高中数学解题思想方法技巧：耗子开门 就地打洞

数学破题36计
第11计 耗子开门 就地打洞
?
●计名释义
?
《说唐》中有这样一个故事.唐太宗征北，困在 木阳城，绝粮.军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮
食.结果，真的在地下深处发现了粮仓.太宗嘉奖 耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙
得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽.?
庞大的数学宝库也是众多的“数学耗子”啃穿的.你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出< br>来的，七位数字对数表也是这样啃出来的.?
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定“啃”吧.??
●典例示范
?
【例1】 已知f (x)=
3
1?2x
，判定其单调区间.?
【分析】 用求导法研究单调性当然可行，但未必简便，直接从单调定义出发，循序渐进，也可将“ 单
调区间”啃出来.?
【解答】 设x
1
2
，f (x
1
)-f (x
2
)=
3
1?2x
-
3
1?2x
.?
【插语】 x
1
，x
2都在根号底下，想法把它们啃出来.有办法，将“分子有理化”.?
【续解】
3
1?2x
1
?
3
1?2x
2
[KF（S]3[]1-2x?1[KF)]-[KF(S]3[]1-2x?2[KF)]?
=< br>(
3
1?2x
1
?
3
1?2x
2
) (
3
(1?2x
1
)
2
?
3
(1?2x< br>1
)(1?2x
2
)?
3
(1?2x
2
)< br>2
)
3
(1?2x
1
)?
3
(1?2x1
)(1?2x
2
)?(1?2x
2
)
3
22
22
易知
3
(1?2x
1
)?
3
(1?2 x
1
)(1?2x
2
)?
3
(1?2x
2
)
=△>0.?
故有原式=
2(x
1
?x
2
)
<0.?
?
1?2x
的增区间为（-∞,+∞).? 故f (x)=
3
【点评】 耗子开门是一个“以小克大，以弱克强”的策略.?函数的单调法即不等式的 比较法.方法基础，
可靠，只要有“啃”的精神，则可以透过形式上的繁杂看到思维上的清晰和简捷.? ?
【例2】 （04·天津卷）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表 示所选3人
中女生的人数.?
（Ⅰ）求ξ的分布列；? （Ⅱ）求ξ的数学期望；?
（Ⅲ）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.?
【思考】 本题设问简单，方向明确，无须反推倒算，只要像耗子开门，牙啃立功就是了.【解答】 （Ⅰ）
1
C
3
C
2
13
4
4
C
2
?
6人中任选3人，其中女生可以是0个，1个或2个，P（ξ=0）=
3
?
;?P(ξ=1)=；P (ξ
5
C
6
5
C
3
6< br>2
C
1
1
4
?C
2
?
=2)=，故 ξ的分布列是：?
3
5
C
6

ξ
P
（Ⅱ）ξ的数学期望是：?
Eξ=0×
0 1 2
1

5
3

5
1

5
131
+1×+2×=1.?
555
4
.??
5
(Ⅲ)由（Ⅰ），所选3人中女生人数ξ≤1的概率是：P（ξ≤1）=P (ξ=0)+P(=1)=
【例3】 （04·上海，20文）如图
，直线y=
11
x与抛物线y=x
2
- 4交于
28
A
、
B两点，线段AB的垂直平分线与
直线y= -5交于点Q.?
(1)求点Q的坐标；?
（2）当P为抛物线上位于AB下方
（含点A
、
B）的动点时，
求△OPQ的面积的最大值.?
【思考】 同例1一样，本题设问明确， 例3题图
思路并不复杂，只须按所设条件逐一完成就是，只是要严防计算失误.?
1
2
?
y?x?4,
?
?
8
【解答】 （1）由
?
?x
2
?4x?32?0.
?
?
y?
1
x
?
2
?
设AB中点为M（x
0
，y< br>0
），则x
0
=
x
1
?x
2
1< br>?2
，y
0
=x
0
=1.?
2
2
故有M（2，1），又AB⊥MQ，∴MQ的方程是：y-1=-2(x-2)，令y=-5，得x=5，点Q的 坐标为(5,?-5?).
?
(2)由（1）知|OQ|=5
2
为定值.?
?
1
2
设P(x，x-2)为抛物线上
AB
上一点，由（1 ）知x
2
-4x-32≤0，得x∈［-4,8］，又直线OQ的方程为：
8
x+y=0，点P到直线OQ的距离：?
1
|x?x
2
?2|
|(x?4)
2
?48|
8
d=，显然d≠0，(否则△PO Q不存在)，即x≠4
3
-4，为使△POQ面积
?
282
最大只须 d最大，当x=8时，d
max
=6
2
.?
∴(S
△
POQ
)
max
=
11
·|O Q|·d
max
=·5
2
·6
2
=30.??
22

【例4】 O为锐角△ABC的外心，若S
△
BOC?，S
△
COA
?，S
△
AOB
成等差数列，求tan A·tanC的值.?

