高中数学常用思想方法的“教学实践与研究”课题结题报告

高中数学常用思想方法的“教学实践与研究”课题结题报告
数学思想方法是数学知识的 精华和灵魂所在，它是对数学知识的进一步浓缩与提炼、概
括和整合，是数学知识的本质和核心，它能让 学生真正感受数学的价值。重视数学思想方法
的教学能把培养学生数学素养和智力发展很好的结合起来。 因此，在数学教学实践研究中必
须重视数学思想方法的作用和意义。
一、课题的提出
促进青年教师专业发展的需要
近五今年，我校新进教师较多，新教师对教材的把握不是很准确 ，学校需采用有效地
方法促进新进教师的专业发展，数学思想方法有助于教师正确的把握教材。高中数学 教学体
系包括两条主线：一是数学知识，这是明线；而是数学思想方法，这是隐含在数学知识中的
暗线。教师只有掌握数学的思想方法，才能明确领会教材编写的意图。才能从整体、本质上
去理解和把 握教材，才能科学、灵活地设计教学过程，选择适当的教学方法，提高教学效率。
提高学生数学思维能力的需要
我校的生源质量较低，学生的学习习惯较差，底子薄弱，加之高 中数学课程的难度较
大，使得我校学生对高中数学的学习陷入困境之中。数学思想方法有助于培养学生的 能力，
提高学生学习的效率。（1）完善知识结构。完整的数学知识结构不只是知识点的多少，更为重要的是建立知识间的联系，有效地将知识组织，将知识结构的排列层次化、有序化。数学
思想方法 能够优化这种组织形式，促进各部分数学知识的融合，成为数学知识结构的核心和
灵魂。（2）指导学习 迁移。数学思想方法是对数学知识的提炼和概括，数学思想方法的形成，
不仅对学生的数学思维活动起指 导作用，而且对学生的学习方法产生深刻的影响，形成学习
效果的有效迁移。
二、课题研究的目的、意义及价值
课题研究的目的
通过对数学思想方法的学习与探讨，并在课堂教学中注重数学思想方法的渗透，增强我

1

校数学教师进行数学思想方法教学的意识。组织我校教师认真挖掘、研究教 材中所蕴含的数
学思想方法，以改善我校高中数学课堂教学，促进教师成长。培养学生整体思维能力，提 高
学生运用数学思想方法解决实际问题的能力。
课题研究的意义
数学思想方法是数 学的灵魂，是层出不穷的数学发现的源泉。学生只有把数学知识上升
到数学思想方法，才能有效地提高数 学素养，乃至学生的整体素质。
本课题的研究者为高中数学一线教师，在实际教学和课堂观察中搜集典 型教学案例，通
过访谈、观察和文献阅读等方法，比较全面地总结出了高中数学思想方法教学中存在的问 题
以及解决方法，促进数学思想方法与课堂教学的融合，加强学生对基本数学思想的理解及在
解 题中的应用，进而对新课程下的课堂教学作出指导。在教学中落实数学思想方法的教学，
是对新课程理念 的体现，也是对新课程的总目标——“进一步提高作为未来公民所必要的数
学素养”的促进。课题的有效 实施，有利于培养我校高中数学教师建立正确的数学观，有助
于提高教师的教学水平和科研水平。课题的 有效实施，能够改善学生的学习，提高学生的学
业成绩，提高学生的数学素养，对培养智能型、创新型人 才起到了积极的推动作用。
课题研究的价值
理论价值
对高中数学思想方法的研究 ，符合新的《数学课程标准》的要求。新的《数学课程标准》
“前言”中指出：数学为其他学科提供了语 言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数
学在提高人的推理能力、抽象能力、想象了和创造力等 方面有着独特的作用；数学是人类的
一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分 。
数学思想方法是素质教育的重要内容。素质教育要求我们教育要面向全体学生，让每位
学生 得到全面发展。数学思想方法能够帮助实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必要
的数学，不同人在 数学上得到不同的发展”这一思想，数学思想方法比形式化的数学知识更
具有普遍性，在学生未来的工作 和生活中有更加广泛的应用。
实践价值
（1）对数学思想方法的学习和研究有助于教师正确 的把握教材，有效促进我校数学青
年教师专业成长。高中数学教学体系包括两条主线：一是数学知识，这 是写在教材上的明线；

