高中数学基本知识基本思想基本方法 新课标 人教版

高中数学基本知识基本思想基本方法
一、集合与简易逻辑
1.必须弄清集合 的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变
量的取值？还是曲线上的点？… ；
2 .数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直
角坐标系或韦恩图等工具，将抽象 的代数问题具体化、形象化、直观
化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3.一个语句是否 为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都
是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；
4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命
题 ，逆命题与其否命题是等价命题 ，一真俱真，一假俱假，当一个
命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
5. 判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含
关系判断，若
A?B< br>，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若
A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即 利用等价关系
对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，
A?B?B?A
判断，
一般运用等价法；
6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2
n
,真子集 （非空子集）个数为
2
n
－1；
（2）
A?B?A?B?A?A?B?B;

（3）
C
I
(A?B)?C
I
A?C
I
B,C
I
(A?B)? C
I
A?C
I
B;

二、函数: 研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
1.复合函数的有关问题
（1）复合函数定 义域求法：若已知f(x)的定义域为［a，b］,其复合函
数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g (x)≤b解出即可；若已知f[g(x)]的定义
域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即 f(x)
的定义域）；
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；
2.函数的奇偶性
（1）若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(－x)=
f(x)
;
（2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；

（3）判断函数奇偶 性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或
f(?x)
??
（
1< br>f(x)
f(x)
≠0）;
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；
（5）奇函数在对称的单调区间内 有相同的单调性；偶函数在对称的单
调区间内有相反的单调性；
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关 于对称中心（对称
轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明图像C
1
与C2
的对称性，即证明C
1
上任意点关于对称中心（对
称轴）的对称点仍在 C
2
上，反之亦然；
（3）曲线C
1
：f(x,y)=0,关于y =x+a(y=－x+a)的对称曲线C
2
的方程为f(y
－a,x+a)=0(或f (－y+a,－x+a)=0);
（4）曲线C
1
:f(x,y)=0关于点（a, b）的对称曲线C
2
方程为：f(2a－x,2b
－y)=0;
（5）若函 数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a－x)恒成立，则y=f(x)图像
关于直线x=a 对称；
（6）函数y=f(x－a)与y=f(b－x)的图像关于直线x=
a?b
对称；
2
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x－a) 或f(x－2a )=f(x) (a>0)恒成立,则
y=f(x)是周期为2a的周期函数；
（2）若y=f(x)是偶函 数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期
为2︱a︱的周期函数；
（3）若y= f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为
4︱a︱的周期函数；
（4）若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2
a?b
的周 期函
数；
（5）y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f (x)是周期
为2
a?b
的周期函数；
（6）y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)=
?
1
，则y=f(x)是
f(x)
周期为2
a
的周期函数；
5.方程k=f(x)有解
?
k∈D(D为f(x)的值域)；

6.a≥f(x)
?
a≥［f(x)］
max,
; a≤f(x)
?
a≤［f(x)］
min
;
7.（1）
log
a
b?log
a
n
b
n
(a>0,a≠1,b>0,n∈R
+
);
(2) l og
a
N=
log
b
N
( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
log
b
a
(3) l og
a
b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4) a
log a N
= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
9.判断对应是否为 映射时，抓住两点：（1）A中元素必须都有象且唯一；
（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同 元素在B中可以有相同
的象；
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单 调函数必有
反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集
的偶函数不 存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数
的两个函数具有相同的单调性；(5) y=f(x)与y=f
-1
(x)互为反函数，设f(x)
的定义域为A，值域为B， 则有f[f
-1
(x)]=x(x∈B),f
-1
[f(x)]=x(x∈A ).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，
求最值问题用 “两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相
对位置关系；
12.恒成立问题的处 理方法：（1）分离参数法；（2）转化为一元二次方
程的根的分布列不等式(组)求解；
1 3.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的
?
f(a)?0
?
f(a)?0
f(u)?g(x)u?h(x)?0(或?0）(a?u?b)?(或
?
)
； 范围问题：
?
?
f(b)?0
?
f(b )?0
14.掌握函数
y?
函

数
定
义
域
值
域
ax?bb?acc
?a?(b?ac?0);y?x?(c?0)
的图象和性质；
x?cx?cx
ax?bb?aca
y??a?y?x?(a?0
）
x?cx?cx
(b – ac≠0)

(??,?c)?(c,??)

(??,a)?(a,??)

(??,0)?(0,??)

(??,?2a]?[2a,??)

