高中数学 数形结合思想

数形结合思想


由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基 础知识的范畴，通过对数学知识
的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想 重点考
查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合
常用于解 方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形
象性、直观性、数的深刻性、精确 性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到
优化解题途径的作用。
例题1．关于x的方程2x
2
－3x－2k＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k的取值
范围是什么？
分析：原方程变形为2x
2< br>－3x=2k后可转化为函数
y=2x
2
－3x。和函数y=2k的交点个数问 题．
解：作出函数y=2x
2
－3x的图像后，用y=2k去截抛
物线，随着k的变化，易知2k＝－或－1≤2k＜5时只
8
9
有一个公共点．∴ k =－
9
16
或－
1
2
≤k<
5
2
.
点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相
应的函数图象的交点问题去解 决．这是用形（交点）解决
数（实根）的问题．
例题2．求函数u＝
2t?4?6?t
的最值．
分析：观察得2t+4+2 (6－t)＝16，若设x=
2t?4
，y=
再令u=x+y则转化为直线与椭圆的关 系问题来解决．
解：令
2t?4
＝x,
6?t
=y, 则x
2
+2y
2
=16, x≥0, y
≥0, 再设u=x+y, 由于直线与椭圆的交点随着u的变化
而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u取得最大值，
过 点(0，2
2
)时，u取得最小值2
2
， 解方程组
?
y? ?x?u
?
22
?
x?2y?16
6?t
，则有x
2
+2y
2
=16，
，得3x
2
－4ux+2u
2
－16=0,
6
令△=0, 解得u=±2.
∴ u的最大值为2
6
，最小值为2
2
．
点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件．
例题3．已知s=
2t?3
t
2
，则s的最小值为 。
?1
分析：等式右边形似点到直线距离公式．
解：|s|＝
|2t?3|
t
2
, 则|s|可看成点（0, 0）到直线t x+y+2t
?1
－3=0的距离，又直线tx+y+2t－3=0变形为：(x+2)t+y
－3=0后易知过定点P(－2，3)，从而原点到直线 tx+y+2t
－3＝0的最短距离为|OP|=
13
, ∴ －
13
≤s≤
13
.

点拨解疑：由数的形 式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问
题．类似地如
ay?m
bx?n< br>联想到斜率，
cx?d
1?b
联想到定比分点公式，(x－a)
2+(y－b)
2
联想到距离，|z
1
－z
2
|联想到两 点间距离等．
例题4．解不等式
3?x
>x－1.
分析：令
3?x
＝y，则y
2
＝－(x－3) (y≥0), 它表示抛物线的上半支．令y＝x
－1表示一条直线．作出图象求解．
解：作出抛物线y
2
＝－(x－3) (y≥0),以及直线y＝x－1．
解方 程组
?
?
?
y
2
y?x?1
??(x?3)
得x=2或x=－1（舍去）,
3?x
由右图可知：当x＜2时不等式
以原不等式的解集为{x| x<2}.
点拨解疑： 一般地，形如
ax
2
>x－1成立，所
(亦可＜)等不等式皆可用数
1
x
?bx?c?mx?n
形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此 法．如－3＜
等．
例题5．求 m=2x+
分析：设
36?4x< br>9
2
＜2
36?4x
9
2
的值域．
=y， 即4x
2
+9y
2
＝36（y≥0）,
则求值域问题转化为求直线2 x+y＝m的纵截距的范
围问题．
解：设
令2x+y=m,
则由
?
?
y??2x?m
2
36?4x
9
2
=y，即 4x
2
+9y
2
＝36（y≥0）又
?
4x?9y
2
?36
得40x
2
－36mx+9m
2
－36=0,
令△=(36m)
2
－160(9m
2
－36)=0, 得m=±2
10
,
① 直线y=－2x+m过A点时，x=－3, y=0, m=－6取得最小值；
② 当直线与椭圆上半部分相切时，m取得最大值2
10

由①②，m的取值范围为[－6, 2
10
], 值域为[－6，2
10
］．
例题6．A．B为平面上的两定点，C为平面< br>上位于直线AB同侧的一个动点，分别以AC、BC
为边，在△ABC外侧作正方形CADF、C BEG，求
证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE
的中点M的位置不变．
分析：由于D、E随着C的变化而变化，但M
为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如
以C点坐标为参量，证得M点坐标不随其变化而
变化即可获证．
证明：以AB中点为坐标原点,直线AB为实轴，
建立复平面. 设A、B、C对应的复数分别为－a，a，x+yi其中a、x、y∈R．

