高中数学教学论文解数学题不应是公式

解数学题不应是公式、规则的演绎游戏


高考题和数学竞赛题，在高中数学教学中有着引领的作用。这些题目的好坏影响很大。
构建一道 好的题目也十分不易。显然，绝大多数的高考题和竞赛题是不错的。有些题目还十
分精彩。而且从近几年 看，题目出的越来越好。但也不可否认确实有个别题目出的不好，对
高中数学教学造成不好的影响。也引 起学生和家长的不满。
令人不安的是，目前很少能听到对这些题目的批评意见。对个别不好的题目，没 有人
站出来说：“不！”相反，上级教育主管部门对这些考题的评价都是正面的、肯定的。当然，
批评的意见不一定就是对的。要允许别人反批评。由于这些题的影响较大，在这里，应该要
对事不对人 地开展讨论，才能有利于高中数学教育的发展。
笔者水平有限，但却希望在此，结合几个具体的题目，发表一些意见。欢迎批评指正。
首先讨论两道高中数学联赛的题。这是很多年以前的题目了。所以还拿出来讨论是因
为，目前这类题 目仍在高中课堂广泛讲授，被有些老师称为经典题。成为高考复习的题型之
一，其影响还很大。

4
x
121000
1． 设函数
f(x)?
x
，求
f()?f()?L?f()
的值。
4?2
1


点评：请问这道题应该让学生如何来思考？我们在高中 学过，等差数列和等比数列，知
道如何求它们的前
n
项和。这是等差数列或等比数列吗 ？它们不是！那么，我们能用求等差、
等比数列前
n
项和公式的方法，来处理这道题吗 ？也不成！
事实上，出题者是利用这道题中的函数的一个特殊性质：
f(x)?f(1?x) ?1
，而编造
出来的。而这个性质却不是显然的，人们根本无法一眼看出。请问，用这样的题如 何培养学
生分析问题、解决问题的能力？
4
x
?33
，如果允许这 样来编造数学题，我们可以把这题改得更难，例如，让
f(x)?
x
4?2
4
x
?33?x
，此时，此时该函数满足：
f(x)?f(1?x)?67。还可以再复杂，让
f(x)?
x
4?2
该函数满足：
f(x) ?f(1?x)?68
。若还觉得简单，可以把上述函数表达式进行通分，甚至
分子、分母同乘 一个代数式，等等。
我们也可以编造满足
f(x)?f(a?x)?1
或更复杂的函 数关系来出这类型的题。
学生得到的‘收获’只能是：今后看到类似题型，要根据题目中数列的值，如 这里的，
121000
，反过来猜测给定的函数的特殊性质。这种思维是数学思维吗？我们,,
L
,
1

在培养学生的什么能力？
这是数学 吗？数学作为一门科学，它研究的问题，无论是来自实际还是来自数学本身，
都是有意义的。它的思想方 法非常丰富（例如我们熟知的类比、归纳等等），体现着人类思
考问题、分析问题的一般方法。
如果采用这种生编硬造的方法玩花样，（类似地还有：把一些因式乘起来，让人去做因
式分解；从一个 明显的不等式出发，例如，
3?5
，两边加、乘同样的式子，使其复杂化，
让人去证明 这复杂的不等式，等等。）数学将变成定义、规则和演绎法的游戏，它既没有动
力也没有目标。数学将不 会吸引任何有理智的人，它也丧失了其生命力。


2． 设函数
x
2
?xln(e
x
?1)?3

f(x)??
2
定义在区间
[?a,a]
上，求这个函数的最大值与最小值的 和。
点评：对一个函数来说，我们自然会关心它的最大值和最小值。它们给出了该函数因
变量 变化的范围，而且在应用中，最大、最小值也十分重要。有时也会关心最大值与最小值
的差，它反映了因 变量变化的幅度。但是，我们为什么要求最大值与最小值的和？它有何意
义？如果不关心其意义，我们就 可以提出一大堆问题，如，求最大值与最小值的乘积、商、
平方和等等。解决这类根本不知道其意义的问 题，不是数学！这是没有目标的演绎游戏。
退一步说，如果问题本身没有意义，但我们有一个好的方 法，能对一般的函数求出其
最大值与最小值的和，即存在一种通性通法。这也还算可以。但我们却没有这 种方法。
于是，按照一般的做法，我们只能分别求出该函数的最大、最小值，然后再对它们求
和。由于该函数最后一项是+3，我们只需求函数
x
2
g(x)???xln(e
x
?1)