奇
偶
性


单

调

性

非奇非偶函数
当b-ac>0时:
分别在
(??,?c),(c,??)
上单调

奇函数
在
(??,?a],[a,??)
上
单调递增；
在
[?a,0),(0,a]
上单调
递增；
递减；
当b-ac<0时:
分别在
(??,?c),(c,??)
上单调


图


象

三、数列
递增；


Y=a
y

y
o
X=-c
o
X
x
1.由S
n
求a
n
，
a
n
={
S
1
(n?1)
S
n
?Sn?1
(n?2,n?N)
*
注意验证a
1
是否包含在后面a
n

的公式中，若不符合要单独列出 。一般已知条件中含a
n
与S
n
的关系的
数列题均可考虑用上述公式 ；
2.等差数列
｛a
n
｝?a
n
?a
n?1< br>?d(d为常数）?2a
n
?a
n?1
?a
n?1
( n?2,n?N*)

?a
n
?an?b?s
n
?An< br>2
?Bn
；
3.等比数列
｛a
n
}?a
n
?a
n-1
?a
n?1
(n?2,n?N)?a
n
?a
1
?q
n-1
;

4.首项为正（或为负）的递减（ 或递增）的等差数列前n项和的最大（或
a
n
?0
?
?
a< br>n
?0
?
解决； 最小）问题，转化为解不等式
?
?
或
?
?
?
??
?
a
n?1
?0
?
?
a
n?1
?0
?
2

5.熟记等差 、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数
列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
6.等差数列中, a
m
=a
n
+ (n－m)d,
q=
n?m
a
n
a
m
d?
a
m
?a< br>n
m?n
; 等比数列中，a
n
=a
m
q
n-m
;
;
7.当m+n=p+q（m、n、p、q∈N
＊
）时，对等差数列｛a
n
｝ 有：a
m
+a
n
=a
p
+a
q
；
对等比数列｛a
n
｝有：a
m
a
n
=a
p
a
q
；
8.若{a
n
}、{b
n
}是等差数列， 则{ka
n
+bb
n
}(k、b、a是非零常数)是等差数
列；若{ a
n
}、{b
n
}是等比数列，则｛ka
n
｝、{a
n
b
n
}等也是等比数列；
9.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续 等长片断和序列”（如
a
1
+a
2
+a
3
,a4
+a
5
+a
6
,a
7
+a
8
+a
9
…）仍是等差（或等比）数列；
10.对等差数列｛a
n
｝,当项数为2n时，S
偶
—S
奇
＝nd；项数为2n－1时，
S< br>奇
－S
偶
＝a
中
（n∈N*）；
11.若一阶线性 递归数列a
n
=ka
n
－
1
+b（k≠0,k≠1）,则总 可以将其改写变形
成如下形式:
a
n
?
b
?k(a
n?1
?
b
)
(n≥2)，于是可依据等比数列的定义
k?1k?1
求出其通项公式；
四、三角函数
1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；
2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性
质；
4.熟 知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形
内的三角函数问题勿忘三内角和等于1 80
0
，一般用正余弦定理实施边
角互化；
5.正弦型函数
y?A sin(
?
x?
?
)
的对称轴为
x?
中心为
(
k
?
?
?
2
?
?
?
对称(k?Z)
；
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；类 似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；
?
2S
?ABC
a?b?c
6.（1）正弦平方差公式：sin
2
A－sin
2
B=sin(A+B) sin(A－B);（2）三角
形的内切圆半径r=；（3）三角形的外接圆直径
abc
??;
2R=
sinAsinBsinC

