2020年高考数学复习高中数学解题思想方法平移法

平移法
一、内容概述
所谓“平移法”就是通过点的平移或者线的平移得到图 象的平移，从而使问题
得到解决的方法，在高中数学中“平移法”是一种重要的解题方法：如平移变换是
可用来化简函数解析式，以便于讨论函数图象的性质和画出函数图象的一种重要
方法；用平移的 方法将异面直线所成角转化为相交直线的夹角的问题；三角函数
的平移变换，线性规划问题等等，借助平 移可以使以上问题得到简化和解决。
二、例题讲解
接下来我们将分四部分对高中数学的“平移法”进行讲解：
类型一：用平移的方法画函数的图象
例1：画出下列函数的图象
y?
x?2

x?3
x?211
该函数图象可由函数
y??
的图象向左平移3个单位，
?1?
x?3x?3x
解析：
y?
再向上平移1个单位得到如图所示：

例2
（2017山东 理10）已知当
x?
?
0,1
?
时，函数
y?
?< br>mx?1
?
的图象与
y?x?m
的
2
图象有且只有一 个交点，则正实数
m
的取值范围是
（A）
?
0,1
?U
?
?
23,??
（B）
?
0,1
?
U
?
3,??
?

?
（C）
0,2
?
（D ）
0,2
?
?
U
?
3,
??
?

?
U
?
23,??
?
??
?
【解析】：
根据题意，由于m为正实数，
y?
?
mx?1
?
为二次函数 ，是将函数
y?mx
2
的
2

图象向右平移
1
?
1
??
1
?
个单位得到的，在区间
?
0 ,
?
为减函数，
?
,??
?
为增函数，
m
?
m
??
m
?
函数
y?x?m
是将函数
y?x
的图象向上平移m个单位得到的，为增函数，
分两种情况讨论：
① 当
0?m?1
时，有
1
?1
，
m
2
在区 间
?
0,1
?
上，函数
y?
?
mx?1
?
为减函数，其值域为
?
?
m?1
?
2
,1
?
，
??
函数
y?x?m
为增函数，其值域为
?
m,1?m
?
，
此时两个函数的图象有1个交点，符合题意；

② 当m>1时，有
1
?1
，
m
2
?
1
??
1
?
,??
y?
?
mx?1
?
在区间
?
0,
?
为 减函数，
??
为增函数，
?
m
??
m
?
函 数
y?x?m
为增函数，其值域为
?
m,1?m
?
，
若两个函数的图象有1个交点则有
?
m?1
?
?1?m
，
解可得
m?0
或
m?3
，
又由m为正数，则
m?3
，
综合可得m的取值范围是
?
0 ,1
?
U
?
3,??
?
,本题选B。
【评析】：
函数图象的平移变换规则简记为：“左加右减，上加下减”，并注意左右的加
减是对x而言，上 下的加减是针对f(x)而言。
2

类型二：立体几何中的“平移法”
（2017?新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠ABC=120°，AB=2，
BC=C C
1
=1，则异面直线AB
1
与BC
1
所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】【解法一】设M、N、P分别为AB ，BB
1
和B
1
C
1
的中点，得出AB
1
、
BC
1
夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、
MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．

【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．

【解答 】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB
1
和B
1
C1
的中点，

则AB
1
、BC
1
夹角为MN和NP夹角或其补角

（因异面直线所成角为（0，
可知MN=
NP=BC
1
=
AB1
=
；

，

]），

作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；

∵PQ=1，MQ=AC，

△ABC中，由余弦定理得

AC
2
=AB
2
+B C
2
﹣2AB?BC?cos∠ABC

=4+1﹣2×2×1×（﹣
=7，

∴AC=
∴MQ=
，

；

=；

）

在△MQP中，MP=
在△PMN中，由余弦定理得

cos∠MNP==
]，

．

=﹣；

又异面直线所成角的范围是（0，
∴AB
1
与BC
1
所成角的余弦值为
【解法二】如图所示，

补成四棱柱ABCD﹣ A
1
B
1
C
1
D
1
，求∠BC
1
D即可；

BC
1
=
C
1
D=
∴
，BD=
，

+BD
2
=，

=，

∴∠DBC
1
=90°，

∴cos∠BC
1
D==．


【评析】：
应用 平移法计算两条异面直线所成角主要的方法：利用平行四边形的对边或
三角形的中位线平移两条异面直线 中的一条（或两条都平移）得到两条相交直线，
构造三角形，解三角形，求出两相交直线的夹角，即可求 得两条异面直线所成角。

特别注意两异面直线所成角的范围是
?
0o
,90
o
?