2

二是数学思想方法，是隐含在数学知识中 的暗线。教师只有掌握了数学的思想方法，才能明
确领会教材编写的意图，才能从整体上、本质上去理解 把握教材，才能科学、灵活地设计教
学过程，选择教学方法，提高教学效率。
（2） 数学思想方法有助于培养学生的能力，有效改善我校学生数学学习现状。首先，
数学思想方法能够帮助学 生完善认知结构。良好的数学知识建构不只是取决于知识点的多
少，更为重要的是知识点的联系、组织方 式，是结构排列的层次性和有序性。数学思想方法
能够优化这种组织形式，促进各部分数学知识的融合， 成为数学知识结构的核心和灵魂。其
次，数学思想方法能够指导学生进行学习迁移。数学思想方法是对数 学知识的提炼和概括，
一旦形成，不仅对数学思维活动起指导作用，而且会对学生的世界观、方法论产生 深刻的影
响，形成学习效果的广泛迁移，包括数学领域向非数学领域的迁移。最后，数学思想方法能够促进学生思维的发展。数学思想方法的有效渗透对学生思维发展起着重要的作用，有利于
培养学生 解决问题的能力，有效的改善了我校高中生学习数学的现状。
推广价值
（1）数学思想方法 是数学思维的主体，数学思想方法在课堂教学中的渗透能够帮助健
全学生的发展。
（2）高考命题中已充分体现数学思想方法的考察，因此数学思想方法需进入课堂。
三、研究的理论依据
1、奥苏泊尔的认知理论：有意义接受学习理论
①
< br>美国心理学家奥苏泊尔(l)认为有意义学习的过程是新知识与个体认知结构
中原有的适当观念相 互作用，从而获得新的更高层次的分化的建构过程。个体获得新知识的
内部认知过程有：下位学习、上位 学习和并列学习等。由于认知结构中原有的观念在包摄和
概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧 知识所构成的这种类属关系又可称为下位关
系，这种学习便成为下位学习。当学生掌握了一些数学思想方 法，再去学习相关的数学知识，
就属于下位学习了，下位学习所学知识具有足够的稳定性。这样可以使得 新知识能够顺利的
纳入学生已有的认知结构中去，学生通过已有的数学思想方法能够更好的理解和掌握教 学内
容。
2、建构主义理论
②


①
施良方《学习论》，北京：人民教育出版社，2001,5.第220-249页
3

建构主义代表人物皮亚杰(Piager.J.)认为知识不是 客观存在的，是个体与环境相互作用
建构的结果。数学认知结构中包含数学基础知识，数学思想方法和心 理成分三种主要因素，
在数学知识学习的“同化”和“顺应”过程中，数学基础知识不具备主动“加工” 的意识及
能动性，而心理成分也只提供给主体去“加工”的动机，因而数学思想方法在其中充当了“信< br>息加工的作用”，它不仅提供思维策略，还提供实现目标的具体操作技能，要实现新旧知识
的同化 ，离不开数学思想方法。因此，数学思想方法的教学，在培养学生认知结构方面，起
着重要的作用。
四、研究方法
结合参与课题研究者的实际情况本课题采用以下研究方法。
1、课堂 观察法。该课题的参与者均为一线教师，课题的实施过程中，通过大量的听
评课，做好相关的记录，获得 大量的、详实的材料。
2、问卷调查法。在课题的研究中，为了了解高中数学教师对数学思想方法的理 解程
度和教学现状以及学生对数学思想方法的掌握情况，课题的研究者发放了问卷调查表，收集
到了大量的具体的资料供研究参考使用。
3、文献研究法。在研究过程中，课题组成员搜集了大量的国 内外关于数学思想方法
教学的文献，并对这些文献进行整理，为课题的研究提供了一定的理论依据。 < br>4、案例研究法。此研究在固原五中高中数学学组内实施，经过一年时间的课堂观摩，
共听取60 节，其中包括示范课、优质课大赛、推门进课堂听课，其中根据课堂教学的5个
环节整理出教学片断10 个，内容涉及高中数学课程实验教科书人教A版教科书的必修1到
必修5以及选修2—1的内容。 5、访谈法。该研究中，为了更深入了解高中数学教师对数学思想方法教学的看法，
了解各个教师在 实施数学思想方法教学中的做法，按照“高中数学思想方法教学访谈纲要”
进行访谈。
6、经 验总结法。参与课题研究的教师中，大部分是优秀的、有经验的教师，在听评
课时，将他们的教学案例进 行分析，以便能够探究出有效可行的数学思想方法教学策略。
五、课题的研究过程

②
曹才翰，章建跃《数学教育心理学》北京师范大学出版社，1999,12.第57页
4

本课题以固原五中高一、高二、高三全体学生为研究对象，以奥 苏泊尔的认知理论和
建构主义理论为理论基础，以高中生的心理心理发展特点为依据，在高中数学新课标 为指导
下展开研究。
组织全体高中数学教师系统学习总结高中常用的数学思想方法
教师要进行数学思想方法的教学，首先要将常用的数学思想方法透彻的理解、内化才能
有效的组织教学。 因此，课题组首先组织高中数学教师系统的学习常见的数学思想方法。总
结出常用的数学思想方法有：函 数与方程思想方法、数形结合思想方法、分类与整合思想方
法、转化与化归思想方法、特属与一般思想方 法、有限与无限思想方法、或然与必然的思想
方法。
(1)函数与方程思想
函数思 想，是指在构建函数的基础上，通过对函数的分析去分析问题、转化问题和解决
问题。函数思想在研究方 程、数列、解析几何等内容时有着重要的作用。方程思想，是针对
问题，把问题的数量关系转化为数学模 型，然后通过求解方程来使问题解决。是解决各类计
算问题的基本思想，是运算能力的基础。涉及变量问 题时，需要学生学会用函数思想进行思
考；而涉及等量问题时，要求学生具有方程思想。在实际应用过程 中，函数与方程的互相转
化有助于问题的解决。
高考把函数与方程思想方法作为七种重要思想方法中的重点来考察。
(2)数形结合思想方法
数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面。数形结合的思想方法其实
质是将抽 象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象结合，通过对图形的认识，
使问题化难为易，化 抽象为具体。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二
维空间，有序实数
?x,y
?
对与坐标平面上的点建立一一对应关系；在三维空间，有序实数对
?x,y,z
?
与空间坐标上的点建立一一对应关系。在解题时，对于选择、填空题突出考查 数到
形的转化；在解答题中，考虑到推理论证的严密性，突出形到数的转化。
(3)分类与整合思想方法
分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，从具体出发 ，选取适当的分类标
准进行分类，先分后合是分类与整合思想方法的本质，含有字母参数的问题进行分类 与整合
的研究，重点考出学生思维的严谨性。