五、平面向量
1.两个向量平行的充要条件,设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),
?
为实数。（1）向量
式：a∥b(b≠0)< br>?
a=
?
b;（2）坐标式：a∥b(b≠0)
?
x
1
y
2
－x
2
y
1
=0;
2.两个向量垂直的充要条件, 设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
), （1）向量式：a⊥
b(b≠0)
?
a
?
b=0; （2）坐标式： a⊥b
?
x
1
x
2
+y
1
y
2< br>=0;
3.设a=(x
1
,y
1
),b=(x
2< br>,y
2
),则a
?
b=
abcos
?
=x< br>1
x
2
+y
1
y
2
;其几何意义是a
?
b
等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；
4.设A（x
1,x
2
）、B(x
2
,y
2
)，则S
⊿
AOB
＝
1
x
1
y
2
?x
2
y
1
；
2
5.平面向量数量积的坐标表示：
（1）若a=(x1
,y
1
),b=(x
2
,y
2
),则
a
?
b=x
1
x
2
+y
1
y
2
;
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
;
?
（2）若a=(x,y), 则a
2
=a
?
a=x
2
+y
2
,
a?x
2
?y
2
;
六、不等式
1.掌握不等式性质，注意使用条件；
2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式 、简单的指数、对
数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；
勿忘数轴 标根法，零点分区间法；
3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥
2ab
(a>0,b>0)时要
符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如
a
2
?b
2
a?b
2
a?b
2
?();ab?()
；
222
七、直线和圆的方程
1.设三角形的三个顶点是A（x
1
,y
1
）、B(x
2
,y
2
)、C（x
3
,y
3
）,则⊿ABC的
重心G为（
x
1
?x< br>2
?x
3
,
y
1
?y
2
?y
3
）；
33
2.直线l
1
:A
1
x+B
1
y+C
1
=0与l
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
=0垂直的充要条件是
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0；
3.两条平行线Ax+By+C
1
=0与 Ax+By+C
2
=0的 距离是
d?
C
1
?C
2
；
22
A?B< br>
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件 ：A=C≠0且B=0且
D
2
+E
2
－4AF>0；
5. 过圆x
2
+y
2
=r
2
上的点M(x
0
, y
0
)的切线方程为：x
0
x+y
0
y=r
2;

6.以A(x
1
，y
2
)、B(x
2
,y
2
)为直径的圆的方程是(x－x
1
)(x－x
2< br>)+(y－y
1
)(y
－y
2
)=0;
7.求解线 性规划问题的步骤是：（1）根据实际问题的约束条件列出不等
式；（2）作出可行域，写出目标函数； （3）确定目标函数的最优位置，
从而获得最优解；
八、圆锥曲线方程
22
1.椭圆焦半径公式：设P（x
0
,y
0
）为椭圆
x
2< br>?
y
2
?1
（a>b>0）上任一点，
ab
焦点为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),则
PF
；
1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
（e为离心率 ）
2
2
2.双曲线焦半径公式：设P（x
0
,y
0
）为双曲线
x
2
?
y
2
?1
（a>0,b>0）上
ab
任一点，焦点为F
1
(-c,0),F
2
(c,0), 则:
（1）当P点在右支上时，
PF
1
?a?ex
0
,P F
2
??a?ex
0
；
（2）当P点在左支上时，
PF
（e为离心率）；
1
??a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
；
22
22另：双曲线
x
2
?
y
2
?1
（a>0,b>0 ）的渐进线方程为
x
2
?
y
2
?0
；
a bab
3.抛物线焦半径公式：设P（x
0
,y
0
）为抛物线y2
=2px(p>0)上任意一点，
p
F为焦点，则
PF?x
0
?
；y
2
=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，则
2
p
PF??x
0
?
；
2
4.涉及圆锥曲线的问题勿忘用定义解题；
2
2
5.共渐进线< br>y??
b
x
的双曲线标准方程为
x
2
?
y< br>2
?
?
(
?
为参数，
?
≠0）；
a
ab
6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，
一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B
两点分别为A(x
1
，y
1
)、B(x
2
,y
2
)，则弦长
AB?1?k
2
?x
2
?x
1
?(1?k
2)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x< br>2
]

?1?
1
?y
2
?y
1?
k
2
(1?
1
)?[(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]
,这里体现了解析几 何
2
k
2
“设而不求”的解题思想；
7.椭圆、双曲线的通径（最 短弦）为
2b
，焦准距为p=
b
，抛物线的
a
2
c

2
2
y
x
通径为2p，焦准距为p; 双曲线
2
?
2
?1
（a>0，b>0）的焦点到渐进
ab
线的距 离为b;
8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax
2
+Bx
2
＝1；
9.抛物线y
2
=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的 弦）为AB，A（x
1
,y
1
）、B(x
2
,y
2
),
2
则有如下结论：（1）
AB
＝x
1
+x2
+p;（2）y
1
y
2
=－p
2
，x
1
x
2
=
p
;
4
22
xy
1 0.过椭圆
2
?
2
?1
（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则< br>ab
AB?2a?e(x
1
?x
2
)
，过右焦点的弦
AB?2a?e(x
1
?x
2
)
；
2
y
0
11.对于y=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y
0
）, 以简化计
2p
2
算;
12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代 点相减法，设A(x
1
，
22
xy
y
1
)、B(x
2
,y
2
)为椭圆
2
?
2
?1
（ a>b>0）上不同的两点，M(x
0
,y
0
)是AB
ab
2
2
2
的中点，则K
AB
K
OM
=
?b
2
；对于双曲线
x
2
?
y
2
?1< br>（a>0，b>0），类似
a
ab
b
2
可得：K
AB
.K
OM
=
2
；对于y
2
=2px(p≠0)抛物 线有K
AB
＝
2p

