立体几何数学思想方法

周友良 立体几何数学思想方法例话

立体几何是高中数学教学的一个重要 内容，这部分内容蕴含着丰富的数
学思想方法。实践证明，教学中适时渗透有关的数学思想方法，有助于 学生
降低学习难度，把握知识本质和内在规律，提高数学素养，发展思维能力。
本文主要谈谈在 立体几何中的几种主要数学思想方法。

一、转化的思想方法
研究问题时，将研究 对象在一定条件下转化为熟悉的、简单的、基本的
研究对象的思维方法称为转化的思想方法。这种思想方 法是立体几何中最重
要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终。立体几何中转化的思想方法主
要体现在如下几个方面：
1、空间问题向平面问题转化
将空间问题转化为熟知的平面问题 是研究立体几何问题最重要的数学方
法之一。如线面垂直的判定定理转化为三角形全等的平面几何问题； 教材中
的几种多面体和旋转体的侧面积公式的推导（除球面和球冠外）、侧面上最
短线问题都是 通过侧面展开转化为平面几何问题；旋转体的有关问题不也是
转化为关于轴截面的平面几何问题吗？其实 ，立体几何中的三种角（线线角、
线面角、二面角）和四种距离（线线距、点面距、线面距、面面距）从 定义
到具体的计算以及三垂线定理都体现了空间到平
面的转化。
例1. 正三棱锥A-BCD，底面边长为a，侧棱为
2a，过点B作与侧棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求周长的最小值。
解析：沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面
图 .如图1，当周长最小时，EF在直线BB′上，
1

∵ΔABE≌ΔB′A F，∴AE＝AF，AC＝AD，∴B′B∥CD，∴∠1＝∠2＝∠3，
∴BE＝BC＝a，同理B′ F＝B′D＝a.∵ΔFDB′∽ΔADB′，∴
DF
a
3
4
DF< br>DB
?
＝
DB
?
AB
?
，
＝
a
2a
＝
11
4
1
2
,∴DF＝
12
a,AF＝
3
2
a.又∵ΔAEF∽ΔACD，∴BB′＝
1 1
4
a+a+a＝a,∴截面三角形的周长的最小值为a.
评析 把曲面上的最短 路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离的
问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一 种常用方法.
又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平
面上两相交 直线成的角来进行的。
实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射
影 法、展开法和辅助面法等等。

2、位置关系的转化
线线、线面、面面平行与垂直 的位置关系既互相依存，又在一定条件下
不仅能纵向转化：线线平行（或垂直） 线面平行（或垂直） ; 面面平行（或
垂直），而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行 线线、线面、面
面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定和性质定理中得到充分体现。
平行或垂直关系的证明（除 少数命题外），大都可以利用上述相互转化关系
去证明。
例2. 如图，正方体
AB CD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
在
AB
1
上，
F
在
BD
上，且
B
1
E
＝
BF
.
求证：
EF
∥平面
BB
1
C
1
C. 证法一：连
AF
延长交
BC
于
M
，连结
B1
M
.
∵
AD
∥
BC

∴△
AFD
∽△
MFB

2

∴
AF
FM
?
DF
BF

又∵
BD
＝
B
1
A
，
B
1
E＝
BF

∴
DF
＝
AE

∴
AF
FM
?
AE
B
1
E
∴
EF
∥
B
1
M
，
B
1
M< br>?
平面
BB
1
C
1
C

∴
EF
∥平面
BB
1
C
1
C.
证法二：作
FH
∥
AD
交
AB
于
H
，连结
HE

∵
AD
∥
BC

∴
FH< br>∥
BC
，
BC
?
BB
1
C
1
C

∴
FH
∥平面
BB
1
C
1
C
< br>由
FH
∥
AD
可得
BF
BD
?
BH
BA

又
BF
＝
B
1
E
，
BD
＝
AB
1

∴
B
1
E
AB
1
?
BH
BA

∴
EH
∥
B1
B
，
B
1
B
?
平面
BB
1
C
1
C

∴
EH
∥平面
BB
1
C
1
C
，
EH
∩
FH
＝
H

∴平面
FHE
∥平面
BB
1
C
1
C

EF
?
平面
FHE

∴
EF
∥平面
BB
1
C
1
C

3

说明：证法一用了证线面平行，先证线线平行.证法二则是证线面平行， 先
证面面平行，然后说明直线在其中一个平面内.

