分类讨论是一种重要的数学思想方法

分类讨论是一种重要的数学思想方法，是高考考查的重点和热点问题。对分类讨论思想的考查通常 以导数
为载体。学生在处理分类讨论问题时，有的不知道分类，有的知道分类但找不到分界点，有的讨论 过程中
有重复和遗漏，有的讨论之后不会归纳总结，下面结合一教学案例，谈谈我在这方面的教学体会。
一、课堂片段
已知函数，讨论函数的单调区间。
教师：观察函数结构特点，用什么方法求函数的单调区间？
学生：函数式是由对数式与一次式组成，求函数单调区间应用导数的方法。
教师：请A同学来解答这道题。
学生A：首先求导函数
由得，所以；
由得，所以；
所以，函数在区间上单调递增；在区间上单调递减。
这时早有学生按 捺不住，有的说忽略了定义域；有的说不等式解的不对，没有分类讨论。于是教师就安排
分组讨论解答此 题。3分钟后，小组代表发言。
学生B：函数的定义域是，
由得，因为，所以
讨论①当时，，；
②当时，恒成立，所以时，
由得，因为，所以
讨论③当时，；
④当时，不等式不成立，无解。
综上所述：当时，在区间上单调递 增，在区间上单调递减；当时，

在区间上单调递增。
进行分类？
必 须同除以
以零为界
教师：同学B的解答规范完整，解答过程的难点在于分类讨论，你为什么要以 零为界对
学生B：由
系数，当
得出这一步，由于这是解关于的一元一次不等式，要解出
为正数时不改变不等号的方向，当为负数时改变不等号的方向，因此要对系数
分类讨论。
教师：好﹗用导数求函数的单调性应注意什么？
学生C:首先应注意求函数的定义域；若含有 参数应注意分类讨论，分类讨论应把握时机，做到不重不漏。
教师：同学A你明白了吗？
学生A：哦，好像明白点了。
二、课后访谈
教师：由，得出；你的根据是什么？
学生A：取倒数，大数变小。
教师：这是有条件的，任何数都有倒数吗？下面我举几个例子： 给出不等式
分别取倒数来检验你的结论，你发现规律了吗？
，，
学生A：零没有倒数 。同号两数取倒数，改变不等号的方向；异号两数取倒数，则不改变不等号的方向。
教师：想一想哪一种常见函数有这一性质？
学生A：好像反比例函数，它区间在和上都是减函数。
教师：现在你可用上述知识解课上的题.
学生A：由得
当时 ， 所以 ，
当时， 所以 ，
当时，， 所以，
以下学生A比较顺利的完成此题的解答。
教师：现在回到课上的问题，当解到这一步时，你会想到分类讨论吗？你能说说讨论的原因吗？