y
1
?y
2
a
13.求轨迹的常用方法：
（1） 直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求
轨迹的最基本的方法；
（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，
可先根据条件列出所求曲线的方 程，再由条件确定其待定系数，代回
所列的方程即可；
（3）代入法（相关点法或转移法）： 若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x
1
,y
1
)
的变化而变化 ，并且Q(x
1
,y
1
)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代
数 式表示x
1
、y
1
，再将x
1
、y
1
带入 已知曲线得要求的轨迹方程；
（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可< br>由曲线的定义直接写出方程；
（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到 ，也没有
相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参
数方程，再消去 参数得普通方程。

九、直线、平面、简单几何体
1.从一点O出发的三条射 线OA、OB、OC，若∠AOB=∠AOC，则点
A在平面∠BOC上的射影在∠BOC的平分线上；
2. 已知:直二面角M－AB－N中，AE
?
M，BF
?
N ,∠EAB=
?
1
,∠
ABF=
?
2
，异面直线A E与BF所成的角为
?
，则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
;

3.立平斜公式：如图，AB和平面所成的 角是
?
1
，AC在平面内，AC和
AB的射影AB成
?
2< br>，设∠BAC=
?
3
,则cos
?
1
cos
?
2
=cos
?
3
；
4.异面直线所成角的求法：
（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的
平行线；
（2 ）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平
行六面体、长方体等，其目的在于容易 发现两条异面直线间的关系；
5.直线与平面所成的角
斜线和平面所成的是一个直角三角形 的锐角，它的三条边分别是平
面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个
特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
6.二面角的求法
（1）定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半
平面内作棱的垂线，得出平面角， 用定义法时，要认真观察图形的特
性；
（2）三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个 面的垂线，用三
垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
（3）垂面法：已知二面角内一点到 两个面的垂线时，过两垂线作平面
与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面< br>角所在的平面与棱垂直；
（4）射影法：利用面积射影公式S
射
＝S
原
cos
?
,其中
?
为平面角的大小，
此方法不必在图形中 画出平面角；
特别:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相
交出现棱， 然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
7.空间距离的求法
（1）两异面直线间的距 离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用
垂直作出公垂线，然后再进行计算；
（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；
（3）求点到平面的距离，一 是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，

因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公 垂线，转化为求三棱
锥的高，利用等体积法列方程求解；
8.正棱锥的各侧面与底面所成的角 相等，记为
?
，则S
侧
cos
?
=S
底
；
9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为
?
,
?< br>,
?
,
因此有cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三
侧 面所成的角分别为
?
,
?
,
?
,
则有cos
2
?
+cos
2
?
+cos
2
?
=2;
10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；
11.欧拉公式：如果简单多面体 的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F
－E=2；并且棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝ 各面边数和的一半；
12.球的体积公式V=
?
R
3
，表面积公式
S?4
?
R
2
；掌握球面上两点A、
B间的距离求法：（1 ）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的
弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；
十、排列组合和概率
1.排列数公式:
A
n
m
=n(n- 1)(n-2)…(n-m＋1)=
(n?m)!
(m≤n,m、n∈N*),当
m= n时为全排列
A
n
n
=n(n-1)(n-2)…3.2.1;
m
0n
A
n
n?(n?1)???(n?m?1)
（m≤n）
?C
n
?1
；2.组合数公式：,
C
n

C??< br>m!m?(m?1)?(m?2)???3?2?1
m
n
4
3
n!
mn?mrr?1r
3.组合数性质：
C
n
?C
n;C
n
?C
n
?C
n?1
；
4.常用性质： n.n!=(n+1)!-n!;即
rrrr?1
nn?1n
nA
n
?A
n?1
?A
n
;
C
r
?C
r?1?????C
n
?C
r?1
;
（1≤r≤n）;
5. 二项式定理：（1）掌握二项展开式的通项：
rn?rr
T
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2,...,n);

（2）注意第r＋1项二项式系数与第r＋1系数的区别；
6.二项式系数具有下列性质：
(1) 与首末两端等距离的二项式系数相等；
n
(2) 若n为偶数，中间一项（ 第＋1项）的二项式系数最大；若n为
2
n?1n?1
奇数，中间两项（第和＋1项） 的二项式系数最大；
22

