高中数学思想方法和对应的练习附上填空题选择题方法

高中数学解题思想方法
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
一、配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，
从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技 巧，
从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子 出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方
程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨 论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平 方公式(a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2
，将这个公式灵 活运用，可
得到各种基本配方形式，如：
a
2
＋b
2
＝( a＋b)
2
－2ab＝(a－b)
2
＋2ab；
a
2＋ab＋b
2
＝(a＋b)
2
－ab＝(a－b)
2
＋ 3ab＝(a＋
b
2
)
2
＋（
3
2
2b）；
a
2
＋b
2
＋c
2
＋ab＋bc＋c a＝
1
2
[(a＋b)
2
＋(b＋c)
2
＋(c＋ a)
2
]
a
2
＋b
2
＋c
2
＝ (a＋b＋c)
2
－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)
2
－2(ab －bc－ca)＝…
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
2
；
x
2
＋
1
x
2
＝(x＋
1
x
)< br>2
－2＝(x－
1
2
x
)＋2 ；…… 等等。
1 .在正项等比数列
{a
n
}中,a
1
a
5
?2a< br>3
a
5
?a
3
a
7
?25,则a
3
?a
5
?
.
2. 方程x
2
＋y
2
－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是（ ）.
A.
1
4
1
4
或k>1 C. k∈R D. k＝
1
4
或k＝1
3. 已知sin
4
α＋cos
4
α＝1，则sinα＋cosα的值为（ ）.
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0
4. 函数y＝
log
1
(?2x
2
?5x?3)
的单调递增区间是（ ）.
2
A. （－∞,
5
4
] B. [
5
4
,+∞) C. (－
155
2
,
4
] D. [
4
,3)
5. 已知方程x
2
+(a-2)x+a-1=0的两实数根x
22
1
、x
2
，则点P(x
1
,x
2
)在圆x+y=4 上，则实数a＝_____。
6. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ）.
A.
23
B.
14
C. 5 D. 6
例2. 设方程x
2
＋kx＋2= 0的两根为p、q，若
(
p
)
2
?(
q
)
2
qp
?7
成立，求k的取值范围。





例3. 设非零复数a、b满足a
2
＋ab＋b
2
=0， 求
(
a
2002
b
2002
a?b
)?(
a?b
)
。

二、换元法
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从 而使问题得到简化，这叫换元法。换
元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的 是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化 ，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起 来，隐含的条件显
露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化 。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式 、
函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元 等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某
个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简 化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不
等式：4
x
＋2
x
－2≥0，先变形为设2
x
＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的 问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有 某点联
系进行换元。如求函数y＝
x
＋
1?x
的值域时，易发现x∈ [0,1]，设x＝sin
2
α ，α∈[0,
?
2
]，
问 题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根
号的 需要。如变量x、y适合条件x
2
＋y
2
＝r
2
（r>0） 时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为
三角问题。
均值换元，如遇到x＋ y＝S形式时，设x＝
S
2
＋t，y＝
S
2
－t等等。 < br>我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0,
?
2
]。

1. y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x
2
＋1)＝
log
a
(4?x
4
)
（a>1），则f(x)的值域是_______________。
3.已知数列{a
n< br>}中，a
1
＝－1，a
n+1
·a
n
＝a
n +1
－a
n
，则数列通项a
n
＝________________ 。
4. 设实数x、y满足x
2
＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是____ ____________。
1?3
?x
5.方程
1?3
x
?3
的解是_______________。
6.不等式log
2
(2
x
－1) ·log
x?1
2
(2－2)〈2的解集是____________________。
例2. 实数x、y满足4x
2
－5xy＋4y
2
＝5 ，设S＝x
2
＋y
2
，求
11
S
?
max
S
的 值。
min




例3． △ABC的三个内角A、B 、C满足：A＋C＝2B，
112A?C
cosA
?
cosC
??< br>cosB
,求cos
2
的值。





例4. 设a>0，求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx·cosx－2a
2
的最大值和最小值。





例5. 设对所有实数x，不等式
x
2
log
4(a?1)2a(a ?1)
2
2
a
?2xlog
2
a?1
?log2
4a
2
?0
恒成立，求a的取值范
围。


