高中数学解题常用思想方法四--等价转化思想方法

【高中数学解题常用思想方法】四、等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化 到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的
转化，把不熟悉、不规范、复杂的问 题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化
思想无处不见，我们要不断培养和训 练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高
思维能力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结
果仍 为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理
方程 要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的
等价 性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科 大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的
演讲时提出：“解题就 是把要解题转化为已经解过的题”。数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到
简单的化归转换过程 。
等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没
有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转
化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，
即所说的恒等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们
更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变
上升到保持命题的真假不变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬
硬套题型。
在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原 则，即把我们遇到
的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变 成比较简单的问题，
比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决 、比较抽象的问题，
转化为比较直观的问题，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非 标准型向标准型进行
转化。按照这些原则进行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等 价转化思想，可以提
高解题的水平和能力。
Ⅰ、再现性题组：
1. f(x)是R 上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
2.设f(x)＝3x－2，则f
?1
[f(x)]等于______。
1
x?8
A. B. 9x－8 C. x D.
3x?2
9
3. 若m、n、p、q∈R且m
2
＋n
2
＝a，p
2
＋q
2
＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是_ _____。
a?b
ab
a
2
?b
2
A. B.
ab
C. D.
2
a?b
2
4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1 B.
2
C. 2 D.
5

x
2
y
2
5. 设椭圆
2
＋
2
＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和( b,0)，已知原点到l的距离等于
b
a
221
c，则椭圆的离心率为___ __。
7
A.
3
11
2
B. C. D.
3
2
42
6. 已知三棱锥S-ABC的三 条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，
则四棱锥S- BCED的体积为_____。
A.
2535
15
B. 10 C. D.
22
2
【简解】1小题：由已知转化 为周期为2,所以f(7.5)＝f(-0.5)＝－f(0.5)，选B；
2小题：设f(x)＝y，由互为反函数的值域与定义域的关系，选C；
m
2
?p
2
n
2
?q
2
3小题：由mp＋nq≤＋容易求解， 选A；
2
2
4小题：由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A；
5小 题：ab＝
221c
22
×
a?b
，变形为12e
4
－31e
2
＋7＝0，再解出e，选B；
7
1
6小题：由S?ADE
＝S
?ABC
和三棱椎的等体积转化容易求，选A。
4
Ⅱ、示范性题组：
1
1
1
例1. 若x、y、z∈R且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。
y
xz
?
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式x＋y＋z， 或者运用均值不等式
后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的变形，即等价转化。
【解】(
1
1
1
1
－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)
y
xyz
x
z
＝
1
1
(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz) < br>xyz
xyz
＝
3
1
1
1
3
1＋＋－1≥3
3
－1＝－1≥－1＝9
3
xyz
x?y?z< br>y
zx
xyz
3

【注】对所求式进行等价变换：先通分 ，再整理分子，最后拆分。将问题转化为求
1
1
1
＋＋的最小
yzx
值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值 不变。
例2. 设x、y∈R且3x
2
＋2y
2
＝6x，求x2
＋y
2
的范围。
【分析】 设k＝x
2
＋y
2
，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中
要注意隐含条 件，即x的范围。
【解】由6x－3x
2
＝2y
2
≥0得0≤x≤2。
设k ＝x
2
＋y
2
，则y
2
＝k－x
2
，代入 已知等式得：x
2
－6x＋2k＝0 ，
即k＝－
1
2
x＋3x，其对称轴为x＝3。
2
由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x
2
＋y
2的范围是：0≤x
2
＋y
2
≤4。
【另解】 数形结合法（转化为解析几何问题）：
2
y
由3x
2
＋2y
2
＝6x得(x－1)
2
＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。x
2
＋y
2
的范
3
2
围就是椭圆上的点到坐标原点的 距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭
圆相切的切点。设圆方程为x
2
＋y
2
＝k，代入椭圆中消y得x
2
－6x＋2k＝0。 由判别式△＝36－8k＝0得
k＝4,所以x
2
＋y
2
的范围是： 0≤x
2
＋y
2
≤4。
【再解】 三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
?
x?1?cos
?
y
?
222
由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设
?
，则
6
3
sin
?
?
y?
2
?
2
331
22222
x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋ ＋2cosα－cosα
222
15
2
＝－cosα＋2cosα＋∈[0,4]
22
2
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
【注】本题运用多种方法进 行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思
维能力。此题还可以利用均值换 元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属
于问题转换题型。
例3. 求值：ctg10°－4cos10°
【分析】分析所求值的式子，估计两条途径：一是将函数名化为相同，二是将非特殊角化为特殊角。 < br>2222

