换元法(高中数学思想方法)

换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到 简化，
这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换
研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题
简单化，变 得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，
隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和
推证 简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究
方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值 换元等。局部换元又称整体换元，是在已知
或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从 而简化问题，当然有时候要通
过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t >0），而变为熟悉
的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或 者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角
知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x
＋
1?x
的值域时，易发现x∈[0,1]，设x
＝sinα ，α∈ [0,
2
xxx
?
]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此 设，其中
2
222
主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合 条件x＋y＝r（r>0）
时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
SS
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。
22
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范
围的选取，一定 要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例
中的t>0和α∈[0,?
]。
2
Ⅰ、再现性题组：
1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x＋1)＝log
a
(4－x) （a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a
n< br>}中，a
1
＝－1，a
n?1
?a
n
＝a
n ?1
－a
n
，则数列通项a
n
＝___________。
4.设实数x、y满足x＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
2
24
1?3
?x
5.方程＝3的解是_______________。
1?3
x
6.不等式log
2
(2－1) ?log
2(2
xx?1
－2)〈2的解集是_______________。

< br>t
2
1
【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－
2
,
2
]，则y＝＋t－，对称轴t＝－1，
2
2
1
当t＝< br>2
，y
max
＝＋
2
；
2
2小题：设x＋1＝t (t≥1)，则f(t)＝log
a
[-(t-1 )＋4]，所以值域为(－∞,log
a
4]；
3小题：已知变形为
22< br>1
a
n?1
－
11
＝－1,设b
n
＝，则b
1
＝－1,b
n
＝－1＋(n－1)(-1)
a
n
a
n
＝－n，所以a
n
＝－
1
；
n
22
4小题：设x＋y＝k，则x－2kx＋1＝0, △＝4k－4≥0,所以k≥1或k≤－1；
5小题：设3＝y，则3y＋2y－1＝0,解得y＝< br>x
x2
1
，所以x＝－1；
3
5
6小题：设log
2
(2－1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－22< br>,log
2
3)。
4
Ⅱ、示范性题组：
例1. 实数x、y满足4x－5xy＋4y＝5 （ ①式） ，设S＝x＋y，求
的值。（93年全国高中数学联赛题）
【分析】 由S＝x＋y联想到c osα＋sinα＝1,于是进行三角换元，设
2222
2222
1
S
max
＋
1
S
min
?
?
x?Scosα
代入①式求S
max
和S
min
的值。
?
?
?
y?Ssinα
?
?
x?Scosα
【解】设
?
代 入①式得： 4S－5S?sinαcosα＝5
?
?
y?Ssinα
解得 S＝
10
；
8?5sin2α
101010
≤≤
138?5sin
?
3
∵ -1≤sin2α≤1 ∴ 3≤8－5sin2α≤13 ∴
∴
1
S
max
＋
1
S
min
＝
313168
＋＝＝
1010105
8S?10
的有界性而求，即解不等
S
此种解法后面求S最大值和最小值，还可由s in2α＝
式：|
8S?10
|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法” 。
S

【另解】 由S＝x＋y，设x＝
222
SSSS
2
＋t，y＝－t，t∈[－，]，
2222
S
2
S
2
2
－t
代入①式得：4 S±5
－t
2
=5， 则xy＝±
44
移项平方整理得 100t+39S－160S＋100＝0 。
∴ 39S－160S＋100≤0 解得：
2
22
1010
≤S≤
133
∴
1S
max
＋
1
S
min
＝
313168
＋＝＝
1010105
22
【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是 利用已知条件S＝x＋y与三角
公式cosα＋sinα＝1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问 题转化为三角函数值
域问题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S＝x＋y而按照均值换元 的思路，
设x＝
S
＋t、y＝
S
－t，减少了元的个数，问题且容易 求解。另外，还用到了求值域的
22
22
22
22
几种方法：有界法 、不等式性质法、分离参数法。
和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量x 、y时，可以设x
＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设x ＝a＋b，y
＝a－b，代入①式整理得3a＋13b＝5 ，求得a∈[0,
22
222
5
22
]，所以S＝(a－b)＋(a＋b)
3
＝2(a＋b )＝

1020
2
1010
11
＋a∈[,]，再求＋的值。
1313133
S
max
S
min
例2． △ABC的三个 内角A、B、C满足：A＋C＝2B，
2
1
1
＋＝－，求
cosA< br>cosC
cosB
cos
A?C
的值。（96年全国理）
2
【分析】 由已知“A＋C＝2B”和“三角形内角和等于180°”的性质，可得
?
A?C?120°
?
A＝60°?α
；由“A＋C＝120°”进行均值 换元，则设 ，再代入可
??
?
B＝60°
?
C＝60°－α
求cosα即cos
A?C
。
2
?
A?C?120°
【解】由△ABC中已知A＋C＝2B，可得
?
,
B＝60°
?

