重点高中数学思想方法

重点高中数学思想方法

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目 录


前言 ……………………………………………………… 1
第一章 高中数学解题基本方法 ……………………… 2
一、
二、
三、
四、
五、
六、
七、
八、
九、
十、
十一、
十二、
第二章
一、
二、
三、
四、
第三章
一、
二、
三、
四、
配方法 ……………………………………… 3
换元法 ……………………………………… 7
待定系数法 ………………………………… 14
定义法 ……………………………………… 19
数学归纳法 ………………………………… 23
参数法 ……………………………………… 28
反证法 ……………………………………… 32
消去法 ………………………………………
分析与综合法 ………………………………
特殊与一般法 ………………………………
类比与归纳法 …………………………
观察与实验法 …………………………
高中数学常用的数学思想 …………………… 35
数形结合思想 ……………………………… 35
分类讨论思想 ……………………………… 41
函数与方程思想 …………………………… 47
转化（化归）思想 ………………………… 54
高考热点问题和解题策略 …………………… 59
应用问题 …………………………………… 59
探索性问题 ………………………………… 65
选择题解答策略 …………………………… 71
填空题解答策略 …………………………… 77

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前 言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解
题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，
这只是满足于解出来，只有对数学思 想、数学方法理解透彻及融会贯
通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的
数学思想方法。我们要有意识地 应用数学思想方法去分析问题解决问
题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、
参数法、消去法等；
② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法
等；
③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特
殊与一般、类比、归纳和演绎等；
④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论
思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。
数学知识是数学内容，可以用文 字和符号来记录和描述，随着时间的
推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学
意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、
处理和解决，掌握数学思 想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，
即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行
为，具有模式化与可操作性的特 征，可以选用作为解题的具体手段。
数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知
识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，
提高 数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数
学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先
是介绍高考中常用的数学基本方法： 配方法、换元法、待定系数法、
数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：
函数与方程思想、数形结合思想 、分类讨论思想、转化（化归）思想。
最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部 分
提供了近几年的高考试卷。
在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以
三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法
的再现，示范性题组进行详 细的解答和分析，对方法和问题进行示范。
巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组 中习题
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的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知
识。


第一章 高中数学解题基本方法
一、 配方法
配方法是对数学式子进 行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已
知和未知的联系，从而化繁为简。何时配 方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与
“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有 时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于： 已知或者未
知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二< br>次曲线的平移变换等问题。
二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一 个变量去代替它，从而使问题得到简化，
这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依 据是等量代换，目的是变换
研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准 化、复杂问题
简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变 量，可以把分散的条件联系起来，
隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形 式，把复杂的计算和
推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化 超越式为代数式，在研究
方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方 法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知
或者未知中，某个代数式几 次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通
过变形才能发现。例如解不等式：4x
＋2
x
－2≥0，先变形为设2
x
＝t（t>0），而变为熟 悉
的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式 易求时，主要利用已知代数式中与三角
知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝
x
＋
1?x
的值域时，易发现x∈[0,1]，设x
＝sinα ，α∈[0,
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?
]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中
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主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）
时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝
SS
＋t，y＝－t等等。
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我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范
围的选 取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例
中的t>0和α∈[ 0,
?
]。
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三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某 些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数
的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也 就是利用了多项式f(x)
?
g(x)的充要
条件是：对于一个任意的a值，都有f( a)
?