例6. 已知
sin
?
x
?
cos
?
y< br>,且
cos
2
?
x
2
?
sin
2< br>?
y
2
?
10
3(x
2
?y
2)
,求
x
y
的值。






例7. 实数x、y满足
(x?1)
2
(y?1)2
9
?
16
?1
，若x＋y－k>0恒成立，求k的范围。





例8.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求 a
2
＋b
2
＋c
2
的最小值。

例9.已知正四棱锥S—ABCD的侧面与底面 的夹角为β，相邻两侧面的夹角为α,求证：cosα=-cos
2
β。





三、待定系数法
要确定变量间的函数关系，设出某些未知系 数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系
数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用 了多项式f(x)
?
g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，
都有f(a)?
g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已 知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式
的数学问题，通过引入一些待定的 系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主
要是看所求解的数学问题是否具 有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解
因式、拆分分式、数列求和、 求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表
达形式，所以都可以用待定 系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析：
① 利用对应系数相等列方程；
② 由恒等的概念用数值代入法列方程；
③ 利用定义本身的属性列方程；
④ 利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时，我们 可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的
系数；再把几何条件转化为含所求方 程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系
数，并把求出的系数代入已经明确 的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。
1.设
f(x)?
x
2
? m
，f(x)的反函数f
?1
(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。
A.
5
2
, －2 B.
?
5
5
5
2
， 2 C.
2
, 2 D.
?
2
，－2
2.二次不等式ax
2＋bx＋2>0的解集是
(?
11
2
,
3
)
， 则a＋b的值是_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
3.在(1－x
3
)（1＋x）
10
的展开式中，x
5
的系数是_____。
A. －297 B.－252 C. 297 D. 207
4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为
3
2
，最小值为
?
1
2
，则y＝－4asin3bx的最小正 周期是_____。
5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程 是_______________。
6.与双曲线
x
2
?
y2
4
?1
有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是________ ________。
例2.已知函数
y?
mx
2
?43x?nx
2
?1
的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。



例3. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长 轴较近的端点距离是
10
－
5
，求椭圆的方程。




例4. 是否存在常数a、b、c，使得等式1·2
2
＋2·3
2
＋…＋n(n＋1)
2
＝
n(n?1)
2
12< br> (an＋bn＋c)对一切自
然数n都成立？并证明你的结论。











例5. 有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形 ，将剩余部分折
成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？





四、定义法

所谓定义 法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演
出来。定义 是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践 后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说，定义
是基本概念对数学实 体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让我们回到定义中去。

1.已知集合A中有两个元素，集合B中有7个元素，A∪B的元素个数为n，则______。
A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7
2.设MP、OM、AT分别是46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。
A. MP3.复数z
1
＝a＋2ｉ，z
2
＝－2＋ｉ，如 果|z
1
|< |z
2
|，则实数a的取值范围是_____。
A. －11 C. a>0 D. a<－1或a>1
x
2
5
4.椭圆
25
?
y2
9
?1
上有一点P，它到左准线的距离为
2
，那么P点到右焦 点的距离为_____。
75
A. 8 C. 7.5 C.
4
D. 3
5.奇函数f(x)的最小正周期为T，则f(
?
T
2
)的值为_____。
T
A. T B. 0 C.
2
D. 不能确定
6. 正三棱台的侧棱与底面成45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。
例2. 已知z＝1＋ｉ， ① 设w＝z
2
＋3
z
－4，求w的三角形式；
② 如果
z
2
?az?b
z
2
?z?1
＝1－ｉ，求实数a、b的 值。






例3. 已知f(x)＝－x
n
3
＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求
y?log
2
f(x)
的定义域，判定在(
2
2
2
,1)
上 的单调性。






例4. 如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是AC中点。
A’ A
D
C’ C
O H
B’ B
证明：AB’∥平面DBC’；
假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。（94年全国理）







1
例5. 求过定点M(1,2)，以x轴为准线，离心率为
2
的椭圆的下顶点的轨迹方程。














五、反证法
反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的 角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，
从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Ha damard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否
定其结论，就会导致矛盾”。具体地 讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推
理的已知条件，进行正确的逻辑推 理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的
命题等相矛，矛盾的原因是假设 不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾 律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断
不能同时都为真，至少有一个是假的，这就 是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，
简单地说“A或者非A”，这就是逻辑 思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据
“矛盾律”，这些矛盾的判断不能 同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明
为正确的命题都是真的，所以“ 否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立
的互相否定的判断不能同时为 假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本
规律和理论为依据的，反证 法是可信的。