?
A＝60°?α由A＋C＝120°，设
?
，代入已知等式得：
C＝60°－α
?11
1
1
＋＝＋＝
cosA
cosC
cos(60??
?
)cos(60??
?
)
1
13
cos
?
?sin
?
22
＋
1
13
cos
??sin
?
22
＝
cos
?
cos
?
＝＝－2
2
,
133
cos
2
?
?sin
2
?
cos
2
?
?
444
22
A?C< br>解得：cosα＝， 即：cos＝。
2
22
【另解】由A＋C＝2B ，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
2
1
1
＋＝－
cosA
cosC
cosB
＝－2
2
，设
1
1
＝－
2
＋m，＝－
2
－m ，
cosA
cosC
所以 cosA＝
11
，cosC＝，两式分别相加、相减得：
?2?m?2?m
22
A?CA?CA?C
cos＝cos＝
2
，
222
m ?2
A?CA?CA?C2m
sin＝－
3
sin＝
2
，
222
m?2
cosA＋cosC＝2cos
cosA－cosC＝－2si n
即：sin
22
A?C
2m
2
A?C
2
A?C
＝－，＝－，代入sin＋cos＝1整理
222
m
2
?2< br>3(m
2
?2)
2
得：3m－16m－12＝0,解出m＝6，代入c os
4
222
A?C
＝
2
＝。
2
2m?2
1
1
＋＝－2
2
”分别进行均
cosA
cosC
【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“
值换元，随后结合三角形角的关系 与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求
对三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均 值换元，也可由三角运算直接解出：由A＋
C＝2B，得A＋C＝120°，B＝60°。所以
2
1
1
＋＝－＝－2
2
，即cosA＋
cosA
c osC
cosB
cosC＝－2
2
cosAcosC，和积互化得：

2cos
2
A?CA?CA?C
cos＝－
2
[c os(A+C)＋cos(A-C)，即cos＝－
2
cos(A-C)
222
2
＝
2
A?C
2
A?C
2
A?C
－2
(2cos－1)，整理得：4
2
cos＋2cos－3
2
＝ 0,
222
2
2
A?C
＝
2
2
2
解得：cos
例3. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a的
最大值和最小值。
y
, ,
【解】 设sinx＋cos x＝t，则t∈[-
2
,
2
]，由(sinx＋cosx)
－
2

2
x
2
t
2
?1
＝1＋2sinx?cosx得：sinx?cosx＝
2
11
2
(t－2a)＋ （a>0），t∈[-
2
,
2
]
22
1
2
t＝-
2
时，取最小值：－2a－2
2
a－
2
1
2
当2a≥
2
时，t＝
2
，取最大值：－2a＋2
2a－ ；
2
1
当0<2a≤
2
时，t＝2a，取最大值： 。
2
∴ f(x)＝g(t)＝－
?
12
(0?a?)
?
1
?
22
2
∴ f(x)的最小值为－2a－2
2
a－，最大值为
?
。
2
12
?
2
?2a?22a?(a?)
?
22
?
【注 】 此题属于局部换元法，设sinx＋cosx＝t后，抓住sinx＋cosx与sinx?cosx
的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。
换元过程 中一定要注意新的参数的范围（t∈[-
2
,
2
]）与sinx＋cosx对 应，否则将会
出错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位
置关系而确定参数分两种情况进行讨论。
一般地，在遇到题目已知和未知中含有sinx与c osx的和、差、积等而求三角式的最大
值和最小值的题型时，即函数为f(sinx±cosx，si nxcsox)，经常用到这样设元的换元法，
转化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。
4(a?1)
(a?1)
2
2a
例4. 设对所于有实数x，不等式xlog
2
＋2x log
2
＋log
2
>0
2
a
a?1
4a
2
恒成立，求a的取值范围。 （87年全国理）

