最新高中“解析几何”常用的数学思想方法

“解析几何”中常用的数学思想方法”
数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥 梁，也是解决问题的思维策略．《解
析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：
1.数形结合的思想
数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就 是充分考查
数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.
例1．如图,圆O
1与圆O
2
的半径都是1,O
1
O
2
=4,过动点P分别 作圆O
1
、圆O
2
的切线PM、
PN（M、N分别为切点），使得< br>PM?2PN
,试建立适当的坐标系，并求动点 P的轨迹
方程．
思路分析 ：本题是解析几何中求轨迹方
程问题，由题意建立坐标系，写出相关点
的坐标，由几何关系式： ＰＭ＝
2PN
,
即 ＰＭ＝２ＰＮ，结合图形由勾股定
理转化为：
P O?1?2(PO?1)
,设
2
1
2
2
２２
y
M
P
N
O1
O
O2
x
P(x,y),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程
解：以O1
O
2
的中点O为原点，O
1
O
2
所在直线为 x轴，建立如图所示平面直角坐标
系，则O
1
（-2，0），O
2
（ 2，0），由已知：ＰＭ＝
2PN
,即ＰＭ＝２ＰＮ，因为两圆的
２２
2半径都为1,所以有：
PO
1
2
?1?2(PO
2
< br>?1)
，设P（x,y）则（x+2）
2
+y
2
-1=2[( x-2)
2
+y
2
-1]，
即
(x?6)
2
?y
2
?33

综上所述，所求轨迹方程为：
(x?6)
2
?y
2
?33
（或
x
2
?y
2
?12x?3?0
）．
2.分类讨论的思想
所谓分类讨论，就是当问题 所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某
个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类 的结论，最后综合各类结果得到整个问题
的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为 整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分 别在
ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在
线 段ＤＣ上．
（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程；
（Ⅱ）求折痕的长的最大值。

解(I) （1）当
k?0
时,此时A点与D点重合, 折痕所在的直线方程
y?
1
.
2
（2）当
k?0
时，将矩形折叠后A点落在线段CD上的点为G(a,1)
所以A与G关于折痕所在的直线对称，有
k
OG
?k??1,
1k??1?a??k

a
故G点坐标为
G(?k,1)
，从而折 痕所在的直线与OG的交点坐标（线段OG的中点）为
k
2
k
k11k
M(?,)
，折痕所在的直线方程
y??k(x?)
，即
y?kx??
2222
22
k
2
k
1
?
由（1 ）（2）得折痕所在的直线方程为：k=0时，
y?
；
k?0
时
y? kx?
2
22
（II）(1)当
k?0
时，折痕的长为2;
k
2
?1k
2
?1
),P(?,0)
(1) 当
k?0
时, 折痕所在的直线与坐标轴的交点坐标为
N(0,
22k
k
2
?1
2
k
2
?1
2
(k?1)3
y?PN?()?(?)?

2
22k
4k
2
3(k
2
?1)
2
?2k?4k
2
?(k
2?1)
3
?8k
y?

4
16k

令< br>y

?0
解得
k??
27
2
?2
∴
PN
max
?
16
2
所以折痕的长度的最大值2。
3.参数思想
参数法解题的关键是恰到好处地利用或引进参数，沟通已知和未知之间的内在联 系，
利用参数提供的信息，顺利地解答问题。
例3．已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1 (1)求证无论a为何值，直线总过第一象限．(2)
为使这直线不过第二象限，求a的范围．

解：(1)将方程整理得为a(3x-y)+(-x+2y-1)=O
对任意实数a，所给直线恒过直线3x-y=O与x-2y+1=0的交点(
∴直线系恒过第一象限内的定点(
13
，)，
55
13
，)；
55
1
(2)当a=2时，直线为x=不过第二象限；当a≠2时， 直线方程化为：
5
?
3a?1
?
3a?1
?0?0
??
3a?11
?
a?2
?
a?2
y=x-，不过第二象限 的充要条件为
?
或
?

?
a>2，总
a?2a ?2
?
?1
?0
?
1
?0
??
?
a?2
?
a?2
之，a≥2时直线不过第二象限．

4.待定系数法的思想：根据给定条件求直线和圆方程时，待定系数法和代点法是常用
的方法．
例4．条件：(1)截
y
轴弦长为2.(2)被
x
轴分成两 段圆弧，其弧长之比为3:1.
在满足(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线
l:x?2y? 0
距离最小时圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
(x?a)
2
? (y?b)
2
?
?
2
，则由截
y
轴的弦长为2得< br>?
2
?a
2
?1

由被
x
轴分成两 段圆弦，其弧长之比为
3:1?2
?
2
?(2b)
2
，∴< br>2b?a?1

22
圆心
(a、b)
到直线
x?2y ?0
的距离
d?
22222
a?2b
5
2

2222
即
5d?(a?2b)?a?4b?4ab?a?4b?2(a?b)?2b?a? 1

a?b
2

a?1

a??1

当且仅当 即 或 时，取“=”
22

2b?a?1

b?1

b??1

∴
a
min
?
5
， 此时
?
?2b?2

5
2222
所以，所求圆的方程为(x?1)?(y?1)?2
或
(x?1)?(y?1)?2

5.函数、方程、不等式思想
函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大 ，综合知识多、题型
多、应用技巧多.函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数， 结合

初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解方程以及讨论参数的取 值范
围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.
例5. 两条平行直线分别过点P(-2，-2)，Q(1，3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P、Q旋转并互相保持平行．
(1)求d的变化范围．
(2)用d表示这两条直线的斜率．
(3)当d取最大值时，求这两条直线的方程．
解 当过P、Q的两条直线的斜率为O时， d=5；当这两直线斜率不存在，即与x轴
垂直时， d=3． 设l
1
：y+2=k(x+2)；l
2
：y-3=k(x-1)
(1)由平行线间的距离公式得d=
|3k?5|
k?1
2

即(d-9)k+30k+d-25=O ……① 由△=900-4(d-9)(d-25)≥O，得O34

22222
?15?d34?d
2
(2)由①得k=(d≠3)
d
2
?9
(3)当d=
34
时,k=-
∴ l
1
：y+2=-
3

5
33
(x+2)， l
2
：y-3=-(x-1)。
55
长期以来，中学师生
身处应试 教育的怪圈，教师和学生会不由自主地陷入题海之
中，教师担心某种题型没讲，高考时做不出，学生怕少 做一道题，万一考了损失太惨
重，在这样一种氛围中，往往忽视了数学思想方法的培养。
在数学 学习中，
如果有了
正确的数学思想方法，采取了恰当的数学思维策略，能有效地帮助学生理解数 学的本
质，掌握好高中数学。



徐贻林，邮编215011，身份证号320113