高中数学四大数学思想

高中数学四大数学思想
1.数形结合思想
数形结合思想在高考中 占有非常重要的地位，其“数”与“形”
结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相
结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维
有机结合. 应用数形结合思想 ，就是充分考查数学问题的条件和
结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将
数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解
决. 运用这一数学思想，要熟练掌握一 些概念和运算的几何意
义及常见曲线的代数特征.应用数形结合的思 想，应注意以下数
与形的转化：
（1）集合的运算及韦恩图；
（2）函数及其图象；
（3）数 列通项及求和公式的函数特征及函数图象；
（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.
以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象； 借助单位圆；
借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用有：
借助于几何轨迹所 遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理
的结合.
2.分类讨论思想
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同
的情况予以分析解决. 分类讨论 题覆盖知识点较多，利于考查学
生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑
性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类
的原则、方法与技巧、做到“确定对象的 全体，明确分类的标准，
分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”.应用分类讨论思想方法解
决数 学问题的关键是如何正确分类，即正确选择一个分类标准，
确保分类的科学，既不重复，又不遗漏. 如何实施正确分类，解
题时需要我们首先明确讨论对象和需要分类的全体，然后确定分
类标准 与分类方法，再逐项进行讨论，最后进行归纳小结.常见
的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分 类；按事件的可
能情况分类；按图形的位置特征分类等. 分类讨论思想方法可以
渗透到高中数 学的各个章节，它依据一定的标准，对问题分类、
求解，要特别注意 分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.

3.函数与方程思想
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重
较大，综合知识多、题型多、应 用技巧多. 函数思想简单，即
将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初
等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)
不等式、解方程以及讨论参数的取值 范围等问题；方程思想即将
问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.运用
函数 与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联
系和转化，应做到：
（1）深刻理解函数 f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、
最值和图象变换），熟练掌 握基本初等函数的性质，这是应用函
数思想解题的基础.
（2）密切注意三个“二次”的相关 问题，三个“二次”即一元二
次函数、一元二次方程、一元二次不等 式是中学数学的重要内
容，具有丰富的内涵和密切的联系. 掌握二次函数基本性质，二
次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.
4.转化与化归思想
化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某
种方式 ，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通
过变换加以转化，进而达到解决问题的思想. 转化是将数学命题
由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通
过某种转化过 程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.
转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，堪 称数学思想的
精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解 题过程的各个
环节中. 转化有等价转化与不等价转化. 等价转化后的新问题
与原问题实质是一样的. 不等价转 化则部分地改变了原对象的
实质，需对所得结论进行必要的修正.
应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、
化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有： 正与反的转化、
数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与
平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学
语言的转化.