2的最大、最小值。这个函数的图像很难画出，学生无法利用几何直观来猜想。我们在课堂上
教给学生 的是，对这种问题，最一般的方法是，通过求导数，然后解一个方程，来求极大、
极小值点。但是，这个 函数求导后，得到的三项中，分别包含，指数、对数和多项式。无法
求出其零点。
那么，这题如何做呢？这题目的标准答案说，
g(x)
是一个奇函数，从而在对称区间
[?a,a]
上，最大、最小值的和为0。
怎么就会想到
g(x)
是奇函 数？从函数表达式根本看不出来，
g(x)
的图像又不易画出。
我们想通过这道题教给 学生什么思考问题、分析问题的方法呢？这里又是编造一个特殊的函
数来为难学生，却没有任何意义。
学生得到的‘收获’只能是：今后如果出现求最大、最小值的和的题，要看它是否是
奇函数。这 种‘收获’，在分析问题、解决问题上没有任何意义，不是在学数学，而是在对
付考试、对付题型。而这 种题型不是真正意义上的数学问题。是数学中的‘垃圾’。

下面讨论两道近年的高考题。（这不是新课标实施后的考题）
3 下面是一道选择题，其正确答案是
(B)
。
(2008年重庆卷·理科10) 函数f(x)=
sinx?1
(
0?x?2
?
) 的值域是(B )
3?2cosx?2sinx
D)[-
3,0
] (A)[-

2
,0
]
2
(B)[-1,0] (C)[-
2,0
]
命题者给出该题的标准答案如下：


方法1：特殊值法，sinx=0,cosx=1则f(x)=
0?1
??1
淘汰A ，
3?2?1?2?0
令
sinx?1
??2
得
3?2cosx?2sinx
2
6?(sinx?1)
2
,

?
sinx?1
?
?6?4cosx?4sinx?cosx?
4< br>当时sinx= ?1时,
cosx?
3
,
所以矛盾.
f(x )?
?2
淘汰C， D.
2





方法2：
f
?
x
?
?
sinx?1
?3?2cosx?2sinx
sinx?1
?
1?cosx
?
?
?
1?sinx
?
2
22

??
1
?
1?cosx
?
??
?1
1?sinx
??
2
??
1
?
1?t
?
1?
2
1?t
?
2t
?
1?
?
1?t
2
?
?
?
?
?1
?
?
?
2

??< br>1
?
2t
2
?
??
?1
2
1?t? 2t
??
2
??
1
?
t
?
4
??
?1
?
1?t
?
4
??1


其中
t?tan
x
?
x?
?
?
.
f(x)?[?1,0].
2
1
5
当x=?时,
f
?
x
?
???
?
?1,0
?

方法3：
f
?
x
?
?
sinx?1
?3?2cosx?2sinx
sinx?1
?
1?cosx
?
?
?
1?sinx
?
22

??
1
?
1?cosx
?
??
?1
1?sinx
??
2

令
k?
1?cosx
,
k表示圆x
2
+y
2
=1上的点与点
1?sinx
y
A(1,1)
(1，1)连线的 斜率，
k?
?
0,??
?

?
1?cosx
?
2
?1?k?1?
?
1,??
?

??
?
1?sinx
?
??
1
?
1?cosx
???
?1
1?sinx
??
2
2
?
?
?1,0
?
.