3、位置关系中的定性与定量的转化
立体几何中对点、线、面在空间中特定位置关系的研究是 从定性和定量
两个方向进行的。这两者既有联系又有区别，在一定条件下还可以互相转化。
线 线、线面、面面平行,这些定性描述,表示线线、线面、面面的成角是0°,
反之则不然；线线、线面、 面面的成角是90°，这些量的结果，则反映了
它们的垂直关系，反之亦然。可见教材中深刻地蕴含着位 置关系中的定性与
定量的转化关系。
例3. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两 两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC
＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成 的角；(2)求证：AB⊥平
面PMC.

解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.
解 ∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90°
在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a，
则PB＝a,AB＝
2
a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，
∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝
3
a.
4

∵AP⊥PC ∴在RtΔAPC中，AC＝
PA
2
?PC
(1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB，
∴BC在平面PBC上的射影是BP.
∠CBP是CB与平面PAB所成的角
2
＝
a
2
?(3a)
2
＝2a
∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°.
(2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a.
∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM.
∴AB⊥平面PCM.
说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷
径.
例4.如图9－19 ，在棱长为a的正方体ABCD—
A
１
B
1
C
1
D
1
中，O是AC、BD
的交点，E、F分别是AB与AD的中点．
图9－19
（1）求异面直线
OD
1
与
A
1
C
1
所成角的大小；

（2）求异面直线EF与
A
1
C
1
所成角的大小；

解析：（1）∵
A
1
C
1
∥AC，∴
OD
1
与AC所成的锐角或直角就是
OD
1
与
连结
AD
1
、在△
AA
1
D
1
和△
CC
1
D
1
，∵
AA
1
＝
CC
1
，
A
1
C
1
所成的角，
CD
1
，
A
1
D
1
?C
1
D
1
，
?AA1
D
1
??CC
1
D
1
?90
，∴△
AA
1
D
1
≌△
CC
1
D
1，∴
AD
1
?CD
1
．∴△
AD
1
C
是等腰三角形．∵ O是底边AC的中点，∴
5
?

OD
1
?AC
，故
OD
1
与
A
1
C
1
所成的角是90°．
（2）∵ E、F分别是AB、AD中点，∴ EF∥BD，又∵
A
1
C
1
∥
AC，∴ AC与BD所成的锐角或直角就是EF与
A
1
C
1
所成的角．∵ 四边
形ABCD是正方形，∴ AC⊥BD，∴ EF与
A
1
C
1
所成的角为90°

4、体积问题中的转化
研究简单几何体体积问题的过程中，利用祖暅定理，将一般柱体体积问
题转化为长方体体积问题，一般锥体体积问题转化为三棱锥体积问题，从而
推导出柱体和锥体体 积公式等。三棱锥体积公式推导过程中，“补法”和“割
法”的先后运用，台体的体积，即补台成锥。所 展示的割补转化；利用四面
体、平面六面体等几何体体积的自等性，以体积为媒介沟通有关元素间的联< br>系，从而使问题获解的等积转化等，均是转化的思想方法在体积问题中的体
现。
所有上 述这些都充分展现了转化的思想方法在立体几何中的“用武之
地”。教学中的适时揭示与恰当运用，确能 强化学生思维的目标意识，增强
思维的敏捷性和灵活性，提高学习效率。
例5. 如图，平 行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的 底面是边长为1的正方形，侧棱
AA
1
长为2，且∠A
1
AB＝∠A
1
AD＝60°则此平行六面体的体积为
解析：一 求平行六面体ABCD—A
1
B
1
C
1
D的体积，应用公式 .由于底面是正方
形，所以关键是求高，即
A
1
到底面ABCD的距离


6

解法一：过点A
1
做A
1
O⊥平面ABCD，垂足为O，过O做OE⊥AB，OF⊥AD，垂
足分别为E、F，连结A
1
E，A
1
F，可知O在∠BAD的平分线AC上.
∴cos∠A
1
AO·cos∠OAF＝
OA
AA
1
·
AFAO
＝
AF
AA
1
＝cos∠A
1
AF
即cos∠A
1
AO·cos45°＝cos60°
∴cos∠A
1
AO＝
∴sin∠A
1
AO＝
2
2
2
2


∴A
1
O＝A
1
Asin∠A
1AO＝
2

∴V＝S
ABCD
·A
1
O＝
2

分析二 如图，平行六面体的对角面B
1
D
1
DB把平行六
面体分割成两个斜 三棱柱，它们等底面积、等高、体
积相等，考察其中之一三棱柱A
1
B
1D
1
—ABD.

