?
?
y??1
5

x+y=1
y=x
y=x+1
（2）目标函数为
z?
A
3x?5y
，可行域如图所示，作出直线
z?3x?5
B
y

可知，直线经过点
B
时，
Z
取得最大值. 直线经过点
A
时，
Z
取得最小值.
O
1
x 1
x
-
5y=3
x
?
y?x?1
?
y ?x?1
C
解方程组
?
，和
?

B< br>5x?3y?15
x?5y?3
-1
?
?
O
A
3
5x
+
3y=15
（
可得点
A(?
和点
B(1.5,2.5)
.
2,
1
?
）
1)

（第1题）
（2）
所以
z
max
?3?1.5?5?2.5?17
，
z
min
?3?(?2)?5?(?1)??11

2、设每月生产甲产品
x
件，生产乙产品
y
件，每月收入为
z
元，目标函数为z?3000x?2000y
，
?
x?2y≤400
500
?< br>2x?y≤500
?
需要满足的条件是
?
，作直线
z?3000x?2000y
，
x≥0
??
?
y≥0
y
当直线经过点
A
时，
z
取得最大值.
解方程组
?
?
x?2y?400

2x? y?500
?
200
A
O
250400
x
可得点< br>A(200,100)
，
z
的最大值为800000元.
习题3.3 A组（P93）
（第2题）
1、画图求解二元一次不等式：
（1）
x?y≤2
； （2）
2x?y?2
； （3）
y≤?2
； （4）
x≥3


y
y
2、
y=2x
-
2
1
2
3、分析：将所给信息下表表示： y=4
-
x
1
y=x+2
4
O
x
每次 播放时间分

-1
y
O
x
y
广告时间分
1
-2
收视观众万
O
y≤
-2
123
O
连续剧甲
2
x
2
-2
x
80
y=+1
3
x
60
20
（4） （1） （2）
连续剧乙
-1

O
1
-1
40
4
320
5
（3）
1

播放最长时间
（第2题）
最少广告时间

6

解 ：设每周播放连续剧甲
x
次，播放连续剧乙
y
次，收视率为
z
.
目标函数为
z?60x?20y
，
?
80x?40y≤320
?
x?y≥6
?
所以，题目中包含的限制条件为
?

x≥0
?
?
?
y≥0
8
y
6
可行域如图. 解方程组
?
?
80x?40y
=
320

x?y
=
6
?
O
得点
M
的坐标 为
(2,4)
，所以
z
max
?60x?20y?200
（ 万）
1
5
x
（第3题）
答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.
4、设每周生产空 调器
x
台，彩电
y
台，则生产冰箱
120?x?y
台，产值 为
z
.
则，目标函数为
z?4x?3y?2(120?x?y)?2x?y?240

所以，题目中包含的限制条件为
11
?
1
x?y?(120?x?y)≤4 0
?
3x?y≤120
?
234
?
x?y≤100
?
?
120?x?y≥20
?
即，
?

?
?
x≥0
?
x≥0
?
?
?
y≥0
y≥0< br>?
?
?
3x?y
=
120
可行域如图，解方程组?

x?y
=
100
?
120
100
y
M
y=100
-
x
y=120
-3
x
O
40100
x
得点
M
的坐标为
(10,90)
，所 以
z
max
?2x?y?240?350
（千元）
答：每周应生产 空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350
千元.
习题3.3 B组（P93）
?
2x?3y≤12
?
2x?3y ??6
?
1、画出二元一次不等式组
?
，
x≥0
??
?
y≥0
y
2
y=4
-
x
3
2
4
所表示的区域如右图
2、画出
(x?2y?1)(x?y?3)?0
表示的区域.
-3
y
y=x+3
向
B
镇运送大米
2
x
吨、3、设甲 粮库要向
A
镇运送大米吨，
-2
总运费为
z
. 则乙粮库要 向
A
镇
y=
-
2
-
y
x
3
O
1
5
6
x
1x
y=
-
22
（ 第1题）
3