反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定 结论开始，经过正确无误的推理
导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之 否定”。应用反证法证明的主要三
步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时，一定要用到“ 反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证
明的命题的方面情况只有一种，那么只 要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论
的方面情况有多种，那么必须将所有 的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。







x?1
例4. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数
y?
(其中x∈R且x≠
a
)，证明 ：①.经过这个函数图像上
1
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家 最精当的武器之一”。一般来讲，反证
法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或 “至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；
或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证 明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进
行反面思考，问题可能解决得十分干脆。

1.已知函数f(x)在其定义域内是减函数，则方程f(x)＝0 ______。
A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
2 .已知a<0,－12
之间的大小关系是_____。
A. a>ab> ab
2
B. ab
2
>ab>a C. ab>a> ab
2
D. ab> ab
2
>a
3.已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____。
A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交
C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交
4.四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____。
A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种


例2. 如图，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点。求证：AC与平面SOB不垂直。


S

C


A O
B


例3. 若下列方程：x
2
＋4ax－4a＋3＝0， x
2
＋(a－1)x＋a
2
＝0, x
2
＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根。
试求实数a的取值范围。

任意两个不同点的直线不平行于x轴；




ax?1
②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像。(88年全国理)。

六、数形结合
中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代 数式、方程（组）、不等式（组）、函数
等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类 是关于数形结合的知识，主要体现是解析几
何。
数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助 数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种
情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之 间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图
像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数 的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，
形作为目的，如应用曲线的方程来精确地 阐明曲线的几何性质。
5π
8.若复数z的辐角为
6
，实部为－2
3
，则z＝_____。
A. －2
3
－2ｉ B. －2
3
＋2ｉ C. －2
3
＋2
3
ｉ D. －2
3
－2
3
ｉ
y
9.如果实数x、y满足等式(x－2 )＋y＝3，那么
x
的最大值是_____。
22
33
1
A.
2
B.
3
C.
2
D.
3
< br>恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条< br>件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观
形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得 到
解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过 ：数
缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
数形结合的思想， 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相
互转化，它可以使代 数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
第一要彻底明白 一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何
意义又分析其 代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第
三是正确确 定参数的取值范围。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借 助于直角三角形来定
义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。

1.设命题甲：0A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若log
a
2b
2<0，则_____。
A. 0b>1 D. b>a>1
π
3.如果|x|≤
4
,那么函数f(x)＝cos
2
x＋sinx的最小值是_____。
2?11?2
A.
2
B. －
2?1
2
C. －1 D.
2

4.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x )的[-7,-3]上是____。
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
5.设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)|
y?3
x? 2
?1
}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么
M∪N
等于_____。
A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1
6.如果θ是第二象限的角，且满足
cos
??
2
?sin?1?sin
?
,那么
?
22
是_ ____。
A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角
7.已知集合E＝{θ|cosθπ
π
3π3π3π
5π
A. (
2
,π) B. (
4
,
4
) C. (π,
2
) D. (
4
,
4
)
10.函数
（ ）
A、第一象限 B、第二象限
的反函数的图象不经过
C、第三象限 D、第四象限

双曲线左支上一点P到左准线的距离是
P到右焦点的距离为
、 B、
、
11. A
，则点 C

D、
（ ）
12.函数
（ ）
A、（－∞，2）、（－2，+∞）
或
的反函数的一个单调区间是
、（2，+∞） D、（－∞，+∞）
13. 函数的图象
（ ）
A、关于x轴对称 B、关于y=x对称
C、关于原点对称 D、关于y轴对称
14.P是抛物线y=x
2
上的任意一点，则当点P和直线x+y +2=0上的点的距离最小时，点P与该抛物线的准线
的距离是 （ ）