解法二：过B作BE⊥A
1
A，连 结DE，可知面BDE是其
直截面，把斜三棱柱分割成上下两部分，若把两部分
重新组合，让面 A
1
D
1
B
1
与面ADB重合，则得到一直棱柱，
ΔBDE是其底面，DD
1
是其侧棱，并且和斜三棱柱A
1
B
1D
1
—ABD的体积相等.
取BD中点O，连结OE，易知
S
ΔBED
＝
＝
1
2
1
2
BD·OE＝
1
2
BD·
DE
)?(
2
2
?OD
2
4
2

·
2
·
(
3
2
2
2
)
＝
2

∴V
直棱柱
＝S
ΔDEB
·DD
1

＝< br>2
4
11
×2＝
11
2
2
＝
VABD
111
?ABD

＝
2
∴
V
ABCD?ABCD
＝2
V
ABD
111
?ABD
点评 在解决体积问题时，“割”“补”是常用的手段，另外本题分析二给出
了求斜棱柱体积的另一方法：斜棱 柱的体积＝直截面
面积×侧棱长.

例6. 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2
倍.
证明： 设球的半径为R，正四面体的高 为h，侧面积
为S，则有V
A—BCD
＝V
O—ABC
+V
O—ABD
+V
O—BCD
+V
O—ACD
如图，即
13
Sh
7

＝4×

1
3
SR,∴h＝4R.
二、分类的思想方法
分类的思想方法在 数学中较为普遍。如立体几何中的一些知识和问题：
空间两直线的位置关系分为相交、平行、异面三种； 线面、面面的位置关系
以它们公共点的多少为标准分别分为相交、平行、线在面内的三种和平行、
相交两种，而对于相交的情形，根据其交角是否为直角又分为斜交和直交两
种；简单几何体可划分为柱 体、锥体、台体和球四类，每一类（除球外）又
可分为若干个子类；教学直线和平面所成的角时，要分直 线和平面斜交、直
线和平面垂直、直线和平面平行或直线在平面内三种情况加以说明。教学中，
不失时机地揭示并帮助学生运用分类的思想方法，有助于学生全面系统地归
纳整理，消化知识，亦有益于 训练思维的条理性和严密性，发展思维能力。
另外，根据几何图形及位置存在的不同情况也需分类讨论。
例7． 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值
是 .(只须写出一个可能的值)
解析： 该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求 积公
式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得
考虑每个面的三 条棱是如何构成的.
排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝， 然后由这三类
面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.
由平时所见的题目，至少可 构造出二类满足条件的四面体，
五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.
对于五条边为 2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设
AD=1，取AD的中点为M，平面BCM把三棱锥分成两 个三棱
锥，由对称性可知AD⊥面BCM，且V
A—BCM
=V
D—BCM< br>，所以

V
ABCD
=
1
3
S
ΔBCM
·AD.
8

CM=
CD
2
?DM
MN=
CM
故V
ABCD
=
1
3
2
2
=
2?()
=
2
2
1
2
15
2
.设N是BC 的中点，则MN⊥BC，
1
2
?CN
11
2
2
=< br>15
4
?1
=
11
2
，从而S
ΔBCM=×2×
11
2
=
11
2
，
××1=
11
6
.