g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相
等。
待定系数法解 题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具
有某种确定形式的数学问题，通 过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个
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问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，
如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求
复数、解析几 何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定
系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
① 利用对应系数相等列方程；
② 由恒等的概念用数值代入法列方程；
③ 利用定义本身的属性列方程；
④ 利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们 可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，
其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方 程未知系数的方程或方程组；最后解所
得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确 的方程形式，得到所求圆
锥曲线的方程。
四、定义法
所谓定义法，就是直接用数学 定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由
定义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻 辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本
质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结 果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。
简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽 象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲
让我们回到定义中去。
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完全归纳推理与不完全归
纳推理两种。不完 全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物
全体都具有的性质，这种推理方 法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察
了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有
着广泛的 应用。它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n
0
)时
成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，
这是无限 递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命
题的正确性突破了有限 ，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可
以断定“对任何自然数（或n≥n< br>0
且n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法
是由递推实现归纳的，属于 完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标< br>意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐
步减小 ，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等 式、三角不
等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
六、参数法
参数法是指 在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量
（参数），以此作为媒介，再 进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程
都是用参数法解题的例证。换元法也是引入 参数的典型例子。
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辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就
是要 揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化
状态，揭示变化因 素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已
经渗透到中学数学的各个分支。 运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在 联系，利用参数
提供的信息，顺利地解答问题。
七、反证法
与前面所讲的方法不同 ，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题
的证明方法，即：肯定题设而否定结论， 从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)
对反证法的实质作过概括：“若肯定定 理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，
反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结 论的否定作为推理的已知条件，进行正确
的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者 已经证明为正确的命题等相
矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证 明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两
个 互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；
两个互相矛盾的 判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。
反证法在其证明过程中 ，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，
必有一假，而已知条件、已知公理 、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以
“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结 论与“否定的结论”这一对立的互相否定的
判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。 所以反证法是以逻辑思维的基
本规律和理论为依据的，反证法是可信的。
反证法的证题模式可 以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经
过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到 新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之
否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具
体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“ 反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证
题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只 要将这种情况驳倒了就可以，这种反
证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有 的反面情况一一驳倒，
才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使 用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。
一般来讲，反证法常用来证明的题型 有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、
“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定 结论更明显。具体、简单的命题；或者直接
证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面 思考，问题可能解决得十分干
脆。
第二章 高中数学常用的数学思想
一、数形结合思想方法
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、 方程（组）、不
等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于 数
形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和 “以数辅形”两个方面，其应用大
致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联 系，即以形作为手段，
数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确 性和规范
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严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐
明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合 就是
根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数
量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找
解题思路，使 问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙
间万物无不是“数”和“形 ”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时
难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事 休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题
与 图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想
分析和解决问题 时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代
数特征，对数学题目中的条件 和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、
合理用参，建立关系，由数思形，以形想 数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范
围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是 数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于
直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐 标系或单位圆来定义的。
二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情 况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，
然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方 法，是一种重要的数学思想，同
时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类 整理的方法。有关
分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性 和概
括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种
情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有 范围或者条件限制，或者是分
类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这 种分类讨论题型可
以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进 行讨论。如解不等式ax>2时
分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另 外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过
分类讨论，保证其完 整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的 ，不遗漏、
不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象