【解一】ctg10°－4cos10°＝
cos10°
cos10°?4sin10°cos10°
－4cos10°＝
sin10°
s in10°
＝
sin80°?2sin20°sin80°?sin20°?sin20°＝
sin10°sin10°
2cos50°sin30°?sin20°
si n40°?sin20°
2cos30°sin10°
＝＝＝
3

s in10°sin10°
sin10°
＝
（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆项→ 差化积→化同名→差化积）
【解二】ctg10°－4cos10°＝
cos10°
cos10°?4sin10°cos10°
－4cos10°＝
sin10°
si n10°
1
2·sin80°?2sin20°
sin80°?2sin20°
2
＝＝
sin10°
sin10°
＝
2cos60°sin80 °?2sin20°
sin140°?sin(?20°)?2sin20°
＝
si n10°
sin10°
sin140°?sin20°
2cos80°sin60°< br>＝＝
3

sin10°
sin10°
＝
（基本过程： 切化弦→通分→化同名→特值代入→积化和→差化积）
【解三】ctg10°－4cos10°＝cos10°
cos10°?4sin10°cos10°
－4cos10°＝
sin10°
sin10°
＝
sin80°?2sin20°sin(60??20? )?2sin20°
＝
sin10°sin10°
3113
cos20?? sin20??2sin20°3(cos20??sin20?)
2222
＝＝
s in10°sin10°
＝
3cos(60??20?)
＝
3

sin10°

（基本过程：切化弦→通分→化同名→拆角80°→和差角公式） < br>【注】无条件三角求值问题，是高考中常见题型，其变换过程是等价转化思想的体现。此种题型属于
三角变换型。一般对，对于三角恒等变换，需要灵活运用的是同角三角函数的关系式、诱导公式、和差角
公式、倍半角公式、和积互化公式以及万能公式，常用的手段是：切割化弦、拆角、将次与升次、和积互
化、异名化同名、异角化同角、化特殊角等等。对此，我们要掌握变换的通法，活用2公式，攻克三角恒
等变形的每一道难关。

例4. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,
ππ
)，若x
1
、x
2
∈(0, )且x
1
≠x
2
，
22
x
1
?x
2
1
求证：[f(x
1
)＋f(x
2
)]>f() （94年全国高考）
22
【分析】从问题着手进行思考，运用分析法，一步步探求问题成立的充分条件。
【证明】
x
1
?x
2
x
1
?x
2
1
1
[f(x
1
)＋f(x
2
)]>f()
?
[tgx
1
＋tgx
2
]>tg
2
222
?
sinx
2
sin(x
1
?x
2
)sin(x
1
?x
2
)
1
sinx
1
1
sin(x
1
?x
2
)
(＋)>
?
>
2
cosx
1
cosx
2
1?cos(x
1
?x
2
)
2
cosx
1
cosx
2
1? cos(x
1
?x
2
)
?
1＋cos(x
1＋x
2
)>2cosx
1
cosx
2

?
1＋cosx
1
cosx
2
＋sinx
1sinx
2
>2cosx
1
cosx
2

?
cosx
1
cosx
2
＋sinx
1
sinx
2
<1
?
cos(x
1
－x
2
)<1
由已知显然cos(x
1< br>－x
2
)<1成立，所以
x
1
?x
2
1[f(x
1
)＋f(x
2
)]>f()
2
2
【注】 本题在用分析法证明数学问题的过程中，每一步实施的
S

都是等价转化。此种题型属于分析证明型。
例5. 如图，在三棱锥S- ABC中，S在底面上的射影N位于底
A M
面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等

D N C
于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
B
【分析】 由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利
用平面几何知识证明SC⊥DM。
【证明】由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC＝∠NSC
又∵ ∠DCM＝∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
【注】立 体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时
运用平面几何 知识。
Ⅲ、巩固性题组：
1. 正方形ABCD与正方形ABEF成90°的二面角，则AC与BF所成的角为_____。
A. 45° B. 60° C. 30° D. 90°
2. 函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，则下列各式中成立的是_____。

A. ab≤1 B. ab<1 C. ab>1 D. a>1且b>1
3.
lim
[
1?2?…?n
－
1?2?…?(n?1)
] (n∈N)的值为______。
n→∞
A.
2
B.
2
C. 0 D. 1
2
4. (a＋b＋c)
10
展开式的项数是_____。
A. 11 B. 66 C. 132 D. 3
10

5. 已知长方体 ABCD-A’B’C’D’中，AA’＝AD＝1，AB＝
3
，则顶点A到截面A’BD的距 离是_______。
6. 已知点M(3cosx，3sinx)、N(4cosy，4siny) ，则|MN|的最大值为_________。
7. 函数y＝
x
＋
1?x
的值域是____________。
8. 不等式log
8
（x
3
＋x＋3）>log
2
(x＋2)的 解是____________。
9．设x>0，y>0，求证：(x＋y)>(x＋y) (86年上海高考)
10. 当x∈[0,
π
]时，求使cos
2
x－mcosx＋2m－2>0恒成立的实数m的取值范围。
2
22
1
2
33
1
3
11. 设△ABC 的三内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若三边a、b、c顺次成等差数列，求复数z＝
[cos (π＋
A
)＋ｉsin(π＋
A
)]·[sin(
3π
－< br>C
)＋ｉcos(
3π
－
C
)]的辐角主值argz的最大值 。
22
2
2
2
2
12. 已知抛物线C：y＝(t
2
＋t－1)x
2
－2(a＋t)
2
x＋(t
2
＋3at＋b)对任何实数t都与x轴交于P(1,0)
点，又设抛物线C与x轴的另一交点为Q(m, 0)，求m的取值范围。