高中数学四大思想方法

高中数学四大思想方法

————读《什么是数学》笔记

《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收 集了许多闪光的数学珍品。它的
目标之一是反击这样的思想：数学不是别的东西，而只是从定义和公理推 导出来的一组
结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。
数学对象的 意义说的是数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运
算法则。数学对象是什么并不 重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现
实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象 中，也不存在于具体的实物中。对喜欢
梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在 --我们称它为，所谓
的非现实的现实性。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质 世
界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关
的内容 进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、
转化与化归、分类讨论 、数形结合； 函数与方程
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和 解决问题。方程思想，
是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、 不等
式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
有 时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想
是：实际问题→数 学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我
们知道，哪里有等式，哪里就有方程 ；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解
方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲， 密切相关。而函数和多元方程没
有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元 方程f(x)－y＝0。可
以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用 方程思想
时需要重点考虑的。 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数
学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证
唯物主义观点。 一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性
质是：f(x)、f (x)的单 调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我
们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂 函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体
特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数 解析式和妙用函数的性质，
是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全 面时，才
能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问
题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。 函数知识涉及的
知识点多、面广 ，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重
点。我们应用函数思想的几种常见 题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等
式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观 点加以分析；含有多个变量的数学
问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题 ，翻译成数学语
言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列< br>中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解
决。
等价转化 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种
重 要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范

甚至 模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练
自觉的转化意识，将有 利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技
巧。 转化有等价转化与非等价转化。等 价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，
才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过 程是充分或必要的，要对结论
进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的 闪光点，找到
解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.
雅洁卡 娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是
把要解题转化为已经解 过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的
化归转换过程。 等价转化思想方法的 特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思
想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行 。它可以在数与数、形与形、数
与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际 问题的过程中，
普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消< br>去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是
经常在函数 、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数
式方面的形变上升到保持命题 的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计
好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。 在 数学操作中实施等价转化时，我们要遵循
熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的问题 ，通过转化变成我们比
较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比如 从超
越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象
的问 题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或
者从非标准型向标准型 进行转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有
如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可 以提高解题的水平和能力。
分类讨论 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情 况加以分类，
并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与
归类整理的方 法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，
能训练人的思维条理性和概括性 ，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的
原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到 的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定
义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型 可以称为概念型。 ② 问题中涉及到
的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是 分类给出的。如等比
数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性 质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定
的图 形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具
有确定性。 进行分类 讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一
的，不遗漏、不重复，科学地划分，分 清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不
漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步 骤是：首先要确定讨论对象以及
所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标 准统一、不漏
不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；< br>最后进行归纳小结，综合得出结论。
数形结合 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的 知识，如实数、代数式、
方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、 立体几何
等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，

包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借
助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数
的图像来直观地 说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某
些属性，即以数作为手段，形作为 目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性
质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的 关系与空间形式的科学。”数形结合就
是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义 ，又揭示其几何直观，
使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这 种结
合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对
矛 盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少
直观，形少数时难入 微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质
是将抽象的数学语言与直观的图像结 合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，
它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数 形结合思想分析和解决问题时，
要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数 特征，对数学
题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，< br>建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
数学一直在 发展，但书中选取的、有关历史上的著名发现的专题，都是很难抛弃的．对
定理，你不可能不加以证明。 事实上，你可能偶然间发现一个长期被接受的论证是错误
的--这曾经发生过的。但这只表明，从一开始 证明就是错误的。然而，新的观点通常会
导致旧的论证过时，或对旧的事实不再感兴趣。《什么是数学》 这本书没有过时，是因为
所选取的材料展示出了无限完美的数学品位。作为数学教育工作者，可以去读一 读这本
书。