的全体的范围； 其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥
（没有重复）；再对所分类逐 步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，
综合得出结论。
三、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决 问题。方程思想，是
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等 式、或
方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还
实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问 题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着
等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪 里有公式，哪里就有方程；求值
问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切 相关。而函数和多
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元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y
＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程
思想 时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函 数关
系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，
函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f
?1
(x)的 单调性、
奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
含条件， 构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、
分析、判断比较深入 、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，
方程问题、不等式问题和某些代数 问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解
答非函数问题。
函数知识涉及的知识 点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是
高考中考查的重点。我们应用函数思想 的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；
有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题， 利用函数观点加以分析；含有多个变量
的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实 际应用问题，翻译成数学
语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、 等比数列中，
通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
四、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种 重要的思想方
法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单
的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有
利于 强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转 化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保
证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是 充分或必要的，要对结论进行必要
的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光 点，找到解决问题的
突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转 化时确
保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾 在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什
么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的 题”。数学的解题过程，
就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方 法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数
学问题时，没有一个统一的模式去 进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；
它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决 实际问题的过程中，普通语言向数学语言的
翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。 消去法、换元法、数形结合法、
求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方 程、不等式之间进
行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真 假不
变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，
即把我们遇到的 问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的
问题，变成比较简单的问题， 比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…
等；或者比较难以解决、比较抽象的问题， 转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求
解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行 转化。按照这些原则进行数学操作，
转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提 高解题的水平和能力。
第三章 高考热点问题和解题策略
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数学高考坚持以“两个有利”（有利高校选拔新生、有利中学教学）为指导思想，严格
遵 循“考试说明”的规定，内容上不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵活
和综合运用）， 在考查三基（基础知识、基本技能、基本技巧）和四种能力（逻辑思维能力、
运算能力、空间想象能力、 分析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教材中的主要内容、
数学思想方法和应用意识，特别是突出考 查数学学科的思维能力。
函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为幂、指、对及一般 函数的概念、
定义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性；函数的图像等。
三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角函数的概念、性质、
以及有 关公式的应用，以常规题居多。
解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％，考查的知识背景为 不等式的性质、定
理；立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。
数列、极限和数学归 纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）
数列的概念与计算公式；数列、极 限的概念与求法。
线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8％，考查的知识背景为线面间的平 行、
垂直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。
圆锥曲线平均每年占高考总分的 11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及
解几中的基本数学思想方法。
199 3年—1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思想方法考
查的频率明显提高 ，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能
力多题渗透。
今年高 考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-14题每题
5分，但适当降低 最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平，
共4个题左右，每 题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比
99年高考，2000高考将适 当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。
进一步注重通性通法的考查，继续突出主体内容（函 数、方程、不等式、数列和圆锥曲
线等），淡化某些不宜升温的知识（递推数列、复数和立体几何等）， 做好向新高中教材过
渡的准备。
应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译 为数学语言的难度，既注
意贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如 数列综合题
仍以归纳猜想为主要形式。
一、应用问题
应用问题的“考试要求”是考 查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解决
问题的能力，这个要求分解为三个要点： 1、要求考生关心国家大事，了解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及
科学中的应用 ，明确“数学有用，要用数学”，并积累处理实际问题的经验。
2、考查理解语言的能力，要求考生能 够从普通语言中捕捉信息，将普通语言转化为数
学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来
求解。
对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化
为数学问 题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求
我们读懂材料，辨析文 字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象
其中的数量关系，将文字语言叙述转 译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以
说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关， 即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；
二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关 ，即构建相应的数学模型，
构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
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求解应用题的一般步骤是（四步法）：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4、评价：对结果进行验证或评估， 对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解
释或验证。
在近几年高考中，经常涉及的数 学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等
式模型、三角模型、排列组合模型等等。
二、探索性问题
近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素 质教育”
转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人
材的需要 ，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，
学生在学习数学知识时 ，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证
的探索过程，其探索方法是学生应该 学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。
一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或 者结论不稳定，需要探索者通
过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了 问题的明确结论，
但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探 索性
问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，
