高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法

高中数学_必须掌握的六种常用的数学思想方法

数学思想方法与数学基础知 识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是
数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的 推移，记忆力的减退，
将来可能忘记。
而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用 ，属于思维的范畴，
用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
常用数学思想方法有：
1、 数形结合的思想方法
2、 分类讨论的思想方法
3、 函数与方程的思想方法
4、 转化（化归）的思想方法
5、 分类讨论的思想方法
6、 整体的思想方法。

更多数学思维方法，请参阅《高中数学_快速解题的六种数学思维方法》。

一、数形结合的数学思想方法

数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。 如：锐角三角函数的定
义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位< br>圆来定义的。
1、导读：

2、相关内容：

3、再现性题组：

1. 如果θ是第二象限的角， 且满足cos
θθθ
－sin＝
1?sinθ
,那么
222
是_____。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限
角 D.第二象限角
y
2. 如果实数 x、y满足等式(x－2)
2
＋y
2
＝3，那么的最大值是_____。
x
33
1
A. B. C. D.
3

2
32
4、巩固性题组：
1. 已知5x＋1 2y＝60，则
13
5
x
2
?y
2
的最小值是__ ___。
A.
60
B.
13
C.
13
D. 1
12
2. 方程2
x
＝x
2
＋2x＋1的实数解的个数是_____。
A. 1 B. 2 C. 3 D.以上都不对
3. 方程x＝10sinx的实根的个数是_______。

二、分类讨论的数学思想方法

① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、
a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性 质、法则有范围或者条件限制，
或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两 种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同 取值范围进行讨论。如解不等
式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。

Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a， x∈R}，若A
?
B，那么a
的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 07.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.
不能确定

三、 函数与方程的数学思想方法

笛卡尔的方 程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世
界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪 里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，
哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等 式问题也与方程
是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。
列方程、解 方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。

Ⅰ、再现性题组：
1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
5.已知等差数列的前n项和为S
n
，且S＝S
q
(p≠q，p、q∈N)，则S
p?q
＝
_________。
6.关于x 的方程sin
2
x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是
_______ ___。

四、 等价转化的数学思想方法

著名的数学家，莫斯科大学 教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛
者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把 要解题转化为已经解过的题”。
数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
p

Ⅰ、再现性题组：
3. 若m、n、p、q ∈R且m
2
＋n
2
＝a，p
2
＋q
2
＝b ，ab≠0，则mp＋nq的最大
值是______。
a?b
a
2
?b
2
ab
A. B.
ab
C. D.
2
a?b
2
Ⅱ、示范性题组：
1
1
1
例1. 若x、y、z∈R
?
且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。
x
z
y
五、 分类讨论的数学思想方法

六．整体的数学思想方法