5

(4) 化归与转化思想方法
化归与转化思想方法是将复杂问题划归为简单问题，将为解决问题划归为已解决问
题，在转化过程中处理方法灵活、多样、无统一模式，高考重视常用的变化方法：一般与特
殊的 转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
(5) 特属与一般思想方法
特属与一 般思想方法是通过对个例认识与研究，形成对事物的认识，由浅入深，由现
象到本质、由局部到整体、由 实践到理论，有特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。
高考以新增内容为素材，突出考察特殊与 一般思想成为命题改革的方向。
(6) 有限与无限思想方法
把对无限的研究转化为对有限 的研究，是解决无限问题的必经之路，立体几何中求球
的表面积与体积，采用分割的方法解决，实际上是 先进行分割，再求和求极限，是典型的有
限与无限数学思想方法的应用。随着高中课程改革的推进，对新 增内容考察的深入，必将加
强对有限与无限的考查。
(7) 或然与必然的思想方法
随机现象具有两个最近本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性。概率知识
在现实生活中常常 用到，概率所研究的过程是在“偶然”中寻找“必然”，然后再用“必然”
的规律解决“偶然”的问题， 这其中所蕴含的数学思想方法就是或然与必然的思想方法。
数学思想方法与高中数学教材相关内容分析
通过对数学思想方法的系统学习，接下来课题组成员将每种数学思想方法与高中数学
教材相关内 容对应起来，下面以数形结合的思想方法为例进行说明（具体如表-1）。
高中教材相关内容
(1)用韦恩图法表示集合.
(2)指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质.
(3)等差数列通项公式与一次函数图象的关系；求和公式与二
次函数图象的关系.
(4)等比数列通项公式与二次函数图象关系.
(5)三角函数的图象与性质.
(6)向量加减法的平行四边形法则和三角形法则.
渗透程度
引导学生感知和孕育数
形结合的数学思想方法.

6

(7)一元二次不等式的解法.
(1)直线的斜率和倾斜角.
(2)圆、椭圆、双曲线和抛物线方程与曲线的关系.
教师进一步向学生介绍数形
结 合的数学思想方法，让学
生初步学会如何进行数与形
的转化.
(1)空间直线与平面的位置关系.
(2)空间平面与平面的位置关系.
(3)复数的表示.
强化应用数形结合思想方法
解题的意识，广泛联想，上
升为能力.
表-1
确定高中数学思想方法教学的教学原则
首先课题组通过研究文献、全体学习，在经过经验总结 ，确定了高中数学思想方法教学
需遵循的教学原则，具体原则如下。
合理重建原则。高中数学 教材是以概念、定理、法则、公式等为逻辑体系，但这种经过
归纳概括的逻辑体系掩盖了数学思维的真实 过程，因此教师在教学过程中必须展示数学知识
的发生发展过程，使学生能切实体验到数学思想方法的意 义和作用。
循序渐进原则。数学思想方法的形成难于知识的理解与技能的掌握，它需要学生深刻理解知识之间的本质联系，因此学生对数学思想方法的理解不可能一步到位，教师在教学中更
不能一蹴 而就。数学思想方法的渗透要有一个循序渐进、由浅入深的过程，即要按照“反复
孕育、初步形成、应用 发展”的顺序来完成某一数学思想方法。
螺旋上升原则。根据学生的认知特点，学生对每种数学思想方 法的认识都是在反复理解
和运用中形成的，即从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高 级的螺旋上
升过程。
确定高中数学思想方法教学的实施步骤
一、集体备课，确定单元计划
数学思想方法是隐形的更本质的知识内容，教师需深入研究教材 ，从而挖掘有关思想
方法，结合学生的实际情况设计合理的教学目标，进行有目的、有意识地渗透。因此 ，课题

7

在实施的过程中，首先组织高中数学教师整理并学习高中 常见的数学思想方法。在每单元教
学实施之前，组织教师集体备课，确定单元计划。单元计划步骤如图- 1。

















总结与反思

图-1
二、确定每种数学思想方法的渗透过程
对于每种数学思想方法， 如何在一节课教学过程中渗透呢？课题组成员通过教学实践研
究与总结，提出方法如图-2。





在习题的解决过程中尝试运用数学思想思想方法
图-2

8
分析单元知识，整理本单元所涉及到的数学思想方法
分析教学内容 分析学生情况
确定本单元教学目标
具体知识点的教学目标 数学思想方法的教学目标
教学设计
实施教学
在知识的生成过程中挖掘数学思想方法
在例题教学中引导学生总结概括数学思想方法

