高中数学常用思想方法

高中数学常用的数学思想

一、函数与方程思想
函数思想，是指用函 数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是
从问题的数量关系入手，运用数学语言 将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或
方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或 不等式（组）来使问题获解。有时，还
实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着
等式和不等式 。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值
问题是通过解方程来实现的 ……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多
元方程没有什么本质的区别，如函数y＝ f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y
＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方 程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程
思想时需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数 量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关
系型的数学模型，从而进行研究。它体现 了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，
函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利 用的性质是：f(x)、f
?1
(x)的单调性、
奇偶性、周期性、最大值和最小值、 图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函
数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具 体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐
含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想 的关键。对所给的问题观察、
分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函 数原型。另外，
方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想 解
答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要 求，所以是
高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；< br>有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量
的数学 问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学
语言，建立数学模型 和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，
通项公式、前n项和的公式，都 可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。
1?2
x
?4
x
a
例 设f(x)＝lg，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。
3
1 ?2
x
?4
x
a
xx
【分析】当x∈(-∞,1]时f(x )＝lg有意义的函数问题，转化为1＋2＋4a>0
3
在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式 问题。

【解】 由题设可知，不等式1＋2
x
＋4
x
a>0在x∈(-∞,1]上恒成立，
1
2x
1
x
即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。
22
设t＝(
1
x
11
), 则t≥， 又设g(t)＝t
2
＋t＋a，其对称轴为t＝－
222
11113
,+∞)上无实根， 即 g()＝()
2
＋＋a>0，得a>－
22224
3
。
4
∴ t
2
＋t＋a＝0在[
所以a的取值范围是a>－
【 注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和
单调性进行解决 问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我
们在解题中要抓住二次函数及 图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进
行相互转化。

二、数形结合思想
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程 （组）、不
等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数< br>形结合的知识，主要体现是解析几何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以 数辅形”两个方面，其应用大
致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系， 即以形作为手段，
数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和 规范
严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐
明曲线的几何性质。
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合 就是根
据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量
关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解
题思路，使 问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间
万物无不是“数”和“形 ”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难
入微，数形结合百般好，隔裂分家万事 休。
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题
与 图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想

分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代
数特征，对数 学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、
合理用参，建立关系，由 数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范
围。
数学中的知识，有的本 身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于
直角三角形来定义的；任意角的三角函数 是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
例 若方程lg(－x
2
＋3x－m)＝l g(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形 ，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利
用二次函数的图像进行解决。
?
3?x?0
【解】 原方程变形为
?

2?x?3x?m?3?x
?
?
3?x?0
即：
?
2
(x?2)?1?m
?
设曲线y
1
＝(x－2)
2< br> , x∈(0,3)和直线y
2
＝1－m，
图像如图所示。由图可知：
① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴ m＝1或－3 y
4 y=1-m
1
O 2 3 x
此题也可设曲线y
1
＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y
2
＝m后画出图像求解。
【注】 一般地，方程的解、不等 式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的
图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法 来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法
来求（也注意结合图像分析只一个x值）。

三、分类与整合思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类 ，并逐类求解，
然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想， 同
时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关
分 类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概
括性，所以在高 考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的 数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种
情况。这种分类讨论题型可 以称为概念型。
2

② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范 围或者条件限制，或者是分
类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种 分类讨论题型可
以称为性质型。
③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行 讨论。如解不等式ax>2时
分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外 ，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过
分类讨论，保证其完整 性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的， 不遗漏、
不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象
的全体的范围；其 次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥
（没有重复）；再对所分类逐步 进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，
综合得出结论。
例4. 设函数 f(x)＝ax－2x＋2，对于满足10，求实数a
的取值范围。
【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先
对开口方 向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。
【解】当a>0时，f(x)＝a（x－
2
1
2
1
）＋2－
aa
?
1
?
1
1??4
?
?
a< br>?
≤1
∴
?
a
或
?

11
?
f()＝2??0
?
?
f(1)＝a?2?2≥0
?
a
?
a
?
1
?
≥4
或
?
a

?
?
f(4)＝16a?8?2≥0
∴ a≥1或
11
；
22
?
f (1)＝a?2?2≥0
当a<0时，
?
，解得φ；
?
f(4)＝16a?8?2≥0
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合题意
1
由上而得，实数a的取值范围是a> 。
2

【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0 、a＝0三种情
况，再每种情况结合二次函数的图像，在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在 闭区
间左边、右边、中间。

