高中数学解题思想方法技巧全集2 西瓜开门 滚到成功

第2 西瓜开门 滚到成功

●计名释义
比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球
能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.
数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法. 基本的数学思想并不多，只有五种：
①函数方程思想，②数形结合思想 ，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想. 数
学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

●典例示范
［题1］ (2006年赣卷第5题)
对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f ?(x)?0，则必有
A. f(0)＋f(2)< 2f(1) B. f(0)＋f(2)≤2 f(1)
C. f(0)＋f(2)≥ 2f(1) D. f(0)＋f(2)?2f(1)
［分析］ 用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：分类讨论思想. 这点
在已条件(x-1)f
＇
(x)≥0中暗示得极为显目.
其一，对f
＇
(x)有大于、等于和小于0三种情况；
其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.
因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.
［解一］ (i)若f
＇
(x) ≡ 0时，则f(x)为常数：此时选项B、C符合条件.
(ii)若f
＇
(x)不恒为0时. 则f
＇
(x)≥0时有x≥1 ，f(x)在
?
1,?
?
上为增函数；f
＇
(x)≤0时< br>x ≤1. 即f(x)在
?
??,1
?
上为减函数. 此时，选项C、D符合条件.
综合(i)，(ii)，本题的正确答案为C.
［插语］ 考场上多见的错误是选D. 忽略了f
＇
(x) ≡ 0的可能. 以为(x-1)f
＇
(x) ≥0
中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0 与f
＇
(x)=0的意义是不同的：前者只涉x的一个
值，即x=1，而后是对x的所 有可取值，有f
＇
(x) ≡ 0.
［再析］ 本题f(x)是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合. 而选择支
中，又是一些具体的函数值f(0)，f(1)，f(2). 因此容易使人联想到数学⑤：一般特殊思想.
［解二］ (i)若f
＇
(x)=0，可设f(x)=１. 选项Ｂ、Ｃ符合条件.
(ii)f
＇
(x)≠0. 可设f(x) =(x-1)
2
又 f
＇
(x)=2(x-1).
满足 (x-1) f
＇
(x) =2 (x-1)≥0，而对 f (x)= (x-1). 有f(0)= f(2)=1，f(1)=0
选项C，D符合条件. 综合(i)，(ii)答案为C.
［插语］ 在这类f (x)的函数中，我们找到了简单的特殊函数(x-1)
2
. 如果在同类中找到
了(x-1)，(x-1)
3
，自然要麻烦些. 由此看到，特殊化就是简单化.
［再析］ 本题以函数(及导数)为载体. 数学思想①——“函数方程(不等式)思想”. 贯穿始
终，如由f ?(x)= 0找最值点x =0，由f ?(x)>0(<0)找单调区间，最后的问题是函数比大小的
问题.
由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.
［解三］ (i)若f (0)= f (1)= f (2)，即选B，C，则常数f (x) = 1符合
条件. (右图水平直线)

4
4
22

(ii)若f (0)= f (2)< f (1)对应选项A.(右图上拱曲线)，但不满足条件(x-1) f ?(x)≥0
若f (0)= f (2)> f (1)对应选项C，D(右图下拱曲线). 则满足条件(x-1) f ?(x)≥0.
［探索］ 本题涉及的抽象函数f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1)
f ?(x)≥0，并由此可以判定f (0)+ f (2) ≥ f (1). 自然，有这种性质的具体函
数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.
［变题］ 以下函数f (x)，具有性质(x-1) f ?(x)≥0从而有f (0)+ f (2) ≥2 f (1)的函数是
A. f(x)= (x-1) B. f(x)= (x-1)
2
C. f(x)= (x-1)
3
D. f(x)= (x-1)
2005