B C

A、 B、
C、1 D、2
15.点P
1
(x
1
，y
1
)是直线l: f(x ，y)=0上一点，点P
2
(x
2
，y
2
)是直线l外一点 ，则方程
f(x，y)＋f(x
1
，y
1
)+f(x
2< br>，y
2
)=0所表示的直线与l的位置关系是 （
A、平行 B、重合 C、垂直 D、斜交
16.若，则的
最小值为 。
17.满足方程|z＋3－
3
ｉ|＝
3
的辐角主值最小的复数z 是_____。
例2.若方程lg(－x
2
＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈( 0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。







z
1
例3. 设|z
1
|＝5，|z
2
|＝2, |z
1
－
z< br>2
|＝
13
，求
z
2
的值。




pp
例4. 直线L的方程为：x＝－
2
(p>0 ),椭圆中心D(2＋
2
,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，
它的左顶 点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点
到直线 L的距离？




）

例5. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m
2
＋15} (m∈
Z)，C＝ {(x,y)|x
2
＋y
2
≤144}，讨论是否存在a、b，使得A∩B≠ φ与(a,b)∈C同时成立。



七、分类讨论
在解答某些 数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，
这就是分类 讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它
体现了化 整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综
合性、 探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。 如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨
论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比
数列 的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数 的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和
a<0三 种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等 ，都主要通过分类讨论，保证
其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原 则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学
地划分，分清主次，不越级讨论。其 中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对 象以及所讨论对象的全体的范围；
其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类 互斥（没有重复）；再对所分类逐步
进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得 出结论。

1.集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R }，若A
?
B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02.若a>0且a≠1， p＝log
32
a
(a＋a＋1)，q＝log
a
(a＋a＋1)， 则p、q的大小关系是_____。
A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当03.函数
y?
sinx
|sinx|
?
cosx
|cosx|
?
tgx
|tgx|
?
ctgx
|ctgx|
的值域是_________。
π
cos
4.若θ∈(0,
2
)，则
n
lim< br>n
θ?sin
n
θ
→∞
cos
n
θ＋sin
n
θ
的值为_____。
A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1
5.函数
y?x?
1
x
的值域是_____。
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
8
A.
3
4
9
B.
3
2
9
C.
3
4
9
D.
3
8
9
或
9
3

7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定
例2. 设00且a≠1，比较|log
a
(1－x) |与|log
a
(1＋x)|的大小。









例3. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含 有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的
个数： ①. C
?
A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ 。








例4. 设{a
n
}是由正数组成的等比数列，S
n
是前n项和。 ①. 证明：< br>lgS
n
?S
n?2
2
?lgS
n?1
； ②.是
否存在常数c>0，使得
lg(S
n
?c)?lg(S
n?2
?c)
2
?lg(S
n?1
?c)
成立？并证明结论。







例5. 设函数f(x) ＝ax
2
－2x＋2，对于满足10，求实数a的取值范围 。

例6. 解不等式
(x?4a )(x?6a)
2a?1
?0(a为常数，a??
1
2
)
.











例7. 设a≥0,在复数集C中，解方程：z
2
＋2|z|＝a 。







例8. 在xoy平面上 给定曲线y
2
＝2x，设点A(a,0)，a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f(a )，求
f(a)的函数表达式。















八、函数与方程思想
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。 方程思想，是从问题的数量关
系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或 方程与不等式的混合组），然后
通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方 程的互相转化、接轨，达到解决问
题的目的。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代 数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公 式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……
等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。 而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，
就可以看作关于x、y的二元方程f(x )－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方
程的特性，都是应用方程思想时 需要重点考虑的。
函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数 关系型的数学模型，
从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是 构造函数从而利用函数
的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f
?1
(x)的单 调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，
要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂 函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题
中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数 解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的
问题观察、分析、判断比较深入、充分、全 面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程
问题、不等式问题和某些代数问题也可以 转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。
函数知识涉及的知识点多、面广，在概念 性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重
点。我们应用函数思想的几种常见题型是： 遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和
最大值之类的问题，利用函数观点加以分 析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其
中的函数关系；实际应用问题，翻译成 数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知
识解答；等差、等比数列中，通项公 式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方
法解决。

1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____。
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)
2.如果函数f (x)＝x
2
＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么_____ 。
A. f(2)3.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a (a是常数) ______。
A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论
4.已知
sin
?
?cos
?
?
1
5，θ∈(0，π)，则tgθ的值是_____。
A.
?
43
43
3
B.
?
4
C.
3
D.
4