高中数学思想方法教学的实施的案例
单元教学计划案例
以《普通高 中课程标准试验教科书人教A版》必修一第二章《基本初等函数》为例进
行单元教学计划设计，具体如表 -2。
《基本初等函数》单元教学计划
单元内容






教学内容分析
教材知识分析
指数函数、对数函数 和幂函数是高中新引进的函数，教科书先给出
了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数 函数图象的
绘制、指数函数的基本性质与指数函数的初步应用，做了完整的介绍.
教科书从具 体问题引进对数概念，从对数概念的建立过程可以看出，
教科书强调“对数源与指数”，以及指数运算与 对数运算的互逆关系，有
利于学生学习时发现与论证对数的运算性质.
对数函数同指数函数一 样，是以对数概念和运算法则作为基础展开
的.对数函数的研究过程也同指数函数的研究过程一样，目的 是让学生对
建立和研究一个具体函数的方法有较完整的认识.对数函数是本章的另一
个重点内容 .
在学习了指数函数和对数函数后，以两个底数相同的指数函数与对
数函数介绍了反函数.对 一般的反函数，教科书没有更多的介绍，这也是
与传统教科书有区别的地方.
幂函数是实际问题中常见的一类函数，这里只要求通过幂函数
基本初等函数
y?x< br>，
y?x
，
y?x
，
y?x
，
y?x
?1
的图象归纳出这五个幂函
数的基本性质.
数学思想方法分析
在指数 函数与对数函数概念的形成过程中要注意引导学生对分类讨
论思想方法的挖掘，在指数函数、对数函数和 幂函数的基本性质的教学
时要引导学生用数形结合思想方法进行分析，在函数的初步应用教学时
要注重函数与方程思想方法的应用.
23
1
2

9

学情分析
学生在初中学习了数的开平方、开 立方以及二次根式的概念，又学
习了正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂< br>的运算法则，这为本章内容的学习奠定了基础.
学生已经通过第一章内容的学习，掌握了研究函 数的系统的方法，
能够顺利的研究本章所涉及到的三类函数.
同时，由于我校学生的基础薄弱 ，计算能力弱，在教学过程中教师
要由浅入深，循序渐进，采用螺旋上升的方法进行知识探究以及数学思
想方法的渗透.





单元目标
知识目标
了解指数函数模型的实际背景.
理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，
掌握幂的运算.
理 解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数
函数的图象，探索并理解指数函数的单调 性与特殊点.
在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模
型.
理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化
成自然对数或常用对数；通过阅读材 料，了解对数的发展历史以及对简
化运算的作用.
通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻 画的数量关系，初步理
解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算
器 或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与
特殊点.
x
知道 指数函数
y?a
与对数函数
y?log
a
x
互为反函数(< br>a?0
，且
a?1
).
23
通过实例，了解幂函数的概念； 结合函数
y?x
，
y?x
，
y?x
，
y?x
，
y?x
?1
的图象，了解它们的变化情况.
能力目标
1
2

10

培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力.
培养学生数形结合、辩证思维好动手实践的能力.
培养学生用分类讨论的数学思想方法和函数与方程的思想方法解决
实际问题的能力.
情感态度与价值观
培养学生积极学习、刻苦钻研的良好品质.
培养学生观察分析、抽象概括的能力，数形结合、归纳总结能力和
实践与探索能力.
学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理
解、函数与方程思想方法和分类讨论的 思想方法，了解数学的应用价值.
教学重点、难点 教学重点
指数函数和对数函数的性质.
教学难点
无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.





地位和作用
本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后，系统的研 究指数
函数、对数函数、幂函数，是高中函数学习的第二阶段.
基本初等函数是高中数学到的 基础，是刻画现实世界变化规律的重
要模型，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂等，体现了 数学
的应用价值.
因此，本章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要
思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学号高中数学起着重要的作用.
课时安排 3.1指数与指数函数分两节（3.11-3.12），共4课时.
3.2对数与对数函数分三节（3.2.1-3.2.3），共5课时.
3.3幂函数1课时.
3.4函数的应用1课时.
表-2
数学思想方法的教学实践案例
概念课堂中进行数学思想方法教学的案例

11

数学概念是数学学习的起点，是推导数学定理、法则的逻辑基础，也是形 成数学思想方
法的出发点。因此，只有正确的形成概念，才能掌握和运用数学知识。章建跃博士也大力倡
导在核心概念教学上要做到“不惜时、不惜力”，在概念教学时，引导学生发现概念中蕴含的
数 学思想方法，为后续的正确运用数学思想方法解决问题打下良好的基础。从数学概念的形
成过程来看，概 念教学是获取研究对象、认识数学新对象、追溯本源的过程。而在此教学过
程中，引导学生用相对应的数 学思想方法挖掘研究对象、认识分析对象、从而达到理解所研
究的对象。从数学的发展来看，数学概念凝 聚着人类认识事物的思想精华。在概念教学中顺
其自然的渗透数学思想方法的教学，会对整个数学教学起 到“润物细无声”的效果。下面以《普
通高中课程标准实验教科书人教A版》选修2-1第二章第三节双 《曲线及其标准方程》为
例进行说明，具体如表-3。
课题：双曲线及其标准方程
《普通高中课程标准实验教科书人教A版》选修2-1第二章第三节
教学目标：
知识目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法.
能力目标：掌握双曲线的定义、标 准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、
类比的数学思想方法.
情感目标：通过 对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握
其实质的一种有效方法.
教学重点与难点
教学重点：了解双曲线的定义.
教学难点：双曲线标准方程推导过程中的化简.
教学流程：