【解答】 如图，有：S
△
B OC
+S
△
AOB
=2S
△
COA
.
不妨设△ABC外接圆半径为1，令∠BOC=α=2A,
∠AOC=β=2B，∠AOB=r=2C，
则有：
11
sinα+sinγ=sinβ，
22
即sin2A+sin2C=2sin2B.?
2sin(A+C)cos (A-C)= 4sinBcosB.? 例4题解图
∵sin(A+C)=sinB≠0,?cosB= -cos(A+C).?
∴cos (A-C)+2cos (A+C)=0,?cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC – sinAsinC )=0.?
3cosAcosC=sinAsinC，故tanAtanC=3.?
【点评】 本例 中的“门”不少，其中“同圆半径相等”是“门”，由此将面积关系转换成有关角的关系；
以下通过圆心 角与圆周角的转换，和差化积与倍角公式，诱导公式、和角公式、同角三角函数关系等依次
转换，这便是 一连串的“门”，逐一啃来，从而最终达到解题目的.??
●对应训练
?
1.在棱 长为4的正方体ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
O是正方形A
1
B
1
C
1D
1
的中心，点P在
棱CC
1
上，且CC
1
= 4CP.?
(Ⅰ)求直线AP与平面BCC
1
B
1
所
成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）设O点在平面D
1
AP上的
射影是H，求证：D
1
H⊥AP；?
（Ⅲ）求点P到平面ABD
1
的距离.? 第1题图
2.证明不等式：
1?
1
2
?
1
3???
1
n
?2n
(n∈N
+
).?
,< br>?
3.设x∈
?
?
?
?
?
4
1?
2
3
?
3?
?
?
?
2
?< br>?
sinx?cos
2
x?
?
?sinx?
，f (x)=
??
，求f (x)的最大值与最小值.?
?
??
4?
2
?
24
?
3
?
?
4.若x
，
y，z∈R
+
，且x+y+z=1，求函数u=
?
?
1
?
?
1
?
?
1
?
?1
?
?
?1
?
?
?1
?
的最小值.??
??
?
x
?
?
y
?
?
z
?
●参考答案
?
1.建立如图的空间直角坐标系，有：?
A(4,0,0)，P(0,4,1) ，B(4,4,0)，B
1
(4,4,4)，D
1
(0,0,4).?(Ⅰ) 连BP，∵AB⊥平面BCC
1
B
1
.?
∴AB⊥BP，∠APB 是直线AP与平面BB
1
C
1
C的夹角，∵
|BP|
=4?1?17.
?
∴tan∠APB=
2
|AB|
|BP|< br>?
4
17
.?
17
∴AP与平面BB
1
C
1
C所成角为arctan
(Ⅱ)连D
1
B
1
，则 O∈DB
1
.?
4
17
.?
17

∵
D
1
B
1
=（4 ,4,0)，
AP
=（-4,4,1）,?
∴
D
1
B1
·
AP
=-16+16+0=0.?
即
AP
⊥D
1
B
1
，也就是
A
1
D
⊥
D
1
O
.? 第1题解图
已知OH⊥面AD
1
P，∴AP⊥D
1
O(三垂线定理)?
（Ⅲ）在DD
1
上取|
DQ
|=1，有Q(0,0,1)，作QR⊥AD< br>1
于R，∵RQ∥AB，∴PQ∥面ABD
1
，∵AB⊥面AA
1D
1
D，
∴AB⊥QR，则QR⊥面ABD
1
，QR之长是Q到 平面ABD
1
的距离，
11
|
AC
1
|·|QR
|=]|
AD
|·|
D
1
Q
|.?
22
3
即：4
2
·|
QR
|= 4×3，∴|
QR
|=
2
.?
2
3
已证PQ∥
ABD
1
，∴点P到平面ABP
1
的距离为
2
.?
2
∵S
△
AD
1
Q
=
点评：虽 是“综合法”证题，但也并非“巷子里赶猪，直来直去”，特别（Ⅱ）,(Ⅲ)两问，本解都用到了
若干 转换手法.?
2.只须证
1111
?????n,
?
2
22232n
右式=
1111111

??
?< br>????
?
1?1
2?2n?n
2
1?22?3n?1?n< br>1
?(2?1)?(3?2)???(n?n?1)

2
1
=
n??n
.?
2
=
∴
1 111111
?????n,
成立，从而1+
?????2n.
?
2
22232n23n
3
?
?
1
?
sin
?
2x?
?
+.??
6
?
8
2
?
3.先将f (x)化为同一个角的单一三角函数，得f (x)= -
,
?
当x∈
??
?
?
?
4
?
?
?
?
??< br>?
?
?
??
?
?
?
,
?
?
,
?
时,2x-，故f (x)为，上的减函数,当x=时,
?????< br>3
?
6
?
32
?
3
?
43
?
3?43
?
，?当x=时,?［f (x)］
max
=-.?
88
4
［f(x)］
min
=
4.注意到
2xy
2xy
111?xy?z
2yz
1
?1???
，同理：?1?
，
?1?
，
yz
xxxxzz

∴u≥


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=8.??
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