高中数学-指数、对数、幂函数中的数学思想方法

指数、对数、幂函数中的数学思想方法
解决指数、对数、幂函数中同样涉及到很多的数学思想，下面来谈谈这方面的问题：
1．分类讨论的思想
例1：已知
a?0
，且
a?1
， 讨论
f
?
x
?
?a
?x
2
?3x?2的单调性．
分析：这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性问题，指数
3
?
17
?
?x?3x?2??
?
x?
?
?
，当
2
?
4
?
2
2
x?
33
时 是减函数，当
x?
时是增函数，而
f
?
x
?
的单调 性又与
a
的取值范围有关，应该
22
2
分类讨论．
3?
17
?
x
解：设
u?
?x?3x?2??
?
x?
?
?
，则原函数化为
f
?
x
?
?y?a
．
2
?
4
?
2
x
当
a?1
时，若
x?
?
,??
?
，
u
关于< br>x
是减函数，而
y?
a
关于
u
是增函数，∴函数?
3
?
2
?
?
y?a
?x
2
?3x?2
为减函数；若
x?
?
??,
?
，
u关于
x
是增函数，而
y?
a
关于
u
是增函数，
2
?
?
3
?
?
x
∴函数
y?a< br>?x
2
?3x?2
为增函数；
当
0?a?1
时，同 理得到在
x?
?
,??
?
上函数
y?a
?x
函数
y?a
?x
2
?
3
?
2
?
?
2
?3x?2
为增函数；在
x?
?
??,
?上
2
?
?
3
?
?
?3x?2
为减函数 ．
2
故当
a?1
时，原函数
f
?
x
?
?a
?x?3x?2
在
?
,??
?
上是减函数 ，在
?
??,
?
上是增函数；
22
?
3
?
?
?
?
?
3
?
?
当
0?a?1< br>时，原函数
f
?
x
?
?a
?x
x
2
?3x?2
在
?
,??
?
上是增函数，在
?
??,
?
上是减函数．
22
?
3
?
?
?
?
?
3
?
?
点评：涉及函数
y?a
的单 调性，底数
a
为字母时应该分
a?1
和
0?a?1
进行讨论 ．
练习：若
?
a?1
?
?
1
3
?
?
3?2a
?
p
q
?
1
3
，试求
a
的取值范围．答案：
23
?a?
或
a??1
．
32
2．数形结合的思想
例2：已知幂函数
y?x
（
p
、
q
?N
且互质）的图象如图1所示，则
p
为 数，
q
为
数（填奇、偶）且
*
p
1．（填“
?
、=、
?
”号）．
q

分析：分析函数图象，得出函数的性质，最后得到
p
、
q
的情况． 解：因为函数为偶函数，所以
p
为偶数，
q
为奇数，且由图象形状知道< br>0?
p
?1
．
q
点评：函数的图象与性质相互联系，图象可 以将性质直观化、具体化，而性质又将图象抽象
化、概括化．
y





O

x



图1
练习：直线
y?2a
与函数
y?ax
?1?1
（
a?0
，且
a?1
）的图象有两个公共点 ，求
a
的
取值范围．
答案：
1
?a?1
． 2
15
log
8
a?log
4
b?
，
log
8
b?log
4
a
2
?7
，求
ab
的值．
22
3．函数与方程思想
例3：已知
分析：已知条件 的对数式的底数均为和8，而4和8都是2的幂式，因此可以将底数统一成
2的形式，联立方程组求出< br>log
2
a
和
log
2
b
．
15
?
1
loga?logb?
22
?
?
log
2
a?6
?
622
63
解：由已知得到
?
，得到
?
，则
a?2
，
b?2
，∴
?
log2
b?3
?
1
logb?loga?7
22
?
?
3
ab
=
512
．
点评：本题中由于已知条件的底数均 为2的幂指数式，因此可以利用换底公式统一为底数为
2的形式使问题得到解决．
c
为
?ABC
的三边，练习：已知
a
、且关于
x
的方程
x?2x?lgc?b
b
、
有等根，试判断
?ABC
的形状．答案 ：直角三角形．
4．转化与化归思想
?2
例4：函数
f
?< br>x
?
?2
?
log
2
x
?
?a?l og
2
x?b
在
x?
2
2
?
22
?
?lga
2
?1?0
1
时有最小值1，试确定
a
、
b
的
2
值．
分析：将原函数整理化简，视为以
log< br>2
x
为变量的一元二次函数．

解：
f?
x
?
?2
?
log
2
x
?
?a?log
2
x
2
?2
a
?
a
2
?
?b
=
2
?
log
2
x?
?
?b?
．
2
?
2
?
2
a
2
a< br>∴
f
?
x
?
在
log
2
x
=时有最小值为
b?
．
2
2
1a
?
log?2
?
?
a??2
1
?
22
又∵
x?< br>时，
f
?
x
?
有最小值1，则
?
，得到．
?
2
2
?
b?3
?
b?
a
?1< br>?
2
?
点评：将求指数函数、对数函数的最大值、最小值问题转化为求二次函数 的最大值、最小值
问题是解决这类问题的一个基本方法，解决最值问题一定要注意转化思想运用． 练习：若方程
lg
?
ax
?
?lgax
??
? 4
的所有解都大于1，求
a
的取值范围．答案：
0?a?
2
1
．
100
数学思想在上述基本初等函数问题的解决中常常用到，当然要具体问题具体对待．