回忆椭圆的定义，与已有的知识联系
提出类似的问题，引入双曲线的定义
根据条件，建立双曲线的标准方程
小结与作业布置

12

教学过程：
问题 师生活动 数学思想方
法
(1)我们已 经学习过椭圆.椭圆是平面上一个
动点到两个定点距离之和等于定长的点的
轨迹，当然这个定长 要大于这两个定点间的
距离.那么，平面上到两个定点的距离只差
是一个定长的点的轨迹是什么 呢？下面我
们用实验来探究这个问题.
点M处，随着拉链逐渐拉开或
者闭拢，鼻尖所 经过的点就画出
一条曲线(参照课本图2.3-1中
右边的曲线).
(2)在运动过程中，这条曲线上的点所满足
的几何条件是什么？
教师引导学生分析 实验中的
“变”与“不变”的条件.在拉
链为拉开时，
MF
1
?MF
2
；
拉开后，
FF
2
是定长，
MF
1，
数形结合的
思想方法.
老师提出问题，学生动手实验。类比推理的
取 一条拉链，拉开它的一部分，思想，培养
在拉开的两边上各取一个点，分
别固定在点
F
1
，
F
2
上，
F
1
到
F
2
的长为
2a
?
a?0
?
.把鼻尖放在
学生归纳总
结和类比推
理的能力.
MF
2
都在变化，但是它们的差
M F
1
-MF
2
不变。
(3)能否说，这条曲线是平面上一个动点到
两个定点距离之差等于定长的点的轨迹
呢？
教师通过问题引导学生进行实数形结合的
验的迁移。学生调换固定在
F
1
，
思想方法.
F
2
处的图钉位置再进行试验，
出现双曲线的另一只.
(4)应该如何描述动点M所满足的几何条件
呢？
(5)还有其他约束条件吗？
学生整理实验，抽象归纳成数学
问题.
师生共同讨论，平面上一个动点
到两 个定点距离之差的绝对值
数形结合的
思想方法.
数形结合的
思想方法

13

等于这两个定点间的距离的点
的轨迹是什么？ 写出动点M所满足的几何条件的点的集合：
P?MMF
1
?MF
2
?2a
.
明确双曲线的定义：平面内与两定点
F
1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
) 的
点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，量焦点的距离叫做双曲线的焦距.
( 6)我们是怎样建立坐标系求椭圆标准方程
的？怎样建立适当的坐标系，求双曲线的方
程呢？
完成“建系”.设点M(x,y)是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距为
2c(c?0)，那么，焦点
F
1
，
教师引导学生根据双曲线的定
义的特征建立 适当的坐标系.
类比推理
??
F
2
的坐标分别是
?-c,0
?
，
?
c,0
?
.又设点M与
F1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数
2a
.
由定义可知，双曲线就是集合
P?MMF
1
?MF
2
?2a
.
所以，
??
?
x?c
?
2
?y
2< br>?
?
x?c
?
2
?y
2
?2a
.
(7)怎样化简方程请2名学生板书演示化简过程，

?
x?c
?< br>2
?y
2
?
?
x?c
?
2
?y2
?2a
？
教师在教室中走动观察其他同
学的化简过程.
通 过同桌两个同学的互学，相互
检查对方的化简过程，是否能得
到正确的结果，出现过什么问题？
教师引导学生评价板书过程，对
好的方面进行评价，对表述有问
题的地方进行修改.
(8)椭圆有两个标准方程，双曲线也有两个
吗？另一个是如何得到的？
教师引导学 生与椭圆类比，既加
强与已有知识联系，又找出与旧
知识的不同之处（“同化”与“顺
应”）.另一个方程是


14

y
2
x< br>2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
.
2
ab
例题展示
小结：
学生小结双曲线的定义和标准方程.
布置作业：教科书习题2.3A组第1、2题.
表-3
点评：
(1)教师首先引导学生从实例入手，培养学生的观察能力和动手操作能力。
(2)教师首先未交代双曲线的定义，而是让学生类比椭圆自己概括，然后将文字文字转
化为数学语言 ，强调了符号化思想。培养学生的抽象、概括能力。
(3)应用数形结合的数学思想方法得到双曲线标 准方程，学生板书演示，培养学生的计
算能力。
(4)在例题的解决时，培养学生应用数学知识的能力。
公式、定理课堂中进行数学思想方法教学的案例
在数学公式、定理的推导证明过程中，渗透着 大量的数学思想方法，在教学过程中，不
能只强调结果，不能简单的要求学生记住结论，更重要的是要分 析在推导或证明过程中所蕴
含的数学思想方法，具体如表-4。
课题：两角差的余弦公式
《普通高中课程标准实验教科书人教A版》必修4第三章第一节
教学目标：
知识目标：掌握两角差的余弦公式，并能简单运用这个公式求解教材上的练习和习题.
能力目 标：通过探究两角差的余弦公式体会以退求进、割补思想、分类讨论观察联想
等数学思想方法和思维方法 ，体会数学思维的合理性与条理性.
情感目标：培养学生乐于思考和主动探究的思想.
教学重点与难点
教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式.
教学难点：探索过程的组织和适当引导.
请2名学生板书演示.


