高中数学中转化与化归思想方法

高中数学中转化与化归思想方法
江苏省宿豫中学 陆新江
转化与化归思想方 法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想
贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用 化归与转化的思想方法分析问题、
处理问题有着十分重要意义。化归与转化是通过某种转化过程，把待解 决的问题
或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一
种重要的 思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟
悉、规范甚至模式法、简单的问题 。
一、转化与化归的主要方式：
1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3 、局部与整体的相互
转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运< br>用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变
量的转化、 11、实际问题与数学语言的转化等.
我们可以通过以下例题来观察：
例1.已知
?ABC
中,若
A?
C
2
,求证：
c?a?
b2

分析：已知条件是角的关系，而结论是边的关系，所以应设法将角的关系转化成
边的关系，所以使用正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R 进行等价转化。
解：由
A?
C
2
即
C?2A
,
故
B?
?
?(A?C)?
?
?3A

所以
sinB?sin(
?
?3A)?sin3A

故sinC?sinA?sinB
=
sin2A?sinA?
2
11
2
sin3A

=
?sinA(2cosA?1)
2
<0
2
1
即
sinC?sinA?
1
2
sinB
b
2

由正弦定理得：
c?a?

本题是等价转化问题， 转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过
程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍 为原问题的结果。非等价转

化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理 方程化有理方程要
求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。例如不等式的
放缩。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价
转化时确保其等价性， 保证逻辑上的正确。
例2.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是____。 < br>分析：为了求ab的取值范围，只要将原等式转化为不等式即可。即运用不
等式
a?b? 2ab
。
ab?a?b?3?2ab?3?ab?9

本题是把等式问题转化成不等式问题进行处理。
二、转化与化归的基本原则：
1、 熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的
知识、经验和问题来解决
2、简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，
达到解决复杂问题的目的， 或获得某种解题的启示和依据。这里的简单，有时还
指问题的处理方式或解决方案上的简单
3 、和谐化原则：通过化归问题的条件或结论，使其表现形式更加和谐和统
一，或者转化命题，使其推演有 利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维
规律
4、直观化原则：将一些含糊的、抽象的 、深奥的问题转化为比较具体的、
直观的、浅显的问题来解决
5、正难则反原则：当问题正面 讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法
从问题的反面去探求，使问题获解
例3.对于满足
p?2
的所有实数p，求使得不等式
x
2
?px?1?2x?p恒成立
的
x
的取值范围
分析：若把此不等式看作是关于
x的一元二次不等式，则求解过程比较麻烦，
但是是把次不等式看成是关于p的一元一次不等式，可以 简化求解过程
解：把不等式化成
p
?
x-1
?
+
?
x-1
?
?0

令
f
?
p
?< br>=p
?
x-1
?
+
?
x-1
?
，这 是一个一次函数，
由
p?2
与一次函数一定是单调函数得
?
?< br>f
?
-2
?
?
?
x?1
??
x?3
?
?0

?
?
?
f
?
2
?
?
?
x?1
??
x?1
?
?0
2
2

得
x??1
或
x?3

本题是把常量的问题转化成变量的问题，是将复杂的问题简单化。
化归方法不仅是高中数学常 用的一种方法，而且也是数学方法论中带有普遍
意义的基本方法之一，数学中许多重要的数学思想方法都 属于化归范畴，例如：
方程观点是通过数学语言的形式将实际问题划归为相应的数学模型，参数观点是< br>建立坐标系的条件下，实现数与形之间具体与抽象的转化。同时也是高中数学中
重要的方法之一， 例如把高次方程化为低次方程，把多元方程化为单元方程，分
式方程化为整式方程，把立体几何化为平面 几何等等。总而言之，化归与转化的
思想具有灵活性和多样性的特点，没有统一的模式可遵循，需要依据 问题本身提
供的信息，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径和方法，所以学习
和熟 悉化归与转化的思想，有意识地运用数学变换的方法，去灵活地解决有关的
数学问题，将有利于提高解决 数学问题的应变能力和技能、技巧。