5.已知等差数列的前n项和为S
n
，且S
p
＝S
q
(p≠q，p、q∈N)，则S
p+q
＝_________。
6.关于x的方程sin
2
x＋cosx＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__ ________。
7.正六棱锥的体积为48,侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为 ___________。
8. 建造一个容积为8m
3
，深为2m的长方体无盖水 池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80

元，则水池的最低造价为__ _________。
例2. 设a>0，a≠1，试求方程
log
a
(x ?ak)?log
a
2
(x
2
?a
2
)
有 实数解的k的范围。








例3. 设不等式2x－1>m(x
2
－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都 成立。求x的取值范围。










例4. 设等差数列{a
n
}的前n项的和为Sn
，已知a
3
＝12，S
12
>0，S
13
< 0 。
①.求公差d的取值范围； ②.指出S
1
、S
2
、…、S
12
中哪一个值最大，并说明理由。















例5. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，P A＝AB=2r，求
异面直线PB和AC的距离。
P

M
A H B
D C






例6. 已知△ABC三内角A、B、C的大小 成等差数列，且tgA·tgC＝2＋
3
，又知顶点C的对边c上的高等
于4
3
,求△ABC的三边a、b、c及三内角。
…






例7. 若(z－x)
2
－4(x－y)(y－z)＝0,求证：x、y、z成等差数列。








例8. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤
1
8
。








1?2
x
?4
x
a
例9. 设f(x)＝lg
3
，如果当x∈(-∞,1]时f(x)有意义，求实数a的取值范围。

九、转化与化归思想
等价转化思想方法
等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要 的思想方法。通过不断的转
化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问 题。历年高考，等价转化思想
无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学 问题中的应变能力，提高思维能
力和技能、技巧。
转化有等价转化与非等价转化。等价转化要 求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果
仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分 或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程
要求验根），它能给人带来思维的闪光点， 找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性
与非等价性的不同要求，实施等价转化时 确保其等价性，保证逻辑上的正确。
著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学 奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演
讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”。数学的 解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单
的化归转换过程。
等价转化思想方法的特点是具 有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有
一个统一的模式去进行。它可以 在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它可以在宏观上进行等价转化，
如在分析和解决实际问题的过 程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说
的恒等变形。消去法、换元 法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常
在函数、方程、不等式之 间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持
命题的真假不变。由于 其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。
在数学操作中实施等 价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则，即把我们遇到的
问题，通过转化变成我 们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁琐、复杂的问题，变成比较简单的问题，比
如从超越式到代数式 、从无理式到有理式、从分式到整式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化
为比较直观的问题 ，以便准确把握问题的求解过程，比如数形结合法；或者从非标准型向标准型进行转化。
按照这些原则进 行数学操作，转化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以提高解题的
水平和能力。

例1讨论下列问题：
1. f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝f(x)， 当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于_____。
A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.5
2.设f(x)＝3x－2，则f
?1
[f(x)]等于______。
x?81
A.
9
B. 9x－8 C. x D.
3x?2

3. 若m、n、p、q∈R且m
2
＋n
2
＝a，p
2
＋q
2
＝b，ab≠0，则mp＋nq的最大值是__ ____。
a?b
a
2
?b
2
ab
A.
2
B.
ab
C.
2
D.
a?b

4. 如果复数z满足|z＋ｉ|＋|z－ｉ|＝2，那么|z＋ｉ＋1|的最小值为______。
A. 1 B.
2
C. 2 D.
5

5. 设椭圆
y
2
x
2
221
a
2
?
b
2
?1
（a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a)和(b, 0)，已知原点到l的距离等于
7
c
，
则椭圆的离心率为_____。
11
32
A.
4
B.
2
C.
3
D.
2

6. 已知三棱锥S-ABC 的三条侧棱两两垂直，SA＝5，SB＝4，SC＝3，D为AB的中点，E为AC的中点，则四
棱锥S -BCED的体积为_____。
15
2535
A.
2
B. 10 C.
2
D.
2