15

教学流程：

创设情景，以实例引入课题
明确探索目标及途径
组织学生自主探索
通过例题、练习，加强对公式的理解
小结与作业布置
教学过程：
问题 师生活动 数学思想方
法
(1)教材中由章头图给出的问题. 使学生经历把实际问题转化成
数学问题的过程；引导学生 用函
数与方程的思想方法分析求解
过程；师生共同得出本节课题.
运用图片和
动画展示从
实际问题转
化成数学问
题并运用函
数与方程的
思想方法 分
析求解过程.
(2)你认为公式会是 让学生动手验证，从而认识要探
索的公式在“恒等”方面要求的
意义.
(3)怎样联系单位圆上的三角函数线来探索
公式？
让学生亲身经历探索过程： 动画展示探

cos
?
???
?
?cos??cos?
吗？
怎 样作出角
?,?,???
的终边；
索过程，体
怎样作出角
?-?的余弦线
现“形”的过
程.

16

?
OM
?
以及角
?，?
的正弦线，
余弦线；怎样利用几何直观寻求< br>OM
的表示式.
(4)怎样联系向量的数量积去探索公式？ 让学生经历怎样用向量知识作
出探索的过程：
结合图形，明确应选择哪几个向
量，它 们怎么表示？怎样利用向
量数量积的概念和计算公式得
到探索结果.对探索过程进一步
严格化的思考和处理.
(5)例1. 求解过程由学生独立完成；通过
本例学生对三角变换有了一般
地认识，教师适时的点评.
(6)例2. 学生板书演示，教师对表述的规
范作了点评和要求
分类讨论的
思想方法的
应用
小结：
学生围绕对公式的探索过程和两角差的余弦公式两方面进行总结.
布置作业：教科书P151,1-5.
表-4
点评：
(1)教师没有直 接把课题交给学生，而是从实例入手，激发学生的求知欲望，引导学生
猜想两角差的余弦公式，促进学生 发现问题的能力，然后用向量和三角函数线的知识进行推
导，证明过程中渗透着数形结合的思想，培养学 生分析问题和解决问题的能力。
(2)两角差的余弦公式是三角计算的基础，要给与足够重视。
习题课中进行数学思想方法教学的案例
课本上的典型例题具有示范作用，在解题过程中不断的 出现数学思想方法，在教学过
程中，要引导、帮助学生归类总结。如函数与方程的思想方法在怎样的题目 中出现过，这些
题目有什么样的共同特点，有无规律等。帮助学生按数学思想方法重新归类所学知识，这 是
公式的应用.
数形结合的
思想方法.

17

一个帮助学生建立联系、升华理解的再学习过程。
数学能力的提升要在解题中 来实现。在数学习题的解决过程中，帮助学生在数学思想方
法的指导下探究性解题，从而避免机械性训练 和没有思路的乱撞。如以二次函数为载体的函
数大题，这类题目考查的内容丰富，有时需用函数与方程的 思想方法去解决，有时需用数形
结合的思想方法来解决，有时会用到分类讨论思想方法。学生要分清情况 ，对症下药，方可
使问题迎刃而解。
章建跃博士指出：“高水平的教学设计要建立在如下三个 基本点上：理解数学、理解学
生、理解教学”。其中，“理解数学”就指的是对数学思想方法及其精神的 理解，可见数学思
想方法在整个高中数学教学中的重要性，具体如表-5。
课题：正弦定理和余弦定理的综合应用
教学目标：
教学过程：
探究任务1～ 正弦定理的应用
思考1 正弦定理指出




abc
??
，比值是多少？如图,

教师引导学生用数形
sinAsinBsinC
'
△
ABC
的外接圆半径为
R< br>,过点
B
作圆的直径
BA
,在
△
A
'
BC
中，
结合的方法探究三角
形的边长a与外接圆的
探究
a
与
2R
的关系.
你有几种证明方法？






B
A
直径2R的关系.

C



O
例1 在△
ABC
中,已知
2a?b?c
,
sinA?sinBsinC
,试判断△
ABC
的形状.
2
引导学生引用正弦定
理解决问题.


引导学生用余弦公式
例2 在△
ABC
中,求证:
a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0
.

●探究任务2～余弦定理的应用
例1 在△
ABC
中, 若
a?2
,
b?c?7
,
cosB??


1
解决问题.
,则
b?
.
4



18

例2 在△
ABC
中, 若
A?120
,
a?7
,
b?c ?8
,求
b,c
.