学生：现在能想到。因为字母
必须除以
教师：谈谈你解题的体会。 < br>可表示任意数，可以是正数，也可以是负数，还可以是零，要解出，
，根据不等式的性质必须对以 零为界讨论。
学生A ：解这类题首先应注意函数的定义域；其次知识上不能有漏洞，不等式的概 念和性质要清晰；再
把条件想全，注意各条件之间的关系；然后列出不等式组，解不等式的过程中要合理 变形，把握好讨论的
时机，合理分类，一类一类的去解决，最后注意归纳总结。
老师：很好， 解不等式需要同解变形，下一步必须和上一步等价，讨论是自然而然的产生。你再来谈谈以
前解分类讨论 题的感受。
学生A ：有的时候不知道分类；有的时候知道分类，但分界点找不到；有的时候分类 的时机不对，提前
或超后了；有的时候分类有遗漏或重复，有的时候过程很乱，怕分类讨论问题。 教师：从今天你做的题来看，相信你通过学习是能够做好分类讨论问题的。做分类讨论问题和其它问题一样，有了入手思路后，正常的运算和推理，当感觉按一个方向进行不下去时，讨论的时机来临了，然后一类一类的处理，自然的进行。注意做到不重不漏，归纳总结。最后我给学生A留了下列一组题目
①讨论函数的单调性；
②讨论函数的单调性；
③讨论函数
④函数
的单调性；
在区间上是减函数，求实数的取值范围。 < br>学生A做完后和老师作了交流，他说：这几个问题层层递进，①②两个问题解的过程中只涉及只含自变量< br>的分式不等式，只要有解一次、二次不等式的基础就能做出来；③④两个问题在前两问的启发下顺利的完成了。我的体会是对含字母的问题，首先弄清是解谁为元的不等式，把字母看作常数，不能急于讨论，正常的运算，进行到字母取不同数值时有不同的结果时，按一个方向进行时就出错了，讨论的时机到了，讨论时再把字母看作变数来处理，确定好界点，分好类，一类一类的讨论，自然而然的解题就可以了。
三、教学反思
对此现象，引起了我的思考。对分讨论问题，有的学生不知道为什么要分类讨论 ，有的同学知道需要分类
讨论；但分类讨论的时机和分界点的确定把握不好；有的同学在分类过程中有重 复和遗漏；有的同学分类
讨论之后不善于归纳总结。面对解含字母的不等式，学生之所以不会分类讨论， 原因是对不等式的概念和
性质不清晰。因此要解决好分类讨论问题，必须重视对数学概念、定理、公式、 法则的系统学习和掌握。
在概念教学上，教师应重视概念的形成过程，从具体事例出发，感知体验，到抽 象概括出本质属性得出概
念，再应用概念解决问题，建立形成概念的体系；在问题教学上，教师应设计有 层次性的问题，在解决问
题的过程中注意培养学生逻辑思维和规范表述，解题之后再回到概念、定理、公 式上来，从而透彻的理解
和掌握数学知识。教师应始终重视学生数学的基础知识、基本技能和基本方法的 培养，注重提高学生的数
学思维能力，不断增强学生的数学素养，使学生能站在更高的角度上去分析问题 和解决问题。
1. 教学设计要设置恰当的起点。
教师应在充分了解学生的已有的基础上， 设计教学内容。比如导数的应用一课，学生对导数的概念和几何
意义是否清楚，求导公式和法则是否掌握 ，用导数解函数的单调性问题，实质是解不等式问题。解一元一
次，一元二次不等式的基础是否过关。恰 倒好处的设置起点，可吸引学生的注意力，激发学生的求知欲。
2. 教学设计要设置恰当的梯度。
教师在课的设计上要有层次，由浅入深，思路清晰。比如导数的应用一课，从函数类型上考虑，设计的层
次依次是三次函数，含指数型的函数，含对数型的函数；从函数式结构上考虑，可设计的层次依次是不含
字母系数和含有字母系数；从思维的角度考虑，设计的层次依次是正向思维、逆向思维和发散思维。有层

次的设计可以激发学生的潜能，调动学生的积极性。
3. 教学设计要注意归纳总结。
在新授课的设计中，应注意概念、定理、公式的形成过程，总结推导定理、 公式的思路和方法。在习题课
的设计中，应注意知识与方法的复习，设计有层次的问题。解题之后注意总 结题型特点，概括解题方法。
在试卷讲评课的设计中，要注意把学生的典型错误归类，分析错因。讲方法 、讲思路，总结解题规律、寻
求联系，高度概括。
4. 教学设计要有延续性。
学 生对某一数学思想方法的理解和掌握，需要一个长期的、潜移默化的过程，教学设计应考虑到学生的可
接 受程度，在设计上即要考虑近期目标，又要有长远打算。对某一思想方法的渗透不要一步到位，对重要
的 数学思想方法的渗透应贯穿整个高中阶段。比如对分类讨论思想的教学设计，在高一学习函数、方程和
不 等式中做一些初步尝试，在高二学习解析几何、导数时重点渗透。在高三总复习的过程中始终要重视分
类 讨论问题的设计，渗透分类讨论思想，让分类讨论水到渠成。