高中数学解题思想方法全部内容

目 录
前言 ……………………………………………………… 2
第一章 高中数学解题基本方法 ……………………… 3
一、 配方法 ……………………………………… 3
二、 换元法 ……………………………………… 7
三、 待定系数法 ………………………………… 14
四、 定义法 ……………………………………… 19
五、 数学归纳法 ………………………………… 23
六、 参数法 ……………………………………… 28
七、 反证法 ……………………………………… 32
八、 消去法 ………………………………………
九、 分析与综合法 ………………………………
十、 特殊与一般法 ………………………………
十一、 类比与归纳法 …………………………
十二、 观察与实验法 …………………………
第二章 高中数学常用的数学思想 …………………… 35
一、 数形结合思想 ……………………………… 35
二、 分类讨论思想 ……………………………… 41

三、 函数与方程思想 …………………………… 47
四、 转化（化归）思想 ………………………… 54
第三章 高考热点问题和解题策略 …………………… 59
一、 应用问题 …………………………………… 59
二、 探索性问题 ………………………………… 65
三、 选择题解答策略 …………………………… 71
四、 填空题解答策略 …………………………… 77
附录 ………………………………………………………
一、 高考数学试卷分析 …………………………
二、 两套高考模拟试卷 …………………………
三、 参考答案 ……………………………………



前 言
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一
个新问题， 总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理
解透彻及融会贯通时， 才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，
特别是突出考查能力的试题，其 解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用
数学思想方法去分析问题解决问题，形成能 力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查 ：
① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
实用文档
1

② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演
绎等；
④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可
以用文字和符号 来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想
方法则是一种数学意识，只 能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理
和解决，掌握数学思想方法，不是受用 一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学
思想方法也还是对你起作用。
数学思想 方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作
性的特征，可以选用作为 解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在
学习、掌握数学知识的同时获得。
可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提
高学 生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。
为了帮助学生掌握解题的金钥匙 ，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学
基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学 归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综
合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介 绍高考中常用的数学思想：函数与
方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈 谈解题中的有关策略和
高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。
在每 节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再
现性题组是一组简单 的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方
法和问题进行示范。巩固性题组 旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选
取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部 分重要章节的数学知识。







实用文档





第一章 高中数学解题基本方法
一、 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平 方”）的技巧，通过配方找到已知
和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合 理运用“裂项”与“添
项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 < br>最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知
中含有二 次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线
的平移变换等问题 。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
，将这个公式
灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： < br>a
2
＋b
2
＝(a＋b)
2
－2ab＝(a－b)< br>2
＋2ab；
a
2
＋ab＋b
2
＝(a＋b)2
－ab＝(a－b)
2
＋3ab＝(a＋
b
2
32
2
)＋（
2
b）；
a
2
＋b
2< br>＋c
2
＋ab＋bc＋ca＝
1
222
2
[(a＋b )＋(b＋c)＋(c＋a)]
a
2
＋b
2
＋c
2
＝(a＋b＋c)
2
－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)
2
－2( ab－bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
2
；
x
2
＋
11
2
1
2
x
2
＝(x＋
x
)－2＝(x－
x
)＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：
1. 在正项等比数列{a
n
}中，a
1
?a
5
+ 2a
3
?a
5
+a
3
?a
7
=25，则 a
3
＋a
5
＝_______。
2

2. 方程x
2
＋y
2
－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A.
1
4
1
4
或k>1 C. k∈R D. k＝
1
4
或k＝1
3. 已知sin
4
α＋cos
4
α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝log
1
(－2x
2
＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
2
A. （－∞,
5
4
] B. [
5
4
,+∞) C. (－
1
2
,
5
4
] D. [
5
4
,3)
5. 已知方程x
2
+(a-2)x+a- 1=0的两根x
22
1
、x
2
，则点P(x
1
,x
2
)在圆x+y=4上，则实
数a＝_____。
【简解】 1小题：利用 等比数列性质a
2
m?p
a
m?p
＝a
m
，将已知 等式左边后配方（a
3
＋a
5
）
2
易求。答案是：5。
2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
，解r
2
>0即可，选B。
3小题：已知等式经配方成(si n
2
α＋cos
2
α)
2
－2sin
2
α cos
2
α＝1，求出sinαcosα，
然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。
4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
5小题：答案3－
11
。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知长方体 的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角
线长为_____。
A. 2
3
B.
14
C. 5 D. 6
【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分 别为x,y,z，则
?
?
2(xy?yz?xz)?11
?
4(x? y?z)?24
,而欲求对角线长
x
2
?y
2
?z
2
，将其配凑成两已知式的组合形式可
得。
实用文档

【解】设 长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之
和为24”而得 ：
?
?
2(xy?yz?xz)?11
?
4(x?y?z)?24< br>。
长方体所求对角线长为：
x
2
?y
2
?z
2
＝
(x?y?z)
2
?2(xy?yz?xz)
＝
6< br>2
?11
＝5
所以选B。
【注】本题解答关键是在于将两个已知和 一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三
个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系， 即联系了已知和未知，从而求解。这
也是我们使用配方法的一种解题模式。
例2. 设方程x
2
＋kx＋2=0的两实根为p、q，若(
p
q
)
2
+(
q
p
)
2
≤7成立，求实数k的取
值范围。
【解】方程x
2
＋kx＋2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 ,
(
p
)
22
p
4
?q
4
q< br>+(
q
)＝
(p
2
?q
2
)
2?2p
2
q
2
[(p?q)
2
?2pq]
2< br>?2p
2
q
2
p
(pq)
2
＝
(p q)
2
＝
(pq)
2
＝
(k
2
?4)2
?8
4
≤7， 解得k≤－
10
或k≥
10
。
又 ∵p、q为方程x
2
＋kx＋2=0的两实根， ∴ △＝k
2
－8≥0即k≥2
2
或k≤－2
2

综合起来，k的取值范围是：－
10
≤k≤－
22
或者
22
≤k≤
10
。
【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先 考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，
可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p＋q、pq 后，观察已知不等式，从其结构特征联
想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。假如本题不对 “△”讨论，结果将出错，即
使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整 的，这一点我们要
尤为注意和重视。
例3. 设非零复数a、b满足a
2
＋ ab＋b
2
=0，求(
a
a?b
)
1998
＋(< br>b
1998
a?b
) 。
【分析】 对已知式可以联想：变形为(< br>a
b
)
2
＋(
aa
b
)＋1＝0，则
b
＝ω （ω为1的立方虚
根）；或配方为(a＋b)
2
＝ab 。则代入所求式即得。
3