表-5
点评：

引导学生选择适当的
公式解决问题， 在利用
正余弦解决问题时，引
导学生做出相应的三
角形，培养学生数形结
合的 意识.
(1)思考1的提出，鼓励学生用数形结合的思想方法进行一题多解，用数学思想方法指
导解题，起到了解题与思想方法相互作用的目的，从而认识了事物发展、变化的规律。
(2)四道例 题的解决，让学生在解题中领悟数学思想方法、数学文化和数学精神，优化
学生点的认知结构，更大限度 的提高了学生思考问题和解决问题的能力。
六、课题实施的效果评估
根据课题的实施，现根据调查问卷等方面对本课题的实施进行效果评估。
教师数学思想方法教学问卷调查表分析
数学思想方法教学问卷调查表(课题实施前)是在本课 题实施前对我校高中数学教师做
的第一次问卷调查，本问卷共有8个小问题，其中第1题和第8题是填空 ，前三个问题是对
我校高中数学教师基本情况的了解，后五个问题是对我校高中数学教师在教学中进行数 学思
想方法渗透的调查。第2到第7题的调查情况如下表-6。
题号
人数


选项
A
B
C
D
E

2 3 4 5 6 7
6
5
8
0
／
8
1
1
3
8
19
14
5
0
／
／
5
4
5
5
／
8
5
0
6
／
4
10
5
0
／

F
／
1
表-6
／ ／ ／ ／
从表-6可以看出，我校新进青年教师占到31.6%，占到了一大部分，而从调查中可以 看
出我校教师在教学中都有渗透数学思想方法的意识，但作为青年教师在渗透过程中，方法不
是 很妥当，渗透的比较浅，过于注重课本知识的应用，而忽视了学生学习方法的培养。
数学思想方法教学 问卷调查表(课题实施中)是在本课题实施一年后对我校高中数学教
师做的第二次问卷调查，本问卷共有 15个小问题，其中第1题填空，前三个问题是对我校
高中数学教师基本情况的了解，第4到第12题是 对我校高中数学教师在教学中进行数学思
想方法渗透的调查，第13和第14题是数学思想方法教学实践 对学生的影响，第15题是数
学思想方法教学实践对教师专业发展的影响，具体调查情况如表-7。
题号
人数


选
项
A
B
C
D
E
F
6
5
8
0
／
／
8
1
1
3
8
1
5
6
8
／
／
／
10
9
0
0
0
／
9
9
1
0
0
／
9
9
1
0
0
／
9
9
1
0
0
／
9
9
1
0
0
／
9
9
1
0
0
／
9
9
1
0
0
／
9
9
1
0
0
／
19
19
19
19
／
／
9
9
1
0
0
／
16
3
0
0
／
／
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
表-7
从表-7可以看出我校教师在教学中不仅有渗透数学思想方法的意识，而且有一定的方
法，促进了教师的 专业发展。数学思想方法的渗透能够提高学生学习的兴趣，加深学生对数
学知识的理解与掌握，能够更好 的发展学生的科学素养和精神，从而提高学生的数学成绩，
提高了学生学习能力。
学生测试卷分析
学生测试卷（前）是课题实施前对学生的一次测试，对函数概念和性质的考 查，第1
题是对分段函数的考查，第2题是对函数性质的考查。分段函数是难点，特别是对高一新生，< br>大部分学生不能完整的画出这个分段函数的图象。据课堂调查，大部分对分段函数不理解，
特别是 与常函数有关的分段函数，学生感觉无从下手。第2题是对函数性质性质的考查，函
数
y?x< br>不是学生初中所学的函数类型，以学生目前所掌握的知识无法作出此函数的图
?2

20

象，只能根据函数的奇偶性、对称性、增减性的定义来分析此函数的性质 ，而根据定义来分
析性质对学生来说就有些抽象，学生不易掌握，只有3%的学生完全能够解答此题，有 24%
的学生只能分析一个性质，剩余的学生没有解答此题。学生对函数的概念和性质掌握的不好。
学生测试卷（中）是课题实施了一段时间对学生的一次测试，是必修一第二章《基本
初等函数 》完成后的一次调查，此题是结合基本初等函数对函数性质的考查。第1题有80%
的学生能够完成，第 2题有41%的学生能够写出完整的解答过程，大部分学生能够解答疑
问，完成的比较好。学生已经掌握 了一部分常用的数学思想方法，能够尝试着用数学思想方
法来解决问题。对于这两道题学生能够结合函数 的图象来分析函数的性质，有了函数的图象，
学生能够直观的得到函数的相关性质，从“形”的分析上升 到“数”的证明。
七、研究成果
1．组织我校高中数学教师对数学思想方法进行系 统学习，加深了我校教师对数学思想
方法内涵和外延的理解，促进了我校数学教师的专业发展。
2．分析常见数学思想方法的特点，并进行有效的教学实践，提高了我校高中数学教师
教学和教研水平 。
3．按照我国数学教学的传统和教育理念的要求，研制出了高中数学思想方法教学的思
路和 案例，为广大教师提供了案例，有助于教师的教学理念向教学实践的切实转化。













21

参考文献
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[2]沈文选.中学数学思想方法[M].湖南:湖南师大出版社，1999,5
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[15]刘坤.数学教学应把学科分支的基本思想提到教与学的指导地位[J].数学通报2003,1