对于对棱相等的四面体， 可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方
体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来 进行.亦可套公式
V=
2
12
2
12
2
12
·
(a
2
?b
2
?c
2
)(b
2
?c
2
?a
2
)(c
2
?a
2
?b2
)
，
不妨令a=b=2，c=1，则
V=
=
·
(4?4?1)(4?1?4)(1?4?4)

14
12
·
7
=.
例8． 四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1∶1∶1∶3，则平面M的
个数应有多少个?
解 这样的平面应分4种情况讨论：
1
(1)4个顶点都在平面M的同侧，则有C
4
·1＝4个(平面)； 1
(2)距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C
4
·1＝4个(平面) ；
11
(3)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C
3
· C
4
·1＝12
个(平面)
21
(4)距离比为3的顶点与其他3 个顶点中的2个同侧，则有C
3
·C
4
·1＝12
个(平面)；
∴ 一共应有4+4+12+12＝32个(平面)
例9． 直线
l
上有两点到平面α的距离相等，这条直线和平面α的位置如
何？
解析 ：(1)若直线
l
上的两点到平面α的距离都等于0，这时直线
l
在平面α< br>内(如图)
(2)若直线
l
上的两点在平面α的两侧,且到平面α的距离相等 ,这时直线
l
与
平面α相交(如
图)．
9

(3)若直线l上的两点在平面α的同一侧，且到平面α的距离相等(如图)．
∵AA
1
⊥α于点A
1
，BB
1
⊥α于点B
1
．又 A、B均在l上，且在α的同侧．∴
AA
1
BB
1

∴A A
1
BB
1
为一平行四边形．∴AB∥A
1
B
1< br> ∴这时直线l与平面α平行．
想一想：若直线l上各点到平面α的距离都相等，那么直线l和平面α的位
置关系又怎样？

三 、运动变化的思想方法
运动变化的思想方法是数学中重要的思想方法。 运用它易于提示概念的
本质，便于认识事物的性质，发现规律。立体几何中，不少的知识和问题蕴
含着这一思想方法。如圆柱、圆锥、圆台、球面和旋转面的含义；二面角可
看作是一个半平面以其棱为 轴旋转而成的；圆柱（或圆锥）亦可看作是当圆
台上底面半径和下底面半径相等（或缩小到其半径等于零 ）时，转化而成的。
教学线面平行的性质时，在定义的条件下，让该直线和平面运动起来，在运
动中保持不变的性质就是线面平行的性质。研究平面图形折叠问题时，需要
从运动变化的角度出发，弄清 图形中涉及的元素在折叠前后的数量及位置关
系的变化等。教学实践表明，有意识而及时地对这一思想方 法的揭示与渗透，
可使学生对知识的理解更深刻，运用更得心应手，思维能力得到发展，同时
使 学生受到辩证唯物主义教育。
例10。求正三棱锥相邻的两个侧面所成的二面角大小的取值范围。 < br>分析：因为这个正三棱锥是动态的，无法作出相邻的两个侧面所成的二面角
的平面角，故不能通过 正常的途径算出其范围，既然是动态的图形，我们则
可以从图形的极限思想出发思考这个问题。当正三棱 锥的高接近于零时，相
邻的两个侧面趋向于在底面内，故二面角大小趋向于
?
，但不能 等于
?
；
10

当正三棱锥的高趋向于
??
时，正三棱锥趋向于正三棱柱，故二面角大小趋
??
向于，但不能等于。故相邻的两个侧面所 成的二面角大小的取值范围
33
为
?
?
?
?
,?
?
。
?
3
?
例11 如图3，在棱长为a的正方 体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，EF是棱
AB上的一条线段，且EF＝b＜a，若Q是
A
1
D
1
上的定点，P在
C
1
D
1
上滑动，
则四面体PQE F的体积（ ）．

（A)是变量且有最大值 （B）是变量且有最小值 （C）是变量无最
大最小值 （D）是常量
分析：此题的解决需要我们仔细分析图形的特 点．这个图形有很多不
确定因素，线段EF的位置不定，点P在滑动，但在这一系列的变化中是否
可以发现其中的稳定因素？求四面体的体积要具备哪些条件？
仔细观察图形，应该以哪个面为底面？ 观察
?PEF
，我们发现它的形
状位置是要变化的，但是底边EF是定值，且P到EF 的距离也是定值，故它
的面积是定值．再发现点Q到面PEF的距离也是定值．因此，四面体PQEF< br>的体积是定值．我们没有一点计算，对图形的分析帮助我们解决了问题．

