高中数学解题方法归纳总结

高中数学解题方法归纳总结

一、换元法
“换元”的思想和方法， 在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，
有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简 便、巧妙的解答。
在解题过程中，把题中某一式子如f(x)，作为新的变量y或者把题中某一
变量如x，用新变量t的式子如g(t)替换，即通过令f(x)=y或x=g(t)进行变量
代换， 得到结构简单便于求解的新解题方法，通常称为换元法或变量代换法。
用换元法解题，关键在于根据问 题的结构特征，选择能以简驭繁，化难为易
的代换f(x)=y或x=g(t)。就换元的具体形式而论 ，是多种多样的，常用的有有
理式代换，根式代换，指数式代换，对数式代换，三角式代换，反三角式代 换，
复变量代换等，宜在解题实践中不断总结经验，掌握有关的技巧。
例如，用于求解代数问 题的三角代换，在具体设计时，宜遵循以下原则：（1）
全面考虑三角函数的定义域、值域和有关的公式 、性质；（2）力求减少变量的个
数，使问题结构简单化；（3）便于借助已知三角公式，建立变量间的 内在联系。
只有全面考虑以上原则，才能谋取恰当的三角代换。
换元法是一种重要的数学方法 ，在多项式的因式分解，代数式的化简计算，
恒等式、条件等式或不等式的证明，方程、方程组、不等式 、不等式组或混合组
的求解，函数表达式、定义域、值域或最值的推求，以及解析几何中的坐标替换，< br>普通方程与参数方程、极坐标方程的互化等问题中，都有着广泛的应用。

二、消元法
对于含有多个变数的问题，有时可以利用题设条件和某些已知恒等式（代数
恒等式或三角恒等式 ），通过适当的变形，消去一部分变数，使问题得以解决，
这种解题方法，通常称为消元法，又称消去法 。
消元法是解方程组的基本方法，在推证条件等式和把参数方程化成普通方程
等问题中，也有 着重要的应用。
用消元法解题，具有较强的技巧性，常常需要根据题目的特点，灵活选择合
适的消元方法。

三、待定系数法
按照一定规律，先写出问题的解的形式（一般是指 一个算式、表达式或方程），
其中含有若干尚待确定的未知系数的值，从而得到问题的解。这种解题方法 ，通
常称为待定系数法；其中尚待确定的未知系数，称为待定系数。
确定待定系数的值，有两种常用方法：比较系数法和特殊值法。
（一）比较系数法
比较系数法，是指通过比较恒等式两边多项式的对应项系数，得到关于待定
系数的若干关系式（通常是多 元方程组），由此求得待定系数的值。
比较系数法的理论根据，是多项式的恒等定理：两个多项式恒等 的充分必要
条件是对应项系数相等，即a
0
x
n
+a
1x
n-1
+ ?+a
n
≡b
0
x
n
+ b
1
x
n-1
+? +b
n
的充分必要条件
是 a
0
=b
0
, a
1
=b
1
,?? a
n
=b
n
。
（二）特殊值法
特殊值法，是指通过取 字母的一些特定数据值代入恒等式，由左右两边数值
相等得到关于待定系数的若干关系式，由此求得待定 系数的值。
特殊值法的理论根据，是表达式恒等的定义：两个表达式恒等，是指用字母
容许值 集内的任意值代替表达式中的字母，恒等式左右两边的值总是相等的。
待定系数法是一种常用的数学方 法，主要用于处理涉及多项式恒等变形问题，
如分解因式、证明恒等式、解方程、将分式表示为部分分式 、确定函数的解析式
和圆锥曲线的方程等。

四、判别式法
实系数一元二次方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0) ①的判别式△=b
2
-4ac具
有以下性质：
＞0，当且仅当方程①有两个不相等的实数根
△ ＝0，当且仅当方程①有两个相等的实数根；
＜0，当且仅当方程②没有实数根。
对于二次函数
y=ax
2
+bx+c (a≠0)②它的判别式△=b
2
-4ac具有以下性质：

＞0，当且仅当抛物线②与x轴有两个公共点；
△ ＝0，当且仅当抛物线②与x轴有一个公共点；
＜0，当且仅当抛物线②与x轴没有公共点。
利用判别式是中学数学的一种重要方法，在探求某些实变数之间的关系，研
究方程的根和函数的性质， 证明不等式，以及研究圆锥曲线与直线的关系等方面，
都有着广泛的应用。
在具体运用判别式时，①②中的系数都可以是含有参数的代数式。
从总体上说，解答数学题， 即需要富有普适性的策略作宏观指导，也需要各
种具体的方法和技巧进行微观处理，只有把策略、方法、 技巧和谐地结合起来，
创造性地加以运用，才能成功地解决面临的问题，获取良好的效果。

五、 分析法与综合法
分析法和综合法源于分析和综合，是思维方向相反的两种思考方法，在 解题
过程中具有十分重要的作用。
在数学中，又把分析看作从结果追溯到产生这一结果的原因 的一种思维方法，
而综合被看成是从原因推导到由原因产生的结果的另一种思维方法。通常把前者
称为分析法，后者称为综合法。
具体的说，分析法是从题目的等证结论或需求问题出发，一步一步的 探索下
去，最后达到题设的已知条件；综合法则是从题目的已知条件出发，经过逐步的
逻辑推理 ，最后达到待证的结论或需求问题。