O
x


点评：
求一个连续函数在闭区间的值域，只需求出该函数在这区间的最大、最小值。其关键
的步骤是求出该函 数在这区间的极值，再和函数在区间端点的值进行比较。这是高中熟知的
内容。而求函数极值的一般方法 是，首先对函数求导，然后解一个导数为零的方程。这个方
法也是学生熟知的。它是微积分中的一个基本 的方法，是通性通法。但是，本题却没有考核
学生对这个基本方法掌握的程度。相反，如果学生用这个方 法，将面临解一个有关
sinx
（或
cosx
）的四次方程。这个方程有一对 共轭的复根和两个实数根。学生不掌握解四次方程的
办法。从而无法用求导数的办法来解决这道题。
那么命题者打算让学生如何来解决这个问题呢？
命题者在他们给出的答案中，给出了三种方法 。方法1是所谓的排除法。它说，经过
验证，在所给出的四个选项中有三个是错误的，可以排除在外。因 此，剩下的一个选项就是
对的。这是学习数学吗？这是‘考试学’！是考试的方法，而不是研究数学的方 法。把这种

方法作为标准答案，实不可取。
方法2和方法3都是把该函数的表示式，用三角恒等表换公式，变成

f(x)??
1?sinx
(1?sinx)?(1?cosx)
22
，
然后，再讨论它的值域。
它们的解法却过分复杂（甚至出现了‘斜率’）。事实上，人们很容易看到

0?1?sinx?(1?sinx)
2
?(1?cosx)
2

从而连续函数

y?
1?sinx
(1?sinx)?(1?cosx)
22
< br>取值在0和1之间。当
x
在所给的定义域区间
[0,2
?
]< br>时，该式可以取到0和1。因此，该函
数的值域是
[0,1]
。而我们要求的函 数和它只相差一个负号，从而它的定义域是
[?1,0]
。方
法2和方法3显得过于繁 琐了。
不过，这道题的问题不在于答案给出的解法麻烦。其致命的缺陷是：我们的问题明明
是 让学生求函数的值域，但我们用这道题要告诉学生的却是，你们学过的求极值的通性通法
在这里却不适用 。在这里要用一个巧妙的变形。
可惜的是，这个变形，只适合这一道题。换了别的题就不成了。甚至把 这道题目中函
数表达式的任何一个数或符号改一下，例如，把3改为4或把2改为5，或把减号改成加号 ，
等等。上述的解题方法也失灵。也就是说，本题给出的方法，只能解这一道题。换一个数或
符 号就失效，这样的题目有意义吗？
也许有人说，这是考三角恒等变换。我个人认为，三角恒等变换公式 反映了，特定三
角函数值的内在关系。其功能主要是，化简和证明一些恒等式。使学生能认识到一些看似 十
分复杂的表示式，由于其内在的关系，原来如此简单。或发现表面不同的两个式子原来是恒
等 的。我们也可以用三角恒等变换，来做一些计算（例如，‘数学分析’中的积分计算）。因
此，如果要考 核学生三角恒等变换，应该在化简、证明恒等式或计算方面考核。使学生体会
这些公式的作用。而不是在 形式推演上玩花样。
我国的学生在形式演算方面能力很强，但有些过分了。上世纪70年代末，笔者在 美国
做访问学者，在讨论班上，常常会不由自主地想到把已知的条件，用一个公式做恒等变形，
甚至，对分子、分母同乘一个式子，或加一项再减一项，等等。试图通过这种途径找到解决
问题的办法。 每当我这样做时，我的导师，美国科学院院士，r教授，都会疑惑地望
着我，问我：“Why?”（为什 么？）在他看来，没有数学思想，没有方法，靠这种形式演算，
变来变去，是无法解决问题的。这使我逐 渐清楚：我们的这些‘强项’，有时也会把我们引
入歧途。这表现在，在教学中，把知识分解为知识点， 过分关注细节和技巧，而忽略了对数
学整体的把握。津津乐道于一些巧题、妙题，而忽视数学中最常见的 、最基本的思想和方法。
事实上，几乎没有一个重大的数学成果是靠单纯的形式推演而得到的。通常， 人们通
过直观猜测、类比、归纳等各种途径得到结果，其思路和方法都是清楚、合理的。最后，再
靠形式的推理给以验证。
因此，，形式演算能力虽然是学习数学的一种重要能力，但不能过分。特别 是，不应该
做没有目标的演算，或只在技巧上玩花样。