探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。
探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
猜想归纳型问题是 指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其
猜想的一般性结论。它的思路是：从 所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，
探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对 结论进行证明。其主要体现是解答数列中等
与n有关数学问题。
存在型问题是指结论不确定的 问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出
现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在 ，则需要说明理由。解答这一类问题时，我
们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在； 若推证出矛盾，则结论不存在。
代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。
分类讨论型问题是指条件或者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足
条件的条 件或结论。此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题。
探索性问题，是从高层次上考查学 生创造性思维能力的新题型，正确运用数学思想方法
是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归 纳与猜想、函数与方程、数形结合、分
类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我 们在学习中要重视对这一
问题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。
三、选择题解答策略
近几年来高考数学试题中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占 总分的43.3%。高
考选择题注重多个知识点的小型综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求 深度的考
基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题的基本策略是准确、迅速。
准确是解答 选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。
所以应仔细审题、深入分析、 正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生 不适应能力型的考试，致使“超时失
分”是造成低分的一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在不 超过50分钟左右，速
度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完。
选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、
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考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的要求。历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确
的。它包 括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个
选项A、B、C、D组 成。
选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点：由于选择题不需写出运算、推
理 等解答过程，在试卷上配有选择题时，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷
简捷，评分客观 ，在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出
正确答案，解题手段不拘常规 ，有利于考查学生的选择、判断能力；选择支中往往包括学生
常犯的概念错误或运算、推理错误，所有具 有较大的“迷惑性”。
一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。② 结 合高考单
项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③ 挖掘题目“个性”，
寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
四、填空题解答策略
填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考， 都有一定数量
的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％。 填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求
学生在指定的 空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写
的可以是一个词语、数字、 符号、数学语句等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量 型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函
数的定义域、值域、最大值 或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，
缺少选择支的信息，所以高考题中多数 是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种 性质，
如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。填空题不要求学生书写推理或者演
算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内作答，因而可加大高考
试卷卷面的 知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决能力和
推理论证能力。在解答填 空题时，基本要求就是：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每
道题都应力争在1～3分钟内完成。填 空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了
得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和 解答题严重。我们很有必要探讨填空题
的解答策略和方法。
二、分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，
然后综合得解， 这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同
时也是一种重要的解题策略， 它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关
分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性 、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概
括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。 如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种
情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分
类给出的。如等比数列 的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可
以称为性质型。
③ 解 含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时
分a>0、a＝0和 a<0三种情况讨论。这称为含参型。
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另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过
分 类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定 的，标准是统一的，不遗漏、
不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏 不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象
的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥
（没有重复 ）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，
综合得出结论。
三、函数与方程的思想方法
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决 问题。方程思想，是
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等 式、或
方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还
实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问 题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着
等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪 里有公式，哪里就有方程；求值
问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切 相关。而函数和多
元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程 f(x)－y
＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程
思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学 特征，建立函数关
系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般 地，
函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、
奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函
数、 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
含条件，构造出函 数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、
分析、判断比较深入、充分、 全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，
方程问题、不等式问题和某些代数问题也可 以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解
答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面 广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是
高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常 见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；
有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数 观点加以分析；含有多个变量
的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问 题，翻译成数学
语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列 中，
通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
四、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种 重要的思想方
法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单
的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有
利于 强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转 化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保
证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是 充分或必要的，要对结论进行必要
的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光 点，找到解决问题的
突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转 化时确
保其等价性，保证逻辑上的正确。
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著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什