四、数与方程的思想方法
函数与方程的思想方法渗透到中学数学的全过程，具有广泛应用性。它
11

们是根据问题的数量特征及其相互关系设定变量，建立函数关系或方程，通
过对函数性态或方程 的研究而求得原问题的解的一种思维方法。
函数与方程的思想方法在立体几何中亦大有“用武之地” 。如立体几何
中求某些量的最值问题大都需要用函数的思想方法去处理，多面体和旋转体
的表面 积与体积的计算中，也经常要用方程的思想方法去解决有关问题。教
学中适时启发和引导学生用函数与方 程的思想方法去思考和解决问题，有利
于学生将某些研究对象或实际问题转化为数学问题的意识和习惯的 形成，同
时学生分析、解决问题的能力也必将得到提高。
C
例12.如图，正方形A BCD、ABEF的边长都是1,而且平面
ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在B F
上移动，若CM=BN=
a
(0?a?2).
（1）求MN的长；
D
M
B
E
N
F
（2）当
a
为何值时，M N的长最小； （3）当MN长最小
时，求面MNA与面MNB所成的二面角
?
的大小。
A
O
解析：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点
Q，连接PQ，依 题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形。
∴MN=PQ,由已知，CM=BN= a,CB=AB=BE=1,
∴
AC?BF?2
,
CP
1
?
a
2
2
,
BQ
1
?
a
2
?
, 即
CP?BQ?
a
2
C
,
∴
MN?PQ?
a
2
a
2
(1?CP)?BQ
2
2
2
(1?)?(
2
)
2
?(a?)?
2
1
2
(0?a?2)

D
M
（2）由（1）知:
当 a?
2
2
时，MN?
2
2
，
B
N
F
E
即M,N分别移动到AC,BF的中点时，

O
A
12

MN的长最小，最小值为
2
2

(3)取MN 的中点G，连接AG、BG，∵AM=AN,BM=BN，∴AG⊥MN,BG
⊥MN，
6< br>4
∴∠AGB即为二面角α的平面角。又
AG?BG?
，所以由余弦定理有 < br>(
cos
?
?
6
4
)?(
6
42
6
4
?
)?1
6
4
??
2
1
3
。故所求二面角
?
?arccos(?)
。
3
1
2?

五、类比的思想方法
所谓类比的思想方 法，就是将生疏的问题和熟知的问题进行比较，对生
疏的问题作出猜想，并由此寻求问题的解决途径或结 论。它是中学数学中重
要的思想方法之一。
立体教学中，类比的思想方法被广泛采用。由平面 上直线a∥b，b∥a∥c，
可类比出空间内的平面α∥β，β∥γ; α∥γ；与平行四边形类比可得 到
平行六面体的不少类似性质；球与圆类比可推出两球相切等球的有关性质；
“面面垂直”与“ 线线垂直”，四面体与三角形均有较多的类比性质等，都
是类比的思想方法获得运用的体现与展示。教学 中，随时注意帮助学生掌握
和善于运用类比的思想方法，可起到巩固旧知识，加速对新知识的理解和记< br>忆力。当然，类比仅是一种猜测，其正确性尚须论证。在教学过程中，注意
启发和诱导学生将空间 问题和数量关系、位置结构相似的平面问题进行类
比，可以开拓学生的思路，诱发灵感，增强数学发现能 力，同时还可以沟通
知识间的联系，帮助学生建立良好的认知结构。
例13、在平面几何中Δ
ABC
的∠
C
内角平分线
CE
分
AB
所成 线段的比
AE
EB
?
AC
BC
把这个结 论类比到空间：在三棱锥
A—BCD
中（如图）
DEC
平分二面角
A —CD—B
且与
AB
相交于
E
，则得到类比的结论
是 .



13

AE
EB
?
S
?ACD
S
?BCD
S
?
PA
?
B
?
S
?
PAB
B
?
例14．（2004广东15）由图(1)有面积关系:
PA
?
?
PB
?
PA
?
PB
则由(2) 有体
，
B
A＇
P
Ｂ＇
图(1)
A＇
C＇
C
A< br>P
Ｂ＇
图(2)
A
积关系:







V
P
?
A
?
B
?
C
?
V
P
?
ABC
?
.
43。解析：本题是道很好的类比创新试题，由体积公式和比例性质不难得出
答案为：< br>PA?PB?PC
PA?PB?PC
'''

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湖南祁东育贤中学 周友良 421600

14