4(a?1)
(a?1)
2
2a
【分析】不等式中log
2
、 log
2
、log
2
三项有 何联系？进行对
2
a
a?1
4a
数式的有关变形后不难发现，再实施 换元法。
【解】 设log
2
4(a?1)
8(a?1)
2aa? 1
＝t，则log
2
＝log
2
＝3＋log
2
＝ 3－log
a
2a
a?12a
2
(a?1)
2
2a a?1
＝3－t，log
2
＝2log＝－2t，
2
a?12a< br>4a
2
2
代入后原不等式简化为（3－t）x＋2tx－2t>0，它对一切实 数x恒成立，所以：
?
t?3
?
3?t?0
2a
，解得 ∴ t<0即log<0
?
?
2
2
a?1
t?0或t?6
?
?
??4t?8t(3?t)?0
2a
0<<1，解得0a?1
【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如 何
4(a?1)
(a?1)
2
2a
设元，关键是发现已知不等式中l og
2
、 log
2
、log
2
三项之间的联
a< br>a?1
4a
2
系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本 题还要求对数运算十分熟
练。一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也 可能要对所
给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一< br>点。
x
sinθ
cos
2
θ
sin
2θ
10
cosθ
例5. 已知＝，且＋＝ (②式)，求的
x
y
x
2
y
3(x
2
?y
2
)
y< br>2
值。
【解】 设
sinθ
cosθ
222
＝＝k ，则sinθ＝kx，cosθ＝ky，且sinθ＋cosθ＝k(x
x
y
2
10k
2
k
2
y
2
y
2
k
2< br>x
2
x
2
10
10
+y)＝1,代入②式得：
2
＋＝＝ 即：
2
＋
2
＝
3
3< br>xx
3(x
2
?y
2
)
y
2
y2
1
10
x
3
1
x
2
设
2< br>＝t，则t＋＝ , 解得：t＝3或 ∴＝±
3
或±
t
3
y
3
3
y

x
sinθ
cos< br>2
θ
【另解】 由＝＝tgθ，将等式②两边同时除以，再表示成含tgθ
y< br>cosθ
x
2
的式子：1＋tgθ＝
(1?tg
2
?
)?
4
10
3(1?
1
)
tg
2
?
＝
10
222
tgθ，设tgθ＝t，则3t—10t＋3
3＝0，
x
3
1
∴t＝3或， 解得＝±
3
或±。
3
y
3
【注】 第一种解法由
sinθ
cosθ
＝而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。
x
y< br>第二种解法将已知变形为
x
sinθ
＝，不难发现进行结果为tgθ，再进行换 元和变形。两
y
cosθ
种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换 元法使方程次数降低。
(x?1)
2
(y?1)
2
例6. 实数x、y满足＋＝1，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。
9
16
(x?1)
2
(y?1)
2
22
【分析】由已知条件＋＝1，可以发现它与a＋ b＝1有相似之处，
9
16
于是实施三角换元。
x?1
(x?1)
2
(y?1)
2
y?1
【解】由＋＝1，设＝cosθ，＝sinθ ，
3
4
9
16
?
x?1?3cosθ
即：
?
代入不等式x＋y－k>0得：
y??1?4sinθ
?
3cos θ＋4sinθ－k>0，即k<3cosθ＋4sinθ＝5sin(θ+ψ)
所以k<-5时不等式恒成立。
【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了 含参三角不等式
恒成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。 一
般地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等
有 关问题时，经常使用“三角换元法”。
本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角 坐标系，不等式ax＋by
＋c>0 (a>0)所表示的区域为直线ax＋by＋c＝0所分平面成两 部分中含x轴正方向的一部分。
此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始
y
终位于平面上x＋y－k>0的区域。即当直线x＋y－k
x
＝0在与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相


x＋y－k>0
k 平面区域

?
16(x?1)
2
?9(y?1)
2
?144
切时，方程 组
?
有相等的一组实数解，消元后由△＝0可求得k
x?y?k?0
?
＝－3,所以k<-3时原不等式恒成立。

Ⅲ、巩固性题组：
1. 已知f(x)＝lgx (x>0)，则f(4)的值为_____。
A. 2lg2 B.
1
lg2 C.
2
lg2 D.
2
lg4
333
3
2. 函数y＝(x＋1)＋2的单调增区间是______。
A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞) C. (-∞,-1]
3. 设等差数列{a< br>n
}的公差d＝
1
，且S
100
＝145，则a
1< br>＋a
3
＋a
5
＋??＋a
99
的值为
24
_____。
A. 85 B. 72.5 C. 60 D. 52.5
4. 已知x＋4y＝4x，则x＋y的范围是_________________。
5. 已知a≥0， b≥0，a＋b＝1，则
a?
1
＋
b?
1
的范围是____ ________。
2
2
22
6. 不等式
x
>ax＋< br>3
的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。
2
7. 函数y＝2x＋
x?1
的值域是________________。
8. 在等比 数列{a
n
}中，a
1
＋a
2
＋?＋a
10
＝2，a
11
＋a
12
＋?＋a
30
＝12，求a
31
＋a
32
＋?＋a
60
。
9. 实数m在什么范围内取值，对任意实数x，
y D C
10. 已知矩形ABCD，顶点C(4,4)，A点在曲线
A B

22
x＋y＝2 (x>0,y>0)上移动，且AB、AD
O x
始终平行x轴、y轴，求矩形ABCD的最小面
积。








不等式sinx＋2mcosx＋4m－1<0恒成立。
2