012n0213
?C
n
?C
n
?????C
n
?2
n
;C
n
?C
n
?????C
n
?C
n
?????2
n?1;
（3）
C
n
7.F(x)=(ax+b)
n
展开式 的各项系数和为f(1);奇数项系数和为
11
[f(1)?f(?1)]
；偶数项的 系数和为
[f(1)?f(?1)]
；
22
8.等可能事件的概率公式：（ 1）P（A）＝
n
；（2）互斥事件分别发生
m
的概率公式为：P(A+B) =P(A)+P(B)；（3）相互独立事件同时发生的概
率公式为P(AB)＝P(A)P(B)；（ 4）独立重复试验概率公式
k
?p
k
(1?p)
n?k
;< br>(5)如果事件A、B互斥，那么事件A与
B
、
A
Pn(k)=
C
n
与
B
及事件
A
与
B
也都是互斥事件 ；（6）如果事件A、B相互独立，
那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P (A)P(B)；
（6）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概
率是1 －P（
A
?
B
）＝1－P(
A
)P(
B
) ；
理科选修内容基本知识
十、概率与统计
1.理解随机变量，离散型随机变量的 定义，能够写出离散型随机变量的
分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述
两个性质：（1）p
i
≥0,i=1,2,…; (2) p
1
+p
2
+…=1;
k
p
k
q
n?k
,
2.二项分布：记作
?
～B（n,p）,其中n,p为参数，P(
?
?k)?C
n
k
p
k
q
n?k
?b(k;n,p)
； 并记
C
n
3.记住以下重要公式和结论：

x
1
X
2

?

P P
1
P
2

…
…
x
n

Pn
…
…
（1）期望值E
?
＝ x
1
p
1
+ x
2
p
2
+ … + x
n
p
n
+ …
（2）方差D
?
＝(x
1
?E
?
)
2
p
1
?(x
2
?E
?
)
2
p
2
?????(x
n< br>?E
?
)
2
p
n
????

（ 3）标准差
??
?D
?
;E(a
?
?b)?aE
?
?b;D(a
?
?b)?a
2
D
?
；

（4）若
?
～B（n,p）,则E
?
＝np, D
?
＝npq,这里q=1- p;
4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样 （包括抽签法和随机数表法）；
（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由
差异明显的几部分组成的情形；
5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一 个基本思想
方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率
分布表和频率分 布直方图；
6.正态总体的概率密度函数：
f(x)?
分别表示总体的平均数与标准差；
7.正态曲线的性质：（1）曲线在x＝
?
时处于最高点，由这一点向左、
向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲
线的形状由确定，越大，曲线越矮 胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线
在x轴上方，并且关于直线x=
?
对称； 8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布
N(
?
,
?< br>2
)
的
概率 P（x
1
<
?
2
）,可由变换
（x
1
<
?
2
）＝?
(
x
2
?
?
)?
?
(
1< br>2
??
(x?
?
)
2
e
2
?
2
,x?R,
式中
?
,
?
是参数，
x?
?
?
?
?t
而得
F(x)?
?
(
)
；
x?
?
?
)
，于是有P
x
1
??
?
9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从正态分
布
N(
?
,
?
2
)
；（2）确定一次试验中的取值a 是否落入范围
(
?
?3
?
,
?
?3
?)
；（3）作出推断：如果a∈
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
，接受统计
假设；如果a
?
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
,由于这是小概率 事件，就拒绝假设；
十一、极限
1.与自然数有关的命题常用数学归纳法证明，其步骤是： （1）验证命题
对于第一个自然数n＝n
0
(k≥n
0
)时成立； (2)假设n=k时成立，从而证
明当n=k+1时命题也成立，（3）得出结论。数学归纳法是一种完 全归
纳法，其中两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是
递推的依据，二者缺一 不可。第二步证明时要一凑假设，二凑结论；