例2. 若x、y、z∈R
?
且x＋y＋z＝1，求
(
1
x
?1)(
11
y
?1)(
z
?1)
的最小值。




例3. 设x、y∈R且3x
2
＋2y
2
＝6 x，求x
2
＋y
2
的范围。






例4. 求值：ctg10°－4cos10°







例5. 已知f(x)＝tgx，x∈(0,< br>?
2
)，若xx
?
1
、
2
∈(0,
2
)且x
1
≠x
2
，
求证：
1
2
[f(x
x
1
)?f(x
2
)]?f(
1
?x
2
2
)

例5. 如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面
MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）


S

A M

D N C
B


























选择题解答策略
近几年来高考数学试题中选择题稳定在10～12道题 ，分值60分。高考选择题注重多个知识点的小型综
合，渗逶各种数学思想和方法，体现基础知识求深度 的考基础考能力的导向;使作为中低档题的选择题成为
具备较佳区分度的基本题型。因此能否在选择题上 获取高分，对高考数学成绩影响重大。解答选择题的基本
策略是准确、迅速。
准确是解答选择 题的先决条件。选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分。所以应仔细审题、
深入分析、正确 推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。
迅速是赢得时间获取高分的必要条件。高考中考生不适 应能力型的考试，致使“超时失分”是造成低分
的一大因素。对于选择题的答题时间，应该控制在不超过 50分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择
题在1～3分钟内解完。
选择题主要考查基 础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严
谨、解题速度的快捷 等方面，是否达到《考试说明》中的“了解、理解、掌握”三个层次的要求。历年高考
的选择题都采用的 是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的。它包括两个部分：题干，由一个不完整
的陈述句或疑问 句构成；备选答案，通常由四个选项A、B、C、D组成。
选择题的特殊结构决定了它具有相应的特殊 作用与特点：由于选择题不需写出运算、推理等解答过程，
在试卷上配有选择题时，可以增加试卷容量， 扩大考查知识的覆盖面；阅卷简捷，评分客观，在一定程度上
提高了试卷的效度与信度；侧重于考查学生 是否能迅速选出正确答案，解题手段不拘常规，有利于考查学生
的选择、判断能力；选择支中往往包括学 生常犯的概念错误或运算、推理错误，所有具有较大的“迷惑性”。
一般地，解答选择题的策略是：① 熟练掌握各种基本题型的一般解法。② 结合高考单项选择题的结构
（由“四选一”的指令、题干和选择 项所构成）和不要求书写解题过程的特点，灵活运用特例法、筛选法、
图解法等选择题的常用解法与技巧 。③ 挖掘题目“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅
速地作出正确的选择。
一、直接法：二、特例法：三、筛选法:四、图解法：


















填空题解答策略

填空题是一种传 统的题型，也是高考试卷中又一常见题型。近几年高考，都有一定数量的填空题，且稳
定了4个小题左右 ，每题4分，共16分，越占全卷总分的11％。
填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中 缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空
位上，将缺少的语句填写清楚、准确。它是一个不完整 的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、符号、
数学语句等。
根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：
一是定量型，要求学生填写数值 、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值
域、最大值或最小值、线段长度、 角度大小等等。由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考
题中多数是以定量型问题出现。
二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲< br>线的准线方程、焦点坐标、离心率等等。
填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直 接填写结果，它和选择题一样，能够在短时间内
作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以 考查学生对数学概念的理解、数量问题的计算解决
能力和推理论证能力。在解答填空题时，基本要求就是 ：正确、迅速、合理、简捷。一般来讲，每道题都应
力争在1～3分钟内完成。填空题只要求填写结果， 每道题填对了得满分，填错了得零分，所以，考生在填
空题上失分一般比选择题和解答题严重。我们很有 必要探讨填空题的解答策略和方法。
一、直接推演法：
直接法就是根据数学概念，或者运用 数学的定义、定理、法则、公式等，从已知条件出发，进行推理或
者计算得出结果后，将所得结论填入空 位处，它是解填空题最基本、最常用的方法。
二、特值代入法：
当填空题已知条件中含有某 些不确定的量，但题目暗示答案可能是一个定值时，可以将变量取一些特殊
数值、特殊位置、或者一种特 殊情况来求出这个定值，这样，简化了推理、论证的过程。