高中数学三角函数中的数学思想方法学法指导

高中数学三角函数中的数学思想方法
三角函数是高中数学的重要内容，它蕴含着丰富的 数学思想方法。灵活地借助数学思
想方法解题，往往可以避免复杂的运算，优化解题过程，降低解题难度 。本文能过实例介绍
几种常用的数学思想方法。

一. 方程的思想
例1. 已知sinθ+cosθ=
1
，θ
?
（0，π），则cotθ=__ ______。
5
1
解析：由sinθ+cosθ=平方得
5
12
sinθcosθ=
?
。
25
又θ
?
（0，π），
所以sinθ＞0，cosθ＜0，
且sinθ＞
cos?
，
将sinθ，cosθ看作是方程
x2
?
112
x??0
的两根。
525
43
，cosθ=
?
。
55
33
从而cotθ=
?
，应填
?
。
44
所以sinθ=

二. 函数的思想
例2. 已知x，y ∈ [
?
??
,
]，且x
3
+sinx-2a=0①，4y3
+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的
44
值。
解析：设f(u)=u
3
+sinu。
由①式得f(x)=2a，由②式得
f(2y)=－2a。
??
22
所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
??
又所因x,-2y∈[
?，
]，
22
所以x=-2y，即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。
因为f（u）在区间[
?，
]上是单调奇函数，

三. 数形结合的思想
例3. 函数f(x)=sinx+2
sinx
，x∈[0，2π] 的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，
则k的取值范围是______。

3
y
y=k
1
0
π 2π
x

解析：f(x)=
?
?
3sinx(0?x? ?),
?
?sinx(?＜x?2?)。
函数f(x)=sinx+2
sin x
，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的
交点，则1＜k＜3 。

四. 化归的思想

sin3?13
?
，则tan2α=_________。
sin?5
sin3?
sin(2???)
解析：因为
?
sin?sin(2???)
sin2?cos??cos2?sin?
=
sin2?cos??cos2?sin?
tan2??tan?
=
tan2??tan?
3?tan
2
?
13
?
=，
2
5
1?tan?
1
所以，tan
2
?=。
9
又因为
?
为第四象限的角，
1
所以tan
?
=
?
，
3
3
从而求得tan2
?
=
?
。
4
例4. 设α为第四象限的角，若

五. 分类讨论的思想
例5. 若△ABC的三内角满足sinA=
sinB?sinC
①，问此三角形是否 可能为直角三角
cosB?cosC
形？
解析：假设△ABC可以为直角三角形。
（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得
1?sinC
，
cosC
所以cos
2
C=1+sinC，1-sin
2
C=1+s inC，
所以sinC=1，即C=90°。这是不可能的，所以B≠90°。
（2）同理，C≠90°。
（3）若A=90°。
sin(90°-C)=

sinB?sinCcosC?cosB
??1

cosB?cosCcosB?cosC
①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。
①式右边=

六. 换元的方法
例6. 已知sin
3
θ+cos
3
θ=1，求sinθ+cosθ的值。
解析：因为sin
3
θ+cos
3
θ
=(sinθ+co sθ)(sin
2
θ+cos
2
θ-sinθcosθ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。
设sinθ+cosθ=x(
?2?x?2
)，
x
2
?1
则sinθcosθ=。
2
x
2
?1
所以x
(1?)?1
，
2
即x
3
-3x+2=0，(x-1)
2
(x+2)=0。
因为
?2?x?2，x?2?0
，
所以x-1=0，得x=1。
所以sinθ+cosθ=1。

七. 整体的方法
xxxxsinx< br>cos
2
cos
3
?cos
n
?(n?N*)
。
x
2
222
2
n
sin
n
2
xxxx
证明：设
??coscos
2
cos
3
?cos
n
，
2
222
xxxx
b=
sinsin
2
sin
3
?sin
n
，
2
222
1 xxxx
则ab=
n
sinxsinsin
2
sin
3?sin
n?1

2
2222
sinxxxxx
=sinsin
2
sin
3
?sin
n

x2
222
2
n
sin
n
2
sinx
=
b
。
x
2
n
sin
n
2
因为b≠0，
sinx
所以a=。即原式得证。
x
2
n
sin
n
2
例7. 证明cos

八. 类比联想的方法
例8. 已知λ为非零常数，x∈R，且f(x+λ)=
1? f(x)
。问f(x)是否是周期函数？若是，
1?f(x)

求出它的 一个周期；若不是，请说明理由。
分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数。又f( x+λ)=
构的形式极易与tan(x+
1?f(x)
的结
1?f(x)?1?tanx
)=进行类比，故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例，且
41? tanx
??
题中的λ相当于实例中的。由于周期函数tanx的周期T=4·，故可猜想f( x)也为周期
44
函数，且周期为4λ。
解：f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]
1?f(x)
1?
1?f(x ??)1?f(x)
1
???
=，
1?f(x)
1?f(x??)
f(x)
1?
1?f(x)
则f(x+4
?
)=f[(x+ 2
?
)+2
?
]
1
=
??f(x)
。
f(x?2?)
所以f(x)是周期函数，且4
?
是它的一个周期。