高中数学解题思想方法(数学归纳法)

五、数学归纳法
数学归纳法是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n ＝1(或n
0
)时成立，这是递推的
基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明 n＝k＋1时命题也成立，这是递推的依据。实际上它使命
题的正确性突破了有限，达到无限。证明时， 关键是k＋1步的推证，要有目标意识。
Ⅰ、再现性题组：
1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2·1·2…(2n－1) （n∈N），从“k到k＋1”，左端需
乘的代数式为_____。
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1) C.
2k?1
D.
n
k?1
2k?3

k?1
2. 用数学归纳法证明1＋
1
＋
1
＋…＋
1
1)时，由n＝k (k>1)不等式成立，推证n＝k＋1
23
2
n
?1
kkk
时，左边应增加的代数式的个数是_____。
A. 2 B. 2－1 C. 2 D. 2＋1
3. 某个命题与自然数n有关，若n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。 (xx上海高考)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
4. 数列{a}中，已知 a
1
＝1，当n≥2时a
n
＝a
n?1
＋2n－1，依次计 算a
2
、a
3
、a
4
后，猜想a
n
的表< br>达式是_____。
A. 3n－2 B. n C. 3
4n?22n?1
n
k?1
2
n?1
D. 4n－3
4(k?1)?22(k?1)?1
5. 用数学归纳法证明3＋5 ( n∈N)能被14整除，当n＝k＋1时对于式子3＋5
应变形为_________________ ______。
6. 设k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f(k+1)＝f(k)＋_________。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 已知数列
8·1
，得，…，
1·322
8·n
，…。S
n
为其前n项和，求S
1
、S2
、S
3
、S
4
，
22
(2n?1)·(2n ?1)
推测S
n
公式，并用数学归纳法证明。 （xx全国理）
【解】 计算得S
1
＝，S
2
＝
当n＝1时，…




【注】 从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行 严格证明，这是探索
性问题的证法，数列中经常用到。 （试值 → 猜想 → 证明）
【另解】 用裂项相消法求和：


例2. 设a
n
＝< br>1×2
＋
2×3
＋…＋
n(n?1)
(n∈N),证明：
【解】 当n＝1时，a
n
＝
2
，
8< br>9
24
，S＝
48
，S＝
80
， 猜测S＝
(2n?1)
2
?1
(n∈N)
n
342549
81
(2n?1)
2
1
n(n＋1)1
(n＋1)
2
。
n
22
1
n(n+1)＝1
，
1
(n+1)
2
＝2 ， ∴ n＝1时不等式成立。 < br>222
2
11
假设当n＝k时不等式成立，即：k(k＋1)k< br><(k＋1) ，
22

当n＝k＋1时，
1
k(k＋ 1)＋
(k?1)(k?2)
k?1
<
1
(k＋1)＋
(k?1)(k?2)

2
22
…



【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。
【另解】 也可采用放缩法直接证明。（抓住对
n(n?1)
的分析，注意与目标比较）




例3. 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若对于所有的自然数n，都有S
n
＝
差数列。 （xx全国文）
【分析】 要证等差数列，即证：a
n
＝a
1
＋(n－1)d
【解】 设a
2
－a
1
＝d，猜测a
n
＝a
1
＋(n－1)d
当n＝1时，a
n
＝a
1
， ∴ 当n＝1时猜测正确。
假设当n＝k时，猜测正确，即：a
k
＝a
1
＋(k－1)d ，
当n＝k＋1时，a
k?1
＝S
k?1
－S
k
＝< br>…
【注】 注意问题转化成数学式及a
k?1
的得出。
【另解】 可证a
n?1
－a
n
＝ a
n
－ a
n?1
而得：




Ⅲ、巩固性题组：
1. 用数学归纳法证明：6
n
2n?1
n(a
1
?an
)
，证明{a}是等
n
2
(k?1)(a
1
?a
k?1
)
－
k(a
1
?a
k
)
， 解得a＝…
k?1
22
＋1 (n∈N)能被7整除。
2
2
2. 用数学归纳法证明： 1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1) (n∈N)。
3. n∈N，试比较2与(n＋1)的大小，并用证明你的结论。
4. 用数学归纳法证明等式：cos< br>x
·cos
x
·cos
x
·…·cos
x
＝
2
2
2
2
n
2
3
sinx
2n
·sin
x
2
n
(81年全国高考)
5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| （n∈N）。 （85年广东高考）
6. 数列{a
n
}的通项公式a
n
＝
1
(n ∈N)，设f(n)＝(1－a
1
)(1－a
2
)…(1－a
n)，试求f(1)、
(n?1)
2
f(2)、f(3)的值，推测出f(n)的值 ，并用数学归纳法加以证明。
7. 已知数列{a
n
}满足a
1
＝ 1，a
n
＝a
n?1
cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ，n≥2且n∈N)。
①．求a
2
和a
3
； ②.猜测a
n
，并用数学归纳法证明你的猜测。
2
8. 设f(log
a
x)＝
a(x?1)
, ①.求f(x)的定义域； ② .在y＝f(x)的图像上是否存在两个不同点，
x(a
2
?1)
使经过这两 点的直线与x轴平行？证明你的结论。 ③.求证：f(n)>n (n>1且n∈N)