高中数学解题思想方法技巧：杠杆开门 以轻拨重

数学破题36计
第24计 杠杆开门 以轻拨重?
●计名释义
?
派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是 智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是
支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找； 支点，从解题人的思想方法中寻找.?
其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.? < br>支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对
称点，极限点，中心点，定比分点，??，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮 点！
??
●典例示范
?
【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积.?
【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆， 要“扛”的东西就来了.线段AB的重心在其中点M点.
如果A
，
B处各放1个质点， 则其点M会聚了2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线CM上，C点放1
个质点，中点M处有2个 质点，故重心G会聚了3个质点，按杠杆原理，CG=2GM.?
至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？?
【解答】 设正四面体的顶点为V，底面中心为G，四面体中心为O. 由杠杆原理，O在GV的第1个四
等分点上，即VO=3OG.?
因此，正四面体的外半径R=
故正四面体体积为
3
h=3.?
4
4
πR
3
=36π.?
3
【点评】 如果 派大力士去解此题，他将是：①先解2个直角三角形求得“斜高”；②用列方程求外半径.
精力过剩者， 这当然是一种乐趣.??

【例2】 直线l左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的
斜率是 （ ）?
?A.
?
1
1
B.-3 C. D.3??
3
3
【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O（0，0 ）左移3个单位，上移1个单位
得M（-3，1）.?
于是k+l=k
OM
=
?
1
.选?A?.?
3
【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依 据，或“道理”.
试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到 杠杆开门，以轻拨
重之目的,即是最实惠的选择.??
【例3】 （04·上海卷）若函数f (x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转
?
得到，
2
则f (x)= ( )?
?A?.10
-x
-1 B?.10
x
-1 C?.1-10
-x
? D?.1-10
x
??
【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y=lg( x+1)的图象上取一点A（9，1），将OA绕原点逆时针旋

转90°得B（-1，9），代入各选项，仅?A?适合，∴选?A?.?
【点评】 函 数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的
点中，敏锐的找 到A（9，1），（经过旋转则得B（-1，9））这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确
的答案 ，这难道不痛快淋漓的吗？??
【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知面A BCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=
EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是 （ ）?









例4题图

?A.
3
，
2
9
15
B.5 C.6 D.
2
2
?
【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED⊥平面ABCD，且使ED=2.连AF、DF.则EF⊥面ADE.?
3
1
131
∵V
F
—
ADE
=·EF·S
△
ADE
=
??
×3×2=.?
2
322
3
315
11
V
F
—
ABCD
=·DE·S□
ABCD
=·2·3
2
=6.?∴V
多面体
=+6= .选D.?
22
33
【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题 .多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，
因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件 下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求
其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切 锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不
算经典道理吗？ ???
●
对应训练
?
1.动点A在双曲线
x
2
m
2
?
y
2
n
2
=1上，B、C为双曲线的左、右焦点，△ ABC中∠A、∠B、∠C的对边a,b,c
BC
cot的值是 （ ）?
22
满足a=10，c-b=6，则?tan
?A.
113
B?. ?C. D.1??
424
2.已知0?
a
(xy)<0 B.0a
(xy)<1 C.1a
(xy)<2
a
(xy)>2? 3.设{a
n
}是公比为a,首项为b的等比数列，S
n
是前n项和，对 任意的n∈N
+
，点（S
n
，
S
n+1
） ( )?
?A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上
C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上?

4.函数y=x+sin |x|,x∈［-π,π］的大致图像是 （ ）?








第4题图

●参考答案
1.A? 取特殊图形.BC=10
?
双曲线
焦点为B（-5,0）,C(5,0)?
c-b=6
?
2m=6,?
m=3,n=4，双曲线方程为：
x< br>2
y
2
∴
9
?
16
=1,
离心率e=
5
3
.?
取特殊位置AC⊥BC，则有?A
?
?
16
?
?
5,
?
3
?
?
,?
∴AC=
16
3
,从而AB=
34
3
,?
cos B=
15
17
,?sin B=
8
17
，而C＝90°.? 第1题解图
1
∴?tan
B
2
cot
C
1?cosB?
15
1
2
=
sinB
·cot 45°?=
17
8
?
4
.?
17
2.?D? 取特殊值.x=
1
11
8
,y=
4
,a=
2
,满足05
则?log
a
(xy)=log
1
?
1
?
2
?
?
2
?
?
=5.否定?A、B、C?.?
3.?D? 取特殊值.取a=2,b=1,则S
n< br>=
1?2
n
1?2
=2
n
-1.各选项依次为：?
?A.y=2x-1 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=2x+1?
取点（S
2
，S
3
）=(3，7)，代入各选项，仅D适合.?
4.?C? 取图形上的特殊点.令x=-
?
2
，则y=-
?< br>2
+1，点
?
?
?
?
?
2
,
?
?
?
?
2
?1
?
?
应位于直线y=x 上方，排除?
B、D?.??


A、