类型三：三角函数中的“平移法”
π
（2016四川卷理3．）为了得到函数
y?sin(2x?)
的图象，只需把函数< br>y?sin2x
3
的图象上所有的点
ππ
个单位长度

（
B
）向右平行移动个单位长度

33
ππ
（
C
）向左平行移动个单位长度

（
D
）向右平行移动个单位长度

66
（
A
）向左平行移动

【解析】：
ππ由题意，为得到函数
y?sin(2x?)?sin2(x?)
的图象，只需把函数
y?sin2x
36
π
的图象上所有的点向右平移
6
个单位长度， 故选D.
【评析】
本题考查三角函数图象的平移，在函数
f(x)?Asin(ω x?φ)
的图象平移变换中
要注意“
ω
”的影响，变换有两种顺序：一种y?sinx
的图象向左平移
φ
个单位
1
倍，纵坐标不变，得< br>ω
1
y?sin(ωx?φ)
的图象，另一种是把
y?sinx
的图象横坐标变为原来的倍，
ω
φ
纵坐标不变，得
y?sinωx
的图象，再向左平移个单位得
y?sin(ωx?φ)
的图
ω
得
y? sin(x?φ)
的图象，再把横坐标变为原来的
象．
类型四：平移法在线性规划当中的应用
?
x?y?1?0
?
（20 16新课标Ⅲ13）若x，y满足约束条件
?
x?2y?0
,则z=x+y的最大值为
?
x?2y?2?0
?
_____________.
【解析】
试题分析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.由图知，

?< br>x?1
?
x?2y?2?0
?
当直线
z?x?y
经过 点
A
时，z取得最大值.由
?
得
?
1
，即y?
?
x?2y?0
?
?2
113
A(1,)
，则
z
max
?1??
．
222

【评析】：
解决线性规划问题关键看目标函数的几何意义，当目标函数是线性的目标函
数时主要用平移的方 法求解目标函数的最大值，利用图解法解决线性规划问
题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中 的每一个不等式当作等式，作
出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2) 作出
目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果．

三、配套练习
1
1、把函数
y??
的图象向左平移1个单位，再向 上平移2个单位后，所得函数
x
的解析式应为（ ）
2x?32x?32x?1 2x?3
A、
y?
B、
y??
C、
y?
D、
y??

x?1x?1x?1x?1
2、函数f（x）= ，则y=f（x+1）的图象大致是（ ）
A、B、

C、D、 < br>3、将函数y=2
x
+1的图象按向量a平移得到函数y=2
x+1
的 图象，则a等于（ ）
A、（﹣1，﹣1）B、（1，﹣1）C、（1，1）D、（﹣1，1）
4.函数
y ?sinx?3cosx
的图像可由函数
y?sinx?3cosx
的图像至少向右平
移_____________个单位长度得到.

5、在平面直角坐标系xOy中 ，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正
方向平移5个单位，得到直线l
1
． 再将直线l
1
沿x轴正方向平移1个单位，沿y
轴负方向平移2个单位，又与直线l重 合．则直线l与直线l
1
的距离是________

6、已知约束条件
A、1B、21C、13D、3
，则目标函数的最大值为( )


7、如图，已知 P是矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别
是AB，PC的中点．若∠PDA =45°，则EF与平面ABCD所成角的大小是（ ）

A、90°B、60°C、45°D、30°


配套练习答案
1.【解析】：把函数的图象向左平移1个单位，得到的函数解析式为
，然后再向上平移2个单位，得到 的函数解析式为
．
所以，把函数的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得

函数的解析式应为
故选C．
．
2.【解析】：y=f（x+1）的图象可以看成把f（x）=
向左平移1个单位得到的，
而f（x）的图象如图所示：
的图象

故选B．
3.【解析 】：设=（h，k）则函数y=2
x
+1的图象平移向量后所得图象的解析式
为y=2
x
﹣
h
+1+k
∴∴
∴=（﹣1，﹣1）
故选A
4. 【解析】因为
?
?
?
?
?
?
?
?
2
?
?
??
y?sinx?3cosx? 2sin
?
x?
?
,y?sinx?3cosx?2sin
?
x?
?
?2sin
?
?
x?
?
?
?3
?
3
?
3
?
3
?
??
?< br>?
，所以函数
y?sinx?3cosx
的图象可由函数
y?sinx ?3cosx
的图象至少
向右平移
2
?
个单位长度得到.
3
5.【解析】：设直线l的方程为：y=kx+b，
将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，
得到l
1
：y=k（x﹣3）+b+5，
再将直线l
1
沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，
得到l
2
：y=k（x﹣3﹣1）+b+3=kx+b+3﹣4k，
根据题意，l
2
与l重合，所以，3﹣4k=0，
解得，k=，
所以，l和l
1
的方程分别为：y=x+b和y=x+b+，

再由两平行直线间的距离公式得，d=
即直线l与l
1
的距离为：
故答案为 ：．
，

6.【解析】：画出不等式组不是的可行域，将目标函数变形，数形结合 判断出z
最大时，a的取值范围

可知目标函数过点B（7，9）时，目标函数最大，且为7+18-4=21，
故答案为B.
7.【解析】：取PD中点G，连接AG、FG，
∵EF分别为AB、PC的中点，
∴AE=AB，GF∥DC且GF=DC，
又在矩形ABCD中AB∥CD且AB=CD，
∴AE∥GF且AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF，
∴AG与平面ABCD所成的角等于EF与平面ABCD
所成的角，
过G作GH⊥AD，垂足为H，则GH∥PA
∵PA⊥平面ABCD，∴GH⊥平面ABCD，
∴∠GAH为AG与平面ABCD所成的角，即为所求角，
∵∠PDA=45°，G为PD的中点，
∴∠GAH=45°，
即EF与平面ABCD所成的角为45°．
故选：C．