么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，
就是从未知 向已知、从复杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价 转化的思想方法去解决数
学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间 进行转换；
它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的< br>翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、
求值 求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进
行等价转化。可以 说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不
变。由于其多样性和灵活性，我 们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循 熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，
即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处 理；或者将较为繁琐、复杂的
问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、 从分式到整式…
等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的 求
解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，
转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
第三章 高考热点问题和解题策略
数学高考坚持以“两个有利”（有利高校选拔新生、有利中学教学）为指导思 想，严格
遵循“考试说明”的规定，内容上不超纲，能力上不超规定层次（了解、理解和掌握、灵活和综合运用），在考查三基（基础知识、基本技能、基本技巧）和四种能力（逻辑思维能力、
运算能 力、空间想象能力、分析和解决问题的能力）的同时，侧重考查教材中的主要内容、
数学思想方法和应用 意识，特别是突出考查数学学科的思维能力。
函数平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景 为幂、指、对及一般函数的概念、
定义域、值域、反函数；函数的性质、函数的单调性、奇偶性、周期性 ；函数的图像等。
三角函数平均每年占高考总分的12.6％，考查的知识背景是三角函数的概念、性 质、
以及有关公式的应用，以常规题居多。
解（证）不等式平均每年占高考总分的11.2％ ，考查的知识背景为不等式的性质、定
理；立几、数列中的最值问题以及解几中的范围问题。
数列、极限和数学归纳法平均每年占高考总分的13.8％，考查的知识背景为等差（比）
数列的概念与 计算公式；数列、极限的概念与求法。
线面间的位置关系平均每年占高考总分的11.8％，考查的知 识背景为线面间的平行、
垂直性质与判定及有关概念。每年均为阅读理解型试题。
圆锥曲线平 均每年占高考总分的11.7％，考查的知识背景为圆锥曲线的定义、性质及
解几中的基本数学思想方法 。
1993年—1999年高考试题中，常用的数学方法几乎每年考到，常用的数学思想方法考
查的频率明显提高，探索性能力题年年考，对应用性问题的考查力度不断加大，阅读理解能
力多题渗透 。
今年高考命题，选择题继续保持14个题题量，仍分为1-5题，每题4分，6-14题每题
5分，但适当降低最后2-3题的难度，控制语言的抽象水平。填空题保持1997-1999年水平，
共4个题左右，每题4分，难度仍将为中等题，以计算题为主，且计算量仍不会加大。相比
99年高考 ，2000高考将适当降低试卷的难度，进一步加强对思维能力考查。
进一步注重通性通法的考查，继 续突出主体内容（函数、方程、不等式、数列和圆锥曲
线等），淡化某些不宜升温的知识（递推数列、复 数和立体几何等），做好向新高中教材过
渡的准备。
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应用题将适当控制对建模能力难度的考查，减少普通语言转译为数学语言的难度，既注
意 贴近生活，又注意靠近课本。探索性综合题和信息迁移题不可能增加难度，如数列综合题
仍以归纳猜想为 主要形式。
一、应用问题
应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与 方法来分析问题解决
问题的能力，这个要求分解为三个要点：
1、要求考生关心国家大事，了 解信息社会，讲究联系实际，重视数学在生产、生活及
科学中的应用，明确“数学有用，要用数学”，并 积累处理实际问题的经验。
2、考查理解语言的能力，要求考生能够从普通语言中捕捉信息，将普通语 言转化为数
学语言，以数学语言为工具进行数学思维与交流。
3、考查建立数学模型的初步能力，并能运用“考试说明”所规定的数学知识和方法来
求解。
对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化
为数学问 题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求
我们读懂材料，辨析文 字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象
其中的数量关系，将文字语言叙述转 译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以
说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关， 即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；
二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关 ，即构建相应的数学模型，
构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。
求解应用题的一般步骤是（四步法）：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4、评价：对结果进行验证或评估， 对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解
释或验证。
在近几年高考中，经常涉及的数 学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等
式模型、三角模型、排列组合模型等等。
二、探索性问题
近年来，随着社会主义经济建设的迅速发展，要求学校由“应试教育”向“素 质教育”
转化，培养全面发展的开拓型、创造型人才。在这种要求下，数学教学中开放型问题随之产生。于是，探索性问题成了近几年来高考命题中的热点问题，它既是高等学校选拔高素质人
材的需要 ，也是中学数学教学培养学生具有创造能力、开拓能力的任务所要求的。实际上，
学生在学习数学知识时 ，知识的形成过程也是观察、分析、归纳、类比、猜想、概括、推证
的探索过程，其探索方法是学生应该 学习和掌握的，是今后数学教育的重要方向。
一般地，对于虽给出了明确条件，但没有明确的结论，或 者结论不稳定，需要探索者通
过观察、分析、归纳出结论或判断结论的问题（探索结论）；或者虽给出了 问题的明确结论，
但条件不足或未知，需要解题者寻找充分条件并加以证明的问题（探索条件），称为探 索性
问题。此外，有些探索性问题也可以改变条件，探讨结论相应发生的变化；或者改变结论，
探讨条件相应发生的变化；或者给出一些实际中的数据，通过分析、探讨解决问题。
探索性问题一般有以下几种类型：猜想归纳型、存在型问题、分类讨论型。
猜想归纳型问题是 指在问题没有给出结论时，需要从特殊情况入手，进行猜想后证明其
猜想的一般性结论。它的思路是：从 所给的条件出发，通过观察、试验、不完全归纳、猜想，
探讨出结论，然后再利用完全归纳理论和要求对 结论进行证明。其主要体现是解答数列中等
与n有关数学问题。
存在型问题是指结论不确定的 问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出
现，其结果可能存在，需要找出来，可能不存在 ，则需要说明理由。解答这一类问题时，我
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们可以先假设结论不存在，若推论无矛盾，则结论确定存在；若推证出矛盾，则结论不存在。代数、三角、几何中，都可以出现此种探讨“是否存在”类型的问题。
分类讨论型问题是指条件或 者结论不确定时，把所有的情况进行分类讨论后，找出满足
条件的条件或结论。此种题型常见于含有参数 的问题，或者情况多种的问题。
探索性问题，是从高层次上考查学生创造性思维能力的新题型，正确运 用数学思想方法
是解决这类问题的桥梁和向导，通常需要综合运用归纳与猜想、函数与方程、数形结合、 分
类讨论、等价转化与非等价转化等数学思想方法才能得到解决，我们在学习中要重视对这一
问 题的训练，以提高我们的思维能力和开拓能力。
三、选择题解答策略
近几年来高考数学试题 中选择题稳定在14～15道题，分值65分，占总分的43.3%。高
考选择题注重多个知识点的小型 综合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度的考
基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题 成为具备较佳区分度的基本题型。因此能否在
选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题 的基本策略是准确、迅速。
准确是解答选择题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选， 全题无分。
所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生不适应能力型的考试，致使“超时失
分”是造成低分的 一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在不超过50分钟左右，速
度越快越好，高考要求每道选择 题在1～3分钟内解完。
选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方 法的运用、
考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”
三个层次的要求。历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确
的。 它包括两个部分：题干，由一个不完整的陈述句或疑问句构成；备选答案，通常由四个
选项A、B、C、 D组成。
选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊作用与特点：由于选择题不需写出运算、推
理等解答过程，在试卷上配有选择题时，可以增加试卷容量，扩大考查知识的覆盖面；阅卷
简捷，评分 客观，在一定程度上提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生是否能迅速选出
正确答案，解题手段不拘 常规，有利于考查学生的选择、判断能力；选择支中往往包括学生
常犯的概念错误或运算、推理错误，所 有具有较大的“迷惑性”。
一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。② 结合高考单
项选择题的结构（由“四选一”的指令、题干和选择项所构成）和不要求书写解题过程的特< br>点，灵活运用特例法、筛选法、图解法等选择题的常用解法与技巧。③ 挖掘题目“个性”，
寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择。
四、填空题解答策略
填空题是一种传统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考， 都有一定数量
的填空题，且稳定了4个小题左右，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％。 填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求
学生在指定的 空位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整的陈述句形式，填写
的可以是一个词语、数字、 符号、数学语句等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量 型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函
数的定义域、值域、最大值 或最小值、线段长度、角度大小等等。由于填空题和选择题相比，
缺少选择支的信息，所以高考题中多数 是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种 性质，
如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
填空题不要求学生书写推理或 者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样，
能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面 的知识容量，同时也可以考查学生对数学概
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念的理解、数量问题的计算解决能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是：正
确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填
写结果，每 道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填空题上失分一般比选择题和
解答题严重。我们很有必 要探讨填空题的解答策略和方法。
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