如果在学生学过用导数 求极值的一般方法后，我们故意出一道用导数无法求解的题目，
用一个只对这一道题有用的方法来求解。 势必引导教师在高中教学中，去找这样的偏题怪题
来做，而忽视了通性通法的学习。
特别是， 我们要清楚高中数学的定位，在我看来，这样的解题技巧，对一个高中数学
教师或者一个数学系的学生来 说，都不是最重要的。何况，我们的高中生。他们将来大都不
专攻数学，让他们做这种题就更不必要。他 们应该掌握的是最基本的、通性通法，如用导数
求极值，等等。而不是本题中给出的技巧。



4 下面这道题的第2问，江西全省没有考生做出来，丧失了考题选拔的功能。学生、教师
反映极大。

(2009年江西理科卷第22题)
各项均为正数的数列{a
n
}，a
1
=a, a
2
=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有
a
p
?a
qa
m
?a
n
?.

(1?a
m
)( 1?a
n
)(1?a
p
)(1?a
q
)
(1)当< br>a?
14
,b?
时，求通项a
n

25
,;;
(2)证明：对任意a, 存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有
命题者给出该题的标准答案如下：

1
?
?a
n
?
?
.

a
p
?a
q
a
m
?a
n
?
解：
(< br>Ⅰ
)
由得

(1?a
m
)(1?a
n< br>)(1?a
p
)(1?a
q
)
a
1
?an
a
2
?a
n?1
2a?1
?.
将
a
1
?
1
,a
2
?
4
代入化简得
a
n
?
n?1
.

(1?a
1
)(1?a< br>n
)(1?a
2
)(1?a
n?1
)
a
n? 1
?2
25
所以
1?a
n
1
1?a
n?1
??,

1?a
n
31?a
n?1
n
1?a
n
1?a
n
1
3
}
为等 比数列，从而
?
n
,
即
a
n
?
?1
.

故数列
{
1?a
n
1?a
n
33
n
?1
3
n
?1
可验证，
a
n?
n
满足题设条件
.
3?1
a
m
?a
n
(
Ⅱ
)
由题 设的值仅与
m?n
有关
,
记为
b
m?n
,

(1?a
m
)(1?a
n
)
则
b
n?1< br>?
a
1
?a
n
a?a
n
?.

(1?a
1
)(1?a
n
)(1?a)(1?a
n
)

考察函数

f(x)?
a?x
(x?0)
,
则在定义域上有

(1?a)(1?x)
?
1
a?1
?
1?a
,?
?
1
f(x)?g(a)?
?
,a?1

故对
n?N
*
，

b
n?1
?g(a)
恒成立
.
?
2
?
a
?
1?a
,0?a?1
?
又

b
2n
?
2a
n
1
?g(a)
,,< br>解上式得

0?g(a)?
注意到
(1?a
n
)2
2
1?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)
g(a)??a
n
?,

g(a)g(a)
1?g(a)?1?2g(a)
取
?
?


点评：先看第(1)小题的标准答案。由于给出了数列的第1、2项，利用已知条件得到一< br>个递推关系
1
1?g(a)?1?2g(a)
,
即有

?a
n
?
?
.
.
?g(a)
a
n
?
2a
n?1
?1
.

a
n?1
?2
这还是自然的。但是，随后由这个递推关系得到
1?a
n
1
1?a
n?1
??,

1?a
n
31?a
n?1
却没有给出任何思路。(答案上只用了“所以”两个字。) 学生无从下手。如果只是恒等变形、
化来化去，就没有任何意义。这样的问题不能培养任何分析和解决问 题的能力。无助于对数
学的理解。少数学生能做出这道题，是因为老师大量补充关于递推关系(实质上是 差分方程)
的各种解题技巧。这种题目在高考中出现，势必引导高中老师给学生补充递推关系的各种题< br>型和技巧。这大大超出了高中课标对学生的要求，加重学生负担。而对学生的数学素养没有
多少好 处，甚至起着相反的作用。

下面我们重点来讨论第(2)小题。
首先，这里问题的提法就很奇怪。为什么要找一对互为倒数的正数：
?
和

0?
1
，使得
?
1
?
?a
n
?
?
（1）
一个自然的提法是：证明：存在两个正数
A
和
B
使得

0?A?a
n
?B
（2）
这意味着，这个数列是有界的且不会趋于零。这个提法，在数学上，是有意义的。