高中数学四种思想

高中数学四大数学思想高中数学学习 2009-08-28 20:36:50 阅读137 评论0 字号：大中小
数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位 ，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式
的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、 几何问题相互转化，使抽象思维和
形象思维有机结合. 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条 件和结论之间的内在联
系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻 找解题思
路，使问题得到解决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一 些概念和运算的几何意义及常见
曲线的代数特征.

应用数形结合的思想，应注意以 下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图；（2）函数及其
图象；（3）数 列通项及求和公式的函数特征及函数图象；（4）方程（多指二元方程）及方程
的曲线.
< br>以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于
解析几 何方法.

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.

分类讨论思想

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 分类讨论
题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的
逻辑性及很强 的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、
做到“确定对象的全体，明 确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.

应用分类讨论思想方法解决数学问 题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，确
保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解题时需要我们首先明确讨论对
象和需要分类的全体，然后确定分 类标准与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.

常见的分类情形有：按数分类； 按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的
位置特征分类

等. 分类讨论思想方法可以渗透到高中数学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、
求解，要特别注意 分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.

函数与方程思想

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应 用
技巧多. 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初
等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参
数的取值 范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解
决.

运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：

（1）深刻理解函数 f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练 掌握基
本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.

（2）密切注意三个“ 二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一
元二次不等 式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本
性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.

转化与化归思想

化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式， 借助某种函数性质、图象、
公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题
由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为 一类
已经解决或比较容易解决的问题. 转 化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解 题过程的各个环节中. 转化有等
价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题与原问题实质是一样的. 不等价转 化则部分
地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正.

应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常
见的转化有： 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间
与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.





也有更详细的分法，比如：

数学思想

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中， 经过思
维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学
思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含
有传统数学 思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想
的培养，数学的能力能才 会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

函数思想
把 某一数学问题用函数表示出来，并且利用函数探究这个问题的一般规律。这是最基本、
最常用的数学方法 。

数形结合思想
“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合” 可使所要研究的问题化难为易，
化繁为简。把代数和几何相结合，例如对几何问题用代数方法解答，对代 数问题用几何方法

解答，这种方法在解析几何里最常用。例如求根号（(a-1)^2+ (b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+
根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^ 2+b^2)的最小值，就可以把它放在坐标系中，把它转化成一个点
到(0,1)、(1,0)、(0 ,0)、(1,1)四点的距离，就可以求出它的最小值。

分类讨论思想
当 一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各
种情况进行分类讨论 。比如解不等式|a-1|>4的时候，就要讨论a的取值情况。

方程思想
当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决
这个问题。例如证 明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特
征， 善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行
有目的的、有意识 的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解
证等方面都有广泛的应用，整 体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几
何中的补形等都是整体思想方法在解数学问 题中的具体运用。

转化思想
在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归 纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。
三角函数，几何变换，因式分解，解析几何，微积分，乃至古代 数学的尺规作等数学理论无
不渗透着转化的思想。常见的转化方式有：一般 特殊转化，等价转化，复杂 简单转化，数
形转化，构造转化，联想转化，类比转化等。

隐含条件思想
没有明文表述出来，但是根据已有的明文表述可以推断出来的条件，或者是没有明文表
述， 但是该条件是一个常规或者真理。

类比思想
把两个（或两类）不同的数学对 象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之
处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类 似之处。

建模思想
为了描述一个实际现象更具科学性，逻辑性，客观性和可 重复性，人们采用一种普遍认
为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述 的事物就称为数
学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际 物
体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。

化归思想
化归思想就是化未知为已知,化繁为简,化难为易.如将分式方程化为整式方程,将代数问
题化为几何问题,将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有:待定系数法,配
方法,整 体代人法以及化动为静,由抽象到具体等转化思想

归纳推理思想
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,
或者由个别事实 概括出一般结论的推理称为归纳推理(简称归纳),简言之,归纳推理是由部分
到整体,由个别到一般的 推理