2. 数列极限（1）掌握数列极限的直 观描述性定义；（2）掌握数列极限
的四则运算法则，注意其适用条件：一是数列｛a
n
｝{b
n
}的极限都存在；
二是仅适用于有限个数列的和、差、积、商，对于无限个 数列的和（或
积），应先求和（或积），再求极限；（3）常用的几个数列极限：
limC?C
n??
（C为常数）；
lim
n??
1
q
n
?0
，
lim
n??
n
?0
（
a
<1, q为常数）; (4)无穷递缩
等比数列各项和公式
S?limS
n
?
n??
a
1
（0<
1?q
q?1
）;
3.函数的极限：
（1）当x趋向于无穷大时，函数的极限为a
?limf(x)?limf(x)?a

n???n???
（2）当
x?x
0
时函数的极限为a
?l im
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
:
x?x
0
x?x
0
（3）掌握函数极限的四则运算法则；
4.函数的连续性：（1）如果对函数f(x)在点x=x
0
处及其附近有定义，而
且 还有
limf(x)?f(x
0
)
，就说函数f(x)在点x
0处连续；（2）若f(x)与
x?x
0
g(x)都在点x
0
处连 续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),
f(x)
(g(x)≠0)也在点x
0
处
g(x)
连续；（3）若u(x)在点x
0
处连续，且f(u) 在u
0
=u(x
0
)处连续，则复合函
数f[u(x)]在点x0
处也连续；
5.初等函数的连续性：①指数函数、对数函数、三角函数等都属于基初< br>等函数,基本初等函数在定义域内每一点处都连续;②基本初等函数及常
数函数经有限次四则运算 和复合后所得到的函数,都是初等函数.初等函
数在定义域内每一点处都连续;③连续函数的极限运算: 如果函数在点x
0
处有极限，那么
limf(x)?f(x
0
)；
x?x
0
十二、导数
1.导数的定义：f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x< br>0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?x
2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：
（1）求函数的增量
（2）
?y?f(x??x)?f(x);
(2)求平 均变化率
?y
?
f(x??x)?f(x)
;
?x ?x

（3）取极限,得导数
f
?
(x)?lim
?y
;
?x?0
?x
3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0
处可导，那么函数y=f(x)
在点x
0
处连续；但是y=f(x)在 点x
0
处连续却不一定可导；
4.导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x< br>0
,f(x
0
)）处的切线的斜率
是
f
?
( x
0
).
相应地，切线方程是
y?y
0
?f
?(x
0
)(x?x
0
);

5.导数的四则运算法则：
(u?v)
?
?u
?
?v
?
;(uv)
?
?u
?
v?uv
?
;()
?
?
6.常见函 数的导数公
式:
C
?
?0(C为常数);(x
m
)
?
?mx
m-1
(m?Q);(sinx)
?
?cosx;

(cosx)
?
?-sinx;(e
x
)
?
?e< br>x
;(a
x
)?a
x
lna;(lnx)
?
?
??
7.复合函数的导数：
y
?
x
?y
u
?u
x
;

u
v
u
?
v?uv
?
;

2
v
11
x

;(log
a
)
?
?log
e
a
;
xx
8.导数的应用：
（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可
导，如果
f< br>?
(x)?0,
那么f(x)为增函数；如果
f
?
(x)?0 ,
那么f(x)为减函
数；如果在某个区间内恒有
f
?
(x)?0,
那么f(x)为常数；
（2）求可导函数极值的步骤：①求导数
f
?
(x)
；②求方程
f
?
(x)?0
的
根；③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
根的左右的符号 ，如果左正右负，那
么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)
在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a ,b)内的极值；
②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。
十四、复数
1.理解复数、实数、虚数、纯虚数、模 、辐角、辐角主值、共轭复数的
概念和复数的几何表示；
2.熟练掌握、灵活运用以下结论： (1)a+bi=c+di
?
a=c且c=d(a,b,c,d∈
R);(2)复数是 实数的条件：①z=a+bi∈R
?
b=0 (a,b∈R);②z∈R
?
z =
z
;
③z∈R
?
z
2
≥0;
3.复数是纯虚数的条件: ①z=a+bi是纯虚数
?
a=0且b≠0(a,b∈R); ②

z是 纯虚数
?
z＋
z
＝0（z≠0）;③z是纯虚数
?
z
2
<0;
4.解答复数问题，要学会从整体的角度出发去分析和求解（整体思想贯
穿整个复数内容）。如果遇到复数就设z=a+bi(a,b∈R),则有时会给问题
的解答带来不必要 的运算上困难，若能把握住复数的整体性质，充分
运用整体思想，则能事半功倍；
5.复数的 代数形式及其运算：（1）复数的加、减、乘、除运算按以下法
则进行，设z
1
= a + bi , z
2
= c + di (a,b,c,d∈R) z
1
± z
2
= (a + b) ± (c +
d)i. z
1
.z
2
= (a+bi)·
?bdbc?ad
(z≠0) (c+di)＝（ac-bd）+ (ad+bc)I z
1
÷z
2
=
ac
2
?
2
i
222
c?d
2
c?d
6.几个重要的结论：
(1)z1
?z
2
?z
1
?z
2
?2(z
1< br>?z
2
);(2)z?z?z?z;(3)若z为虚数，则z?z
2
;