六、 数学模型法
数学模型法，是指把所考 察的实际问题，进行数学抽象，构造相应的数学模
型，通过对数学模型的研究，使实际问题得以解决的一 种数学方法。
利用数学模型法解答实际问题（包括数学应用题），一般要做好三方面的工
作：
（1） 建模。根据实际问题的特点，建立恰当的数学模型。从总体上说，
建模的基本手段，是 数学抽象方法。建模的具体过程，大体包括以下几个步骤：
1
o
考察实际问题的基本 情形。分析问题所及的量的关系，弄清哪些是常量，

哪些是变量，哪些是已知量，哪些是 未知量；了解其对象与关系结构的本质属性，
确定问题所及的具体系统。
2
o
分析系统的矛盾关系。从实际问题的特定关系和具体要求出发，根据有关
学科理论，抓住主要矛盾，考 察主要因素和量的关系。
3
o
进行数学抽象。对事物对象及诸对象间的关系进行抽象 ，并用有关的数学
概念、符号和表达式去刻画事物对象及其关系。如果现有的数学工具不够用，可
以根据实际情况，建立新的数学概念和数学方法去表现数学模型。
（2）推理、演算。在所得到的数学模型上，进行逻辑推理或数学演算，求
出相应的数学结果。
（3） 评价、解释。对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价和解释，
返回到原来的实际问 题中去，形成最终的解答。

七、试验法
解答数学题，需要多方面的信息。数学中 的各种试验，常常能给人以有益的
信息，为分析问题和解决问题提供必要的依据。
用试验法处 理数学问题时，必须从问题的实际情形出发，结合有关的数学知
识，恰当选择试验的对象和范围；在制定 试验方案时，要全面考虑试验的各种可
能情形，不能有所遗漏；在实施试验方案时，要讲究试验技巧，充 分利用各次试
验所提供的信息，以缩小试验范围，减少试验次数，尽快找出原题的解答。
任何 试验都和观察相联系。观察依赖于试验，试验离不开观察。因此，要用
好试验法，必须勤于观察，善于观 察，有目的、有计划、有条理地进行观察。

八、分类法
分类法是数学中的一种基 本方法，对于提高解题能力，发展思维的缜密性，
具有十分重要的意义。
不少数学问题，在解 题过程中，常常需要借助逻辑中的分类规则，把题设条
件所确定的集合，分成若干个便于讨论的非空真子 集，然后在各个非空真子集内
进行求解，直到获得完满的结果。这种把逻辑分类思想移植到数学中来，用 以指
导解题的方法，通常称为分类或分域法。

用分类法解题，大体包含以下几个步骤：
第一步：根据题设条件，明确分类的对象，确定需要分类的集合A；
第二步：寻求恰当的分类 根据，按照分类的规则，把集合A分为若干个便于
求解的非空真子集A
1
，A
2
，?A
n
;
第三步：在子集A
1
，A
2
，?A
n
内逐类讨论；
第四步：综合子集内的解答，归纳结论。
以上四个步骤是相互联系的，寻求分类的根据，是其 中的一项关键性的工作。
从总体上说，分类的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分
类讨论位置关系的几何图形，题目中含有某些特殊的或隐含的分类讨论条件等。
在实际解题时， 仅凭这些还不够，还需要有较强的分类意识，需要思维的灵活性
和缜密性，特别要善于发掘题中隐含的分 类条件。

九、数形结合法
数形结合，是研究数学的一个基本观点，对于沟通代数 、三角与几何的内在
联系，具有重要的指导意义。理解并掌握数形结合法，有助于增强人们的数学素养，提高分析问题和解决问题的能力。
数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。数学就是围绕 这两个概念发展
起来的。在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在
方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化。
数形结合的基本思想，是在研究问题的过程中，注意把 数和形结合起来考察，
斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关< br>系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为
易，获得简便易行 的成功方案。
中学数学中，数形结合法包含两个方面的内容：一是运用代数、三角知识，
通过 对数量关系的讨论，去处理几何图形问题；二是运用几何知识，通过对图形
性质的研究，去解决数量关系 的问题。就具体方法而论，前者常用的方法有解析
法、三角法、复数法、向量法等；后者常用的方法主要 是图解法。

十、反证法与同一法

反证法和同一法是间接证明的两种方法，在解题中有着广泛的应用。
（一）反证法是一种重要的证明方法。这里主要研究反证法的逻辑原理、解
题步骤和适用范围。
反证法的解题步骤：
第一步：反设。假设命题结论不成立，即假设原结论的反面为真。 第二步：归谬。由反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出
矛盾结果。这里所说的矛 盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、定义、定理、
公式矛盾，与已知条件矛盾，与临时假设矛盾， 以及自相矛盾等各种情形。
第三步：存真。由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立。 反证法的三个步骤是互相联系的。反设是前提，归谬是关键，存真是目的。
只有正确地作出反设，合 乎逻辑地进行推导，才能间接地证出原题。

十一、同一法
互逆的两个命题未必等 效。但是，当一个命题条件和结论都唯一存在，它们
所指的概念是同一概念时，这个命题和它的逆命题等 效。这个道理通常称为同一
原理。
对于符合同一原理的命题，当直接证明有困难时，可以改证 和它等效的逆命
题，只要它的逆命题正确，这个命题就成立。这种证明方法叫做同一法。
同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。应用同一法解题，一般包括下
面几个步骤：
第一步：作出符合命题结论的图形。
第二步：证明所作图形符合已知条件。
第三步：根据唯一性，确定所作的图形与已知图形重合。
第四步：断定原命题的真实性。