22

附录1
高中数学思想方法教学访谈纲要
1、在日常教学设计中，您是从哪些方面着手设计的？考虑了 哪些教学因素？学生已有
的相关知识经验是什么？
2、这堂课你渗透了数学思想方法吗？如果 有，有哪些？您是如何处理的？您对您的
处理方法满意满？达到预期的效果了吗？
3、这节课 您的教学目标达到了吗？您觉得您的学生掌握的怎么样？哪些达到了？哪
些没有达到？哪些教学实施效果 是您意料之外的？






















23

附录2
数学思想方法教学问卷调查表(课题实施前)
尊敬的各位老师，
您好！本调查为了 完成课题研究所用，您的回答我们都将保密，希望您能如实填写，
谢谢您的配合。
1．您的数学教龄是 年。
2．您的职称是：A．初级B．中级C．高级D．特级
3．您的职务（可多选）：A．普通教 师B．年级主任C．教研组长D．备课组长E、骨干教
师F、学科带头人
4．您在平时教学中注重数学思想方法的渗透吗？（ ）
A．非常重视 B．比较重视 C．不重视
5．您在帮助学生解题时怎么做？（ ）
A．要学生把解题过程抄下来
B．要学生听懂老师的讲解就行
C．帮学生从数学思想方法入手进行分析，给出完整的解题过程
D．帮学生从数学思想方法入手进行分析，鼓励学生自己解决问题
6．您在课堂教学的小结环节怎么做？（ ）
A．引导学生小结课堂学到的知识
B．小结新知识并总结学习中用到的思想方法
C．没有小结，直接做巩固练习
D．小结解题思路、方法和策略并进行推广
7．注重高中数学思想方法的教学，您觉得教师应该如何做？（ ）
A．系统学习培训
B．教师首先要重视
C．积极在教学中探索
D．以分数为上
8．数学思想方法在高中数学教学中的渗透，您的看法是怎样的？



24

附录3
数学思想方法教学问卷调查表(课题实施中)
尊敬的各位老师，
您好！本调查为了完成课题研究所用，您的回答我们都将保密，希望您能如 实填写，谢
谢您的配合。
1．您的数学教龄是 年。
2．您的职称是( )
A．初级B．中级C．高级D．特级
3．您的职务（可多选）：( )
A．普通教师B．年级主任C．教研组长D．备课组长E．骨干教师F．学科带头人
4．您认为在数学教学中数学思想方法与教材所呈现的数学结论哪个更为重要( )
A．前者B．后者C．一样重要
5．您在日常的数学备课与教学设计中，您是否有意识地分析与揭示数学思想方法？( )
A．总是B．经常C．有时D．很少E．从不
6．您在确定每节课的教学目标时，是否明确界定数学思想方法的教学目标？( )
A．总是B．经常C．有时D．很少E．从不
7．您在每节课的教学设计与组织中，是否注重数学思想方法的认知与揭示? ( )
A．总是B．经常C．有时D．很少E．从不
8．在日常的教学中，您认为注重数学思想方法的揭示和应用与教学目标的达成有关系吗？
( )
A．很大关系B．较大关系C．有些关系D．没关系E．没想过
9．您在复习导入环节，是否注重复习相关知识并强调其中蕴含的数学思想方法？( )
A．总是B．经常C．有时D．很少E．从不
10．您在新知探究的环节中是否注重用数学思想方法组织教学？( )
A．总是B．经常C．有时D．很少E．从不
11．您在例题教学环节是否注重数学思想方法的探究与应用？( )
A．非常注重B．比较注重C．有时注重D．很少注重E不太注重
12．您在课堂教学小结环节中是否注重数学思想方法的归纳与概括？( )
A．总是B．经常C．有时D．很少E．从不

25

13 ．(多选)您认为课堂教学中注重数学思想方法的分析与揭示，对学生产生影响最大的方面
是( )
A．提高学生学习的兴趣B．加深学生对数学知识的理解与掌握C．更好的发展学生的科学
素养和精神D．提高学生的数学成绩
14．您认为在课堂上注重数学思想方法的教学对学生学习能力的提高( )
A．很有帮助B．比较有帮助C．有些帮助D．很少有帮助E．没有帮助
15．你认为在高中数学教学中渗透数学思想方法对教师的专业化发展有何作用？(
A．非常好 B．比较好 C．一般 D．没有必要

















26
)

附录4
学生测试卷(课题实施前)
1.画出函数
F
?
x
?
?
?






2.已知函数
y?x
?2
，求：
（1）它是奇函数还是偶函数？
（2）它的图象具有怎样的对称性？
（3）它在
?
0，??
?
上是增函数还是减函数？
（4）它在
?
-?，0
?
上是增函数还是减函数？
?
0,x?0,
的图象.
1,x?0.
?











27

附录5
学生测试卷(课题实施中)
1.
f (x)
为
R
上的奇函数，当
x?0
时，
f(x)?x
2
?2x
，则当
x?0
时，求函数
f(x)
的解析式，并 画出函数的图象.






2.已知函数
f(x)
=lg
x
+1；
求（1）函数的定义域并判断函数
f(x)
的奇偶性；
（2）画出函数
f(x)
的图象的草图；
（3）求函数
f(x)
的单调递减区间.














28