222222
6.运算律仍然成立：（1）
z
m
?zn
?z
m?n
;(2)(z
m
)
n
?z
mn
;(3)(z
1
?z
2
)
m
?z
1
z
2
(m,n?N);

mm
7.进行复数的运算时，常要 注意
i,
?
的性质,
或适当变形创造条件，从而
转化为关于
i,
?
的
计算问题.注意以下结论的灵活应用：
?
1
?(1?i)
2
??2i;
?
2
?
1?i
?i;
1?i
??i;

1?i1?i
(3)
?
n
?
?
n?1
?
?
n?2
?0(n?N);(4) i
n
?i
n?1
?i
n?2
?i
n?3
? 0(n?N);

1
；
z
文科选修内容基本知识
十、抽样方法、总体分布的估计与总体的期望和方差
1.掌握抽样的二种方法：（1）简单随 机抽样（包括抽签符和随机数表法）；
（2）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形 ；
2.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想
方法，一般地，样 本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率
分布表和频率分布直方图；
3.总体特征数 的估计：（1）学会用样本平均数
8.
z?1?zz?1?z?
11
n
x?(x
1
?x
2
?????x
n
)?
?
x
i
nn
i?1
S
2
?
去估计总体平均数；（2 ）学会用样本方差
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2< br>?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
< br>n

?
2
1
n
1
n
222去估计总体方差
?
及总体标准差；（2）学会
(x?x)?(x?nx)
??
ii
n
i?1
n
i?1
用修正的样本方差
S< br>*
2
?
1
[(x
1
?x)
2
?(x
2
?x)
2
?????(x
n
?x)
2
]
去估计
n?1
总体方差
?
2
，会用
S*
去 估计
?
；
十一、导数及应用
1.导数的定义：f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x< br>0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；
?x
2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：
（1）求函数的增量
?y?f(x??x)?f(x);

(2)求平均变化率
?y
?
f(x??x)?f(x)
;
?x?x
(3)取极限,得导数
f
?
(x)?lim
?y
;
?x?0
?x
3.导数的几何意义：曲线y＝f（x） 在点P（x
0
,f(x
0
)）处的切线的斜率
是
f
?
(x
0< br>).
相应地，切线方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
);

4.常见函数的导数公式：
C?
?0(C为常数);(x
m
)
?
?mx
m-1
(m?Q);

5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在
某个区间内可导，如果
f
?
(x)?0,
那么f(x)为增函数；如 果
f
?
(x)?0,
那
么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有
f
?
(x)?0,
那么f(x)为常数；
（2）求可导函数极值的 步骤：①求导数
f
?
(x)
；②求方程
f
?
(x) ?0
的根；
③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
根的左右的符号，如果左正右负，那么函
数y=f(x)在这个根处取得最 大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这
个根处取得最小值；
（3）求可导函数最大 值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；
②将y=f(x)在各极值点的极值与f （a）、f（b）比较，其中最大的一个
为最大值，最小的一个是最小值。
中学数学重要数学思想
一、 函数方程思想

函数方程思想就是用函 数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关
系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思 想。
1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，
并研究这些 量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；
2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数 关系是一关键步骤，大体可分为
下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化 为
相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；
（3）方程思想 ：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量
的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程 组），通过解方程（或方程组）
求出它们，这就是方程思想；
3.函数与方程是两个有着密切 联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方
程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也 需要用方程的
方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。
二、 数形结合思想
数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，
有时可 研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研
究的几何问题，可借助于对应图形的 数量关系使问题得以解决（以数助形），
这种解决问题的方法称之为数形结合。
1.数形结合 与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思
路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬 长避短。
2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形
式的科 学”。这就是说：数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不
是数和形的和谐的统一。因此，数学 学习中突出数形结合思想正是充分把
握住了数学的精髓和灵魂。
3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几
何图形的性质。
4.华罗庚先生曾指出：“数缺性时少直观，形少数时难入微；数形结合百般
好，隔裂分家万事 非。”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两
种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属 性,或者借助于形的几何直
观性来阐明数之间的某种关系.
5.把数作为手段的数形结合主要 体现在解析几何中，历年高考的解答题都有
关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）。而以形 为手段的数形
结合在高考客观题中体现。
6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领：
(1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可；
(2) 对 于研究函数、方程或不等式（最值）的问题，可通过函数的图象求解
（函数的零点，顶点是关键点），作 好知识的迁移与综合运用；
(3) 对于以下类型的问题需要注意：