则
AC
=Z
C
－Z
A
=(x+a)+yi,
AD
=
AC
×i=－y+(x+a)i=
OD?OA
,
∴
OD?AD?OA
=－(a+y)+(a+x)i, ∴ D点的坐标是(－(y+a), a+x),
同理E点的坐标为(y+a, a－x), 据中点公式, DE中点M的坐标为（0，a），
它是与AB长度有关，而与C点位置无关的点，即为定点．
点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，
而数却精确细致，但它不够直 观，故常以数量形，以形辅数，数形结合．
例题7．设A、B、C、D是一条有向线段上的四 点，且
1
AC
?
1
AD
AC
CB
?
AD
DB
=0，求证：
=
2
AB
.
分 析：由于A、B、C．D顺序不定，若用几何方法分类不便，故用解析法，
又A、B、C、D共线，所以 只需数轴即可．
证明：以四点所在直线为数轴，设A、B、C、D四点的坐标依次为0, b、c、
d, ∵
又
AC
CB
1
AC
?
?
AD
DB
1
AD
=0, ∴
=
1
c
?
1
d
?
c
b?c
c?d
cd
?
d
b?d
2
b
=0, ∴ b(c+d)=2cd, ∴
2
AB
c?d
cd
=
2
b
,
==，等式成立.
例题8．函数y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆
弧，试解不等式f(x)＞f(－x)十x．
分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数．
解法一：由题意及图像，有
2
?
?
1?x
f(x)?
?
2
?
?
?1?x
0?x?1
?1?x?0
，
1?x
2
（1） 当0f(－x)+x得
025
5
>－
1?(?x)
2
+x, 解得
;
1?x
2
（2） 当－1≤x<0时, 得－>
1?(?x)
2
+x, 解得－1≤x<－
)∪(0,
25
5
25
5
,
∴ 原不等式的解集为[－1, －
25
5
).
x
2
x
2
分析二：由图象知f(x)为奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)，然后再以形解数．
解法二：由图象知f(x)为奇函数，∴ 原不等式为f(x)>
解为x=±
25
5
，而方程f(x)=
25
5
的
，据图像可知原不等式解集为[－1, －
25
5
)∪(0, ).
点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇 偶性），以数解形（曲线交点A、B）
最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避 短．

基础知识练习
一．选择题：
1．向高为H的水瓶中注水，注 满为止，如果注水量v与水深h的函数关系如图
所示，那么水瓶的形状是
2．已知定义在R上 的偶函数f(x)在（0，+∞）上是增函数且f()＝0则满足
3
1
f(log1
8
x)
＞0
1
2
的x的取值范围是
1
2
（A）{}∪(2, +∞) （B）(0,
3?
4
) （C）(0,
1
2
)∪(2, +∞) （D）(2, +∞)
3．已知arg(z+3)＝，则|z+6|+|z－3i|的最小值为
（A）3
5
（B）3 （C）5
3
（D）5
4．方程lgx=sinx的根的个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）无数个
5．函数 y＝a|x|和 y= x+a的图像恰好有两个公共点，则实数a的取值范围为
（A）(1, +∞) （B）(－1, 1) （C）(－∞, －1) （D）(－∞, －1)∪(1, +∞)
二．填空题：
6．已知有向线段PQ的起点P和终点 Q分别为（－1，1）和（2, 2），若直线
l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 .
7．若直线l：y＝kx+1与曲线c：x＝
范围是 .
8．函数y=
?2?3x
1?x
y
2
?1
只有一个公共点 ，则实数k的取值
的值域是 .
三．解答题：
9．已知4a+9b＝10（a，b∈6 R
+
）, 求2
a
十3
b
的最大值.
10．如果关于 x的方程 sinx+acosx=
2
恒有解，求实数 a的取值范围．

高考常考题强化训练
一．选择题：
1．已知0a
|x|
?|log
a
x|
的实数根的个数是
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）以上都有可能
2．若不等式x
2
－log
a
x＜0在(0,
（A）[
1
16
1
2
)内恒成立, 则a的取值范围是
1
16
, 1) （B）(0,
x
2
1
16
) （C）(
2
, 1) （D）(0, 1)
22
3．代数式
?y
2
?x
2
?(y?1)?(x?1)?y?(x?1)?(y?1)
22
的最小值
为
（A）2 （B）2
2
（C）4 （D）4
2

?
8
4．函数 y＝sin2x+acos2x图像的一条对称轴为x＝－，那么a等于
（A）
2
（B）－
2
（C）1 （D）－1
5．直线y=a（a∈R）与曲线y＝cot(ωt)，（ω＞0）的相邻两交点之间的距离是
（A）
k
?
?
（B）
2
?
?
（C）
?
?
（D）以上都不对
3
z
1
z
2
+z
2
2
6．若非零复数z
1
，z
2
分别对应于复平面内的点A、B且z1
2
－
AOB是
（A）等腰三角形 （B）等腰直角三角形
（C）等边三角形 （D）直角三角形
二．填空题：
7．若z
1
，z
2
为复数，且|z
1
|=3, |z
2
|=5, |z
1
－z
2
|=7，则
8．若 a∈(0,
1
2
=0, 则△
z
1
z
2
=
)，则 T
1
＝sin(1+a)，T
2
=sin(1－a), T
3
=cos(1+a)的大小关系
为 ．
9．方程 |x－|2x+1||=1的不同实根的个数为 .
10．函数 u＝
2x?1?5?2x
的最大值是 .
三．解答题：
11．已知函数f(x)=ax
2
－c满足一4≤f(1 )≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的范围．
12．已知 a ≥0, b≥0, a+b=1，求证：
a?
1
2
?b?
1
2
≤2.
13．若 A={x| －2≤x≤a}， B={y| y＝2x+3，x∈A}, C＝{z| z=x
2
, x∈A}，若C
?
B，
求a的值．
14．已知抛物线C：y＝－x
2
+mx－1，点A（3，0），B(0, 3), 求抛物线C与线段
AB有两个不同交点时m的范围．

基础知识练习参考答案

高考常考题强化训练参考答案