运送大米
(70?x)
吨、向
B
镇运送大米
(110?y)
吨，目标函数（总运费）为

z?12?2 0?x?25?10?y?15?12?(70?x)?20?8?(110?y)?60x?90y?3020 0
.
?
x?y≤100
?
(70?x)?(110?y)≤80< br>?
所以，题目中包含的限制条件为
?
.
0≤x≤70
?
?
?
y≥0
所以当
x?70,y?30
时，总运费最省
z
min
?37100
（元）
所以当
x?0,y?100
时，总运费最不合理
z
max
?39200
（元）
使国家造成不该有的损失2100元.
答：甲粮库要向
A
镇运送大米70吨，向B
镇运送大米30吨，乙粮库要向
A
镇运送大米0
吨，向
B镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向
A
镇
运送大米0吨，向
B
镇运送大米100吨，乙粮库要向
A
镇运送大米 70吨，向
B
镇运送大米10
吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失210 0元.
3.4 基本不等式
ab≤
练习（P100）
a?b

2
11
1、因为
x?0
，所以
x?≥2x??2

xx
11
时，即
x?1
时取等号，所以当
x?1
时 ，即
x?
的值最小，最小值是2.
x
x
2、设两条直角边的长分别 为
a,b
，
a?0,
且
b?0
，因为直角三角形的面积等于 50.
1
即
ab?50
，所以
a?b≥2ab?2100?20
，当且仅当
a?b?10
时取等号.
2
答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.
3、设矩形的长与宽分别为
a
cm，
b
cm.
a?0
，
b?0

因为周长等于20，所以
a?b?10

a?b
2
10
2
所以
S?ab≤()?()?25
，当且仅当
a?b?5
时取等号.
22
答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.
4、设底面的长与宽分别为
a
m，
b
m.
a?0
，
b?0

因为体积等于32
m
3< br>，高2
m
，所以底面积为16
m
2
，即
ab?16< br>
当且仅当
x?
所以用纸面积是
S?2ab?2bc?2ac?32?4(a?b)≥32?42ab?32?32?64

当且仅当
a?b?4
时取等号
答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.
习题3.4 A组（P100）
1、（1） 设两个正数为
a,b
，则
a?0,b?0
，且
ab?36

所以
a?b≥2ab?236?12
，当且仅当
a?b?6
时取等号.
答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.
（2）设两个正数为
a,b
，依题 意
a?0,b?0
，且
a?b?18

a?b
2
18
2
所以
ab≤()?()?81
，当且仅当
a?b?9
时取等号.
22
答：当这两个正数均为9时，它们的积最大.
2、设矩形的长为
x
m，宽为
y
m，菜园的面积为
S
m
2
.
则
x?2y?30
，
S?x?y

11x?2y
2
1900225
由基本不等式与不等式的性质，可得
S??x?2y≤(
.
)???
222242
15225
2
当
x?2y，即
x?15,y?
时，菜园的面积最大，最大面积是
m
.
2 2
3、设矩形的长和宽分别为
x
和
y
，圆柱的侧面积为
z< br>，因为
2(x?y)?36
，即
x?y?18
.
所以
z?2
?
?x?y≤2
?
?(
x?y
2
) ?162
?
，
2
当
x?y
时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.
4、设房 屋底面长为
x
m，宽为
y
m，总造价为
z
元，则
x y?12
，
y?
当且仅当
12

x
12?36 00
?4800x
时，即
x?3
时，
z
有最小值，最低总造 价为34600元.
x
习题3.4 B组（P101）
1、设矩形的长
AB
为
x
，由矩形
ABCD(AB?AD)
的周长为24，可知，宽
AB?12?x
.
设
PC?a
，则
DP?x?a

12x?72
x
2
?12x?72
所以
(12?x) ?(x?a)?a
，可得
a?
，
DP?x?a?
.
x
x
112x?72?x
2
?18x?7272
所以
?ADP
的面积
S?(12?x)?6??6?[?(x?)?18]

2xxx
222
由基本不等式与不等式的性质
S≤6?[?272?18]?6?(18?122)?108?722

72
，即
x?62
m时，
?ADP
的面积最大，最大面积是
(108? 722)
m
2
.
x
2、过点
C
作
CD? AB
，交
AB
延长线于点
D
.
当
x?
设
?BCD?
?
，
?ACB?
?
，
CD?x
.
b?ca?c
. 在
?ACD
中，
tan(
?
?
?
)?

xx
tan(
?
?
?
)?tan
?
则
tan
?
?tan[(
?
?
?
)?
?< br>]?

1?tan(
?
?
?
)?tan
?
在
?BCD
中，
tan
?
?