y?a< br>;(3)Ax?By;
(4)F(cos
?
,sin
?
);( 5)a
2
?ab?b
2
;
x?b
可分别通过构造距离函数、 斜率函数、截距函数、单位圆x
2
+y
2
=1上的点
(1)(x?a )
2
?(y?b)
2
;(2)
(cos
?
,sin
?
)
及余弦定理进行转化达到解题目的。
三、 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，
就需要对研究的对象进行 分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结
果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的
原因大致可归纳为如下几种 ：
（1）涉及的数学概念是分类讨论的；
（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；
（3）求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性；
（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；
（5）较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。
2.分类讨论是 一种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准
可以有不同的分类方法，但分类必须从同一 标准出发，做到不重复，不遗
漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。
四、 化归与转化思想
所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问
题通 过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题
通过变化转化为简单的问题，将难解 问题通过变换转化为容易求解的问题，
将未解决的问题转化为已解决的问题。
立体几何中常用的转化手段有
1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集 在一个平面
内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化；
2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化为平面问题，化未
知为已知的目的；
3.等积与割补；
4.类比和联想；
5.曲与直的转化；
6.体积比，面积比，长度比的转化；
7.解析几何本身的创建过程就是“数”与“形”之间 互相转化的过程。解析
几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何
融合为一体。
中学数学常用解题方法
1. 配方法

配方法是指将 一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基
本形式是：ax
2
+bx+c=
a(x?
b
)
2
?
4ac?b
(a?0)
.高考中常见的基本配方
2
2a4a
形式有：
（1） a
2
+b
2
= (a + b)
2
- 2a b = (a -b)
2
+ 2 ab;
（2） （2） a
2
+ b
2
+ ab =
(a?
1
b)
2
?(
3
b)
2
;
22
（3） （3）a
2
+ b
2
+c
2
= (a＋b + c)
2
- 2 ab – 2 a c – 2 bc;
（4） (4) a
2
+ b
2
+ c
2
- a b – bc – a c =
（5）
x
2
?
11
2
?(x?)?2
;
x
2
x
1
[ ( a - b)
2
+ (b - c)
2
+ (a - c)
2
];
2
配方法主要 适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，
求解与证明及二次曲线的讨论。
2.待定系数法
㈠ 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系< br>数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是：
（1）多项式f(x)=g(x)的充要条件是：对于任意一个值a，都有f（a）＝g(a);
（2）多项式f(x) ≡g(x)的充要条件是：两个多项式各同类项的系数对应相
等；
㈡ 运用待定系数法的步骤是：
（1）确定所给问题含待定系数的解析式（或曲线方程等）；
（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；
（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决；
㈢ 待定系数法主要适用于：求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。
3.换元法
换元法 是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量（或代数
式），对新的变量求出结果之后，返回去求原 变量的结果。换元法通过引入
新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条< br>件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中
数学中换元法主要有以下 两类：
（1）整体换元：以“元”换“式”； （2）三角换元 ，以“式”换
“元”；
（3）此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等；换元法应用比较 广泛。
如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，
另外在解析几 何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束
条件和整体置换的策略。
4.向量法

向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识：
（1）向量的几何表示，两个向量共线的充要条件；（2）平面向量基本定理
及其理论；
（3）利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题；
（4）两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式；
5.分析法、综合法
（ 1）分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已
知的事实为止；分析法是一种“ 执果索因”的直接证法。
（2）综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。< br>综合法是一种“由因导果”，叙述流畅的直接证法。
（3）分析法、 综合法是证明数学问题的 两大最基本的方法。分析法“执
果索因”的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较
高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合
法应用很广，几乎所有题都可以用这两个方法来解。
6.反证法
反证法是数学 证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真
假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定 为假即可。这种从证明
矛盾命题（即命题的否定）为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。
㈠ 反证法证明的一般步骤是：
（1）反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）归谬：从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛
盾的结果；
（3）结论：有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确；
㈡ 反证法的适用范围：（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少
时的命题；
（2）结 论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形
式（“不是”、“不可能”、“不可得 ”）等的命题；（3）涉及各种无限结论的
命题；（4）以“最多（少）、若干个”为结论的命题；（5 ）存在性命题；（6）
唯一性命题；（7）某些定理的逆定理；
（8）一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。
㈢ 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”。
7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.