［解析］ 对A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对B，f (0)无意义；
对C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；
答案只能是D. 对D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.
且f ?(x)=
2006
2005
1
3
1
52006
(x-1)
2005
使得 (x-1) f
＇
(x) =(x-1)
2006
2005
1
(x-1)
2005
≥0.
2n
2m?1
［说明］ 以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如f?(x)=(x-1)
其中m，n都是正整数，且n≥m.
，
［点评］ 解决抽象函数的办法，切忌“一般 解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，
抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应 用.
［题2］ 已知实数x，y满足等式
4x
2
?9y
2
?36
，试求分式
y
x?5
的最值。
［分析］ “最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.
［解一］ (函数方程思想运用)
令
y
x?5
?k
?
y = k (x-5) 与方程
4x
2
?9y
2
?36
联立
消y，得：< br>(4?9k
2
)x
2
?90k
2
x?9?25k2
?36?0

根据x的范围
x?
?
?3,3
?
应用根的分布得不等式组：
?
??(90k)
2
?4(9k
2
?4)(9?25k2
?36)?0
?
222
f(3)?9(9k?4)?90?9k?9? 25k?36?0
?
?
?
f(3)?9(9k
2
?4)?9 0?9k
2
?9?25k
2
?36?0

2
??90k
?
?3??3
2
?
?2(9k?4)
?
解得
?
1
2
?k?
1
2
即
?
1
2
1
2
≤
≤
1
2
y
x?5
≤
1
2
即所求的最小值为
?
1
2
，最大值为
1
2
.
［插语］ 解出
?
想方法试试.
≤
y
x?5
，谈 何易！十人九错，早就应该“滚开”，用别的思
［解二］ (数形结合思想运用)
由
4x?9y?36
得椭圆方程
22
x
2
9?
y
2
4
?1
，

k?
y
x?5
看成是过椭圆上的点(x，y)，(5，0)的直
0

线斜率(图右).
?
4x
2
?9y
2
?36
联立
?
得
(4?9k
2
)x
2
?90 k
2
x?9?25k
2
?36?0

?
y?k(x ?5)
令
??0
得
k??
1
2
，故
y< br>x?5
的最小值为
?
1
2
，最大值为
1
2< br>.
［插语］ 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善
于“滚到”，还要善于“滚开”.
［点评］ “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.
解题时，要打破思维固化，在 思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基
本技能技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.
●对应训练
1.若动点P的坐标为(x,y)，且lgy，lg|x|，lg
的 ( )?


2.函数y=1-
1?x
2
y?x
2
成等差数列，则动点P的轨迹应为图中
(-1≤x<0)的反函数是 ( )?
22
?A.y=-
2x?x
(02x?x
(0?C. y=-
2x?x
(-1≤x<0) ?D. y=
2x?x
(-1≤x<0)?
3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,则下列结论中正确的是 ( )?
?A.b
2
≤ac B.b
2
>ac ?C.b
2
>ac且a>0 D.b
2
>ac且a<0?
●参考答案
1.【思考】利用题设的隐含条件 .由条件知x≠0,y>0且y>x.选项B中无x<0的图像，选
项D中无x>0的图像，均应否定； 当x=y∈R+时，lg
y?x
2
22
无意义，否定A,选C．?
【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题
的常规解法是：当 x≠0且y>x时，由lgy+lg
或y=2x(x≠0,y>0).?
2.【思考】分析各 选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从
这两方面滚动着手排除错误的选项. ?
原函数定义域为-1≤x<0，∴其反函数值域为-1≤y<0，排除B、D.?
∵原函 数中f(-1)=1,∴反函数中f(1)=-1,即x=1时f(x)有定义,排除C,∴选A．?
3.解析一 分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B也真;若D真,则B也真,故
C、D皆假.?
取符合条件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的实数a=0,b=-1,c=0检验知选B.?
解析二 由选择支,联想到二次函数的判别式.?
-1-1
y?x
2=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0.∴y=-x

令f(x)=ax+2bx+c,则f(-2)=4a-4b+c>0,?
f(1)=a+2b+c<0,故Δ=4b-4ac>0,即b>ac,故选B.?
【点评】在解题时易受题设条件的干扰,企图从已知不等式出发:?
4b<4a+c, ①?
2b<-a-c, ②?
①×②不等号的方向无法确定,思维受阻.?
用逻辑分析法和特殊值检验的方法两种方法滚动 使用，简便明快,如解析一.用判别式法逻辑
性强但思路难寻,如解析二.一般在做题时,为了使选择题 解题速度变快,推荐学生使用解析
一.??

22
2