四、化归与转化思想
化归与转化即等价转化 ，是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种
重要的思想方法。通过不断的转化，把不 熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至
模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不 见，我们要不断培养和训练自觉的转
化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和 技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保< br>证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要
的修正 （如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的
突破口。我们在应用 时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确
保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么
叫解题》 的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是
从未知向已知、从复 杂到简单的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方 法去解决数
学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；< br>它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的
翻译； 它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、
求值求范围问题等 等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进
行等价转化。可以说，等价转化 是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不
变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设 计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单 化、直观化、标准化的原则，
即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较 为繁琐、复杂的
问题，变成比较简单的问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式 …
等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求
解 过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，
转化过程省时 省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的水平和能力。
例 设x、y∈R且3x＋2y＝6x，求x＋y的范围。
【分析】 设k＝x＋y，再代入消去y，转化 为关于x的方程有实数解时求参数k范围的
问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
22< br>2222

【解】由6x－3x
2
＝2y
2
≥0 得0≤x≤2。
设k＝x
2
＋y
2
，则y
2
＝k －x
2
，代入已知等式得：x
2
－6x＋2k＝0 ，
即k＝－
1
2
x＋3x，其对称轴为x＝3。
2
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x
2
＋y
2的范围是：0≤x
2
＋y
2
≤4。
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
y
2
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1 ，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。
3
2
222
x
2< br>＋y
2
的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大 的
点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x
2
＋y
2
＝k，代入椭圆中消y得x
2
－
6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝ 4,所以x
2
＋y
2
的范围是：0≤x
2
＋y
2< br>≤4。
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
?
x?1?cos
?
y
?
222
由3x＋2y＝6 x得(x－1)＋＝1，设
?
，则
6
3
sin
?
?
y?
2
?
2
331
22222
x＋y＝1＋2c osα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
222
15
2
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
222
所以x
2
＋y
2
的范围是：0≤x
2
＋y< br>2
≤4。
【注】本题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识 点，有助
于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。

五、特殊与一般思想
用特殊值 (特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检
验，从而作出正确判断的 方法叫特例法。常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特

殊图形、特殊角、特殊 位置等。当已知条件中含有某些不确定的量，但题目暗示答案可能是
一个定值时，可以将变量取一些特殊 数值、特殊位置、或者一种特殊情况来求出这个定值，
这样，简化了推理、论证的过程。

例 已知(1－2x)
7
＝a
0
＋a
1
x＋a2
x
2
＋…＋a
7
x
7
，那么a
1< br>＋a
2
＋…＋a
7
＝ 。
【解】令x＝1， 则有（－1）
7
＝a
0
＋a
1
＋a
2
＋… ＋a
7
＝－1；令x＝0,则有a
0
＝1。所
以a
1
＋a
2
＋…＋a
7
＝－1－1=－2。
六、有限与无限思想
（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向
（3） 立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分
割，再求和求极限， 是典型的有限与无限数学思想的应用
2
a
n
?n
2
例 设 等差数列
?
a
n
?
的公差
d
是2，前
n< br>项的和为
S
n
，则
lim?
．
n??
S
n
【解】设首项为
a
1
，则
a
n
?
a
1
?2(n?1)?2n?
a
1
?1
，S
n
?n
a
1
?
n(n?1)
?2

2
?
n
2
?n(
a
1
?1)
2< br>(2n?
a
1
?1)
2
?n
2
3n
2
?4n(
a
1
?1)?(
a
1
?1)
2
a
n
?n
2
?lim?lim?lim

22n??n??n??
S
n
n
?n(
a
1
?1)
n
?n(
a
1
?1)
3?
lim
n??< br>4(
a
1
?1)
n
1?
?
n
(a
1
?1)
2
n
2
?3
.
(
a
1
?1)

七、必然与或然的思想
（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个 发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、
独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点

例 设有关于
x
的一元二次方程
x?2ax?b?0
．
（Ⅰ）若
a
是从
01，，2，3
四个数中任取的一个数，
b
是从
0 1，，2
三个数中任取的一个数，求上
述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若
a< br>是从区间
[0，3]
任取的一个数，
b
是从区间
[0，2]< br>任取的一个数，求上述方程有实
根的概率．

【解】设事件
A
为“方程
a?2ax?b?0
有实根”．
当
a?0
，
b?0
时，方程
x?2ax?b?0
有实根的充 要条件为
a
≥
b
．
22
22
22
（Ⅰ）基本事件共12个：
(0，，，0)(01) ，，，(02)(1，，0)(11)，，(1，，，，，2)(20)(21)，，，，，，(22)(30) (31)，，(32)
．其中第一个数表示
a
的
取值，第二个数表示
b
的取值．
事件
A
中包含9个基本事件，事件
A
发生的概 率为
P(A)?
93
?
．
124
（Ⅱ）试验的全部结束所 构成的区域为
(a，b)|0
≤
a
≤
3，0
≤
b< br>≤
2
．
构成事件
A
的区域为
(a，b)|0
≤
a
≤
3，0
≤
b
≤
2，a
≥
b
．
y

??
??
1
3?2??2
22
2
所以所求的概率为
??
．
3?23
附图：
y

O

x