当且仅当
x?
(a?c)(b?c)
，即
x?(a?c)(b?c)
时，tan
?
取得最大，从而视角也最大.
x
第三章 复习参考题A组（P103）
1、
5112
???
.
12537
2、化简得
A?
?
x?2?x?3
?
，
B?
?
xx??4,或x?2
?
，所以
AB?
?
x2?x?3
?

3
3、当
k?0
时，一元二次不等式
2kx< br>2
?kx??0
对一切实数
x
都成立，
8
3
即二次函数
y?2kx
2
?kx?
在
x
轴下方，
8
3
??k
2
?4(2k)(?)?0
，解之得：
?3? k?0
.
8
3
当
k?0
时，二次函数
y?2kx
2
?kx?
开口朝上
8
3
一元二次不等式
2kx
2
?kx??0
不可能对一切实数
x
都成立，
8
所以，
?3?k?0
.
?
4x?3y?8?0
?
4、不等式组
?
x?0
表示的平面区域的整点坐标是
(?1,?1 )
.
?
y?0
?
5、设每天派出
A
型车
x
辆，
B
型车
y
辆，成本为
z
.
?
0≤x≤7
?
0≤y≤4
?
所以
?
，目标函数为
z?160x?252y

?
x?y≤9
?
?
48x?60y≥360
把
z ?160x?252y
变形为
y??
401401
x?z
，得到斜率 为
?
，在
y
轴上的截距为
z
，随
63252632 52
z
变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点
M(5,2)
使得
z
取得最小值. 所以每天派出A
型
车5辆，
B
型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.
1
6、设扇形的半径是
x
，扇形的弧长为
y
，因为
S?xy

2
扇形的周长为
Z?2x?y≥22xy?4S

当
2x?y
，即
x? S
，
y?2S
时，
Z
可以取得最小值，最小值为
4S
.
7、设扇形的半径是
x
，扇形的弧长为
y
，因为
P? 2x?y

1112x?y
2
P
2
扇形的面积为
Z ?xy?(2x)y≤(

)?
244216

PPP
P
2
当
2x?y
，即
x?
，
y?
时，
Z
可以取得最大值 ，半径为时扇形面积最大值为.
16
42
4
ssa
8、设汽车的运输成本为
y
，
y?(bv
2
?a)??sbv?

vv
当
sbv?
aa
sa
≤c
时，
y
有最小值. 时 ，即
v?
且
b
b
v
sasa
≥2sbv??2sa b
，最小值为
2sab
.
vv

y?sbv?
当
a
sasa
>
c
时，由函数< br>y?sbv?
的单调性可知，
v?c
时
y
有最小值，最小值为
sbc?
.
b
vc
第三章 复习参考题B组（P103）
1、
D
2、（1）
?
xx??2或?2?x?或x?6
?
（2）
?
xx≤?1或≤x?或x?3
?

????
y?
3
4
??
2
3
3
4
?
3、
m?1

4、设生产裤子
x
条，裙子
y
条，收益为
z
.
?
x?y≤10
?
2x?y≤10
?
?
则目标函数 为
z?20x?40y
，所以约束条件为
?
x?y≤6

?
x≥0
?
?
?
y≥0
10
6
x+y=1 0
x+y=6
O
56
10
2x+y=10
x
（第4 题）
5、因为
x?y
是区域内的点到原点的距离的平方
所以，当
?
?
x?2y?4?0

3x?y?3?0
?
L
1
B
2
22
y
A
L
3L
2
即
x
A
?2,y
A
?3
时，x
2
?y
2
的最大值为13.
4
?
x??
4
?
5
当
?
时，
x
2
?y
2
最小，最小值是.
5
?
y?
2
?
5< br>?
C
1
x
（第5题）
6、按第一种策略购物，设第一次购物 时的价格为
p
1
，购
n
kg，第二次购物时的价格为
p2
，
仍购
n
kg，按这种策略购物时两次购物的平均价格为
若按 第二种策略购物，第一次花
m
元钱，能购
p
1
n?p
2np
1
?p
2
.
?
2n2
mm
kg 物品，第二次仍花
m
元钱，能购kg
p
1
p
2

物品，两次购物的平均价格为
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比较两次购物的 平均价格：
所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济.
一般地，如果是
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次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.