高中数学：独立性检验的基本思想

高中数学：2.3独立性检验的基本思想
一、教学目标：1、知识与技能：⑴理解函数 单调性的概念；⑵会判断函数的单调性，会求函
数的单调区间。2、过程与方法：⑴通过具体实例的分析 ，经历对函数平均变化率和瞬时变化
率的探索过程；⑵通过分析具体实例，经历由平均变化率及渡到瞬时 变化率的过程。3、情感、
态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法。
二、教学重点：函数单调性的判定
教学难点：函数单调区间的求法
三、教学方法：探究归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）．创设情景
函 数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减
的快与慢以及函数的 最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们
可以对数量的变化规律有一个基本 的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会
导数在研究函数中的作用．
（二）．新课探究
1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动
中高度h
随时间
t
变化的函数
h(t)??4.9t
2
?6. 5t?10
的图像，图3.3-1
（2）表示高台跳水运动员的速度
v
随时间
t

变化的函数
v(t)?h(t)??9.8t?6.5
的图
像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入
水这两段时间的运动状态有什么区别？
通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度
h
随时间
t
的增加
而增加，即
h(t)
是增函数．相应地，
v(t)?h(t )?0
．（2）从最高点到入水，运动员离水面的
高度
h
随时间
t< br>的增加而减少，即
h(t)
是减函数．相应地，
v(t)?h(t)?0
．

2．函数的单调性与导数的关系
'
'
'

< br>观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．










如图3.3-3，导数< br>f
'
(x
0
)
表示函数
f(x)
在点
(x
0
,y
0
)
处的切线的斜率．







在
x?x
0
处，f
'
(x
0
)?0
，切线是“左下右上”式的，这时，函数f(x)
在
x
0
附近单调递
增；
在
x?x< br>1
处，
f
'
(x
0
)?0
，切线是“左上右 下”式的，这时，函数
f(x)
在
x
1
附近单调递
减．
结论：函数的单调性与导数的关系
'
在某个区间
(a,b)
内，如 果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内单调递增；如果

f
'
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内 单调递减．
'
说明：（1）特别的，如果
f(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间内是常函数．
3．求解函数
y?f(x)
单调区间的步骤：

（1）确定函 数
y?f(x)
的定义域；（2）求导数
y
'
?f
'
(x)
；（3）解不等式
f
'
(x)?0
，解集
在定义域 内的部分为增区间；（4）解不等式
f
'
(x)?0
，解集在定义域内的部分 为减区间．
（三）．典例探析
例1、已知导函数
f
'
(x)
的下列信息：
当
1?x?4
时，
f
'
(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0
；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0

试画出函数
y?f(x)
图像的大致形状．
解：当
1? x?4
时，
f
'
(x)?0
，可知
y?f(x)
在 此区间内单调递增；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0
；可知
y?f(x)
在此区间内单调递减；
当
x?4
，或
x?1
时，
f
'
(x)?0
，这两点 比较特殊，我们把它称为“临界点”．
综上，函数
y?f(x)
图像的大致形状如图3.3-4所示．
例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间．
（1）
f(x)?x?3x
； （2）
f(x)?x?2x?3

32
（3）
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
； （4）
f(x)?2x?3x?24x?1

3'22
32

解：（1）因为
f(x)?x?3x
，所以，
f(x)?3x?3?3(x?1)? 0

因此，
f(x)?x?3x
在
R
上单调递增，如图3. 3-5（1）所示．





（2）因为
f(x)?x?2x?3
，所以，
f(x)?2x?2?2
?
x?1
?

2
3

'
当
f(x)?0
，即
x?1时，函数
f(x)?x?2x?3
单调递增；
'2

当< br>f
'
(x)?0
，即
x?1
时，函数
f(x)?x< br>2
?2x?3
单调递减；
函数
f(x)?x
2
?2x?3
的图像如图3.3-5（2）所示．
（3）因为
f(x)?sinx?xx?(0,
?
)
，所以，
f
'
(x)?cosx?1?0

因此，函数
f(x)?sinx ?x
在
(0,
?
)
单调递减，如图3.3-5（3）所示．
（4）因为
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1
，所 以 ．
当
f
'
(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x
2
?2x?3
；
当
f
'
(x)?0
，即 时，函数
f(x)?x
2
?2x?3
；
函数
f(x)?2x
3
?3x
2
?24x?1
的图像如图3 .3-5（4）所示．
注：（3）、（4）生练






例3．如图3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四 种底面积相同的
容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度
h
与时间
t的函数关系图像．









分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三
种容器 的情况．
解：
?
1
?
?
?
B
?
,
?
2
?
?
?
A
?
,
?
3
?
?
?
D
?
,
?
4
?
?
?
C
?

思考：例3表明，通过函数图像 ，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结
合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情 况吗？
一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，
这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函
数
y?f(x)
在
?
0,b
?
或
?
a, 0
?
内的图像“陡峭”，在
?
b,??
?
或
???,a
?
内的图像“平缓”．
例4、求证：函数
y?2x
3
?3x
2
?12x?1
在区间
?
?2,1
?
内是减函数．
'22
证明：因为
y?6x?6x?12?6x?x?2?6
?
x?1
??
x?2
?

??
当
x?< br>?
?2,1
?
即
?2?x?1
时，
y
'?0
，所以函数
y?2x
3
?3x
2
?12x?1在区间
?
?2,1
?
内是
减函数．
说明：证明可导函 数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单 调性步骤：（1）求导函数
f
'
?
x
?
；（2）判断
f
'
?
x
?
在
?
a,b
?
内的 符号；（3）做出结论：
f
'
?
x
?
?0
为增函数 ，
f
'
?
x
?
?0
为减函数．
（四）．课堂练习：课本P59页练习1（1）；2
（五）．回顾总结：（1）函数的单调性 与导数的关系；（2）求解函数
y?f(x)
单调区间；（3）
证明可导函数
f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的单调性
（六）．布置作业：课本P62页习题3-1A组1、2
五、教后反思：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m