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高中数学分类讨论细想方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 06:16
tags:高中数学思想方法

高中数学的核心期刊有哪些-高中数学咋这么难

2020年9月19日发(作者:欧通国)


第二章 高中数学常用的数学思想
二、分类讨论思想方法
在解答某些数学 问题时,有时会遇到多种情况,需要对各种情况加以分类,并逐类求解,然后综合得解,
这就是分类讨论 法。分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的解题策略,它体
现了化整为 零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、
探索 性,能训练人的思维条理性和概括性,所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面:
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。 如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。这种分类讨论
题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制,或者是分类给出的。如等比数
列 的前n项和的公式,分q=1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③ 解含有参数 的题目时,必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0
三 种情况讨论。这称为含参型。
另外,某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等 ,都主要通过分类讨论,保证其
完整性,使之具有确定性。
进行分类讨论时,我们要遵循的原 则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科学地
划分,分清主次,不越级讨论。其 中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时,我们的基本方法和步骤是:首先要确定讨论对 象以及所讨论对象的全体的范围;其
次确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类 互斥(没有重复);再对所分类逐步进行
讨论,分级进行,获取阶段性结果;最后进行归纳小结,综合得 出结论。
Ⅰ、再现性题组:
1.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x||x- 3|≤a,x∈R},若A
?
B,那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 02.若a>0且 a≠1,p=log
a
(a
3
+a+1),q=log
a
( a
2
+a+1),则p、q的大小关系是_____。
A. p=q B. pq D.当a>1时,p>q;当03.函 数y=
cosx
|ctgx|
sinx
tgx
+++的值域是___ ______。
|sinx|
|cosx|
|tgx|
ctgx
π
cos
n
θ?sin
n
θ
4.若θ∈(0, ),则
lim
的值为_____。
nn
n→∞
cosθ+sinθ
2
A. 1或-1 B. 0或-1 C. 0或1 D. 0或1或-1
5.函数y=x+
1
的值域是_____。
x
A. [2,+∞) B. (-∞,-2]∪[2,+∞) C. (-∞,+∞) D. [-2,2]
6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形,则它的体积为_____。
A.
4
8
3
B.
9
9
3
C.
2
9
3
D.
4
9
3

8
3

9
7.过点P(2,3),且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x-2y=0 B. x+y-5=0 C. 3x-2y=0或x+y-5=0 D.不能确定
【简解】1小题:对参数a分a>0、a=0、a<0三种情况讨论,选B;


2小题:对底数a分a>1、03小题:分x在第一、二、三、四象限等四种情况,答案{4,-2,0};
4小题:分θ=
??
?
?
、0<θ<、<θ<三种情况,选D;
4442
5小题:分x>0、x<0两种情况,选B;
6小题:分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况,选D;
7小题:分截距等于零、不等于零两种情况,选C。
Ⅱ、示范性题组:
例1. 设 00且a≠1,比较|log
a
(1-x)|与|log
a
( 1+x)|的大小。
【分析】 比较对数大小,运用对数函数的单调性,而单调性与底数a有关,所以对底数a分两类情况进行
讨论。
【解】 ∵ 01
① 当0a
(1-x)>0,log
a
(1+x)<0,所以
|log
a
(1-x)|-|log
a
(1+x)|=log
a
(1-x)-[-log
a
(1+x)]=log
a
(1-x) >0;
② 当a>1时,log
a
(1-x)<0,log
a
(1+x)>0,所以 < br>|log
a
(1-x)|-|log
a
(1+x)|=-log
a
(1-x) -log
a
(1+x)=-log
a
(1-x)>0;
由①、②可 知,|log
a
(1-x)|>|log
a
(1+x)|。
【注】 本题要求对对数函数y=log
a
x的单调性的两种情况十分熟悉,即当a>1时其是增函数, 当0时其是减函数。去绝对值时要判别符号,用到了函数的单调性;最后差值的符号判断,也用 到函数的单调性。
例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素,A∩B含有4个元素,试求同时满 足下面两个条件的集合C的
个数: ①. C
?
A∪B且C中含有3个元素; ②. C∩A≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念,C中的元素分两类:①属于A 元素;②不属于A而属于B的元素。并
由含A中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
23
20
【解】 C
1
·C
8
+C
12
·C
1
+C
12
·C
8
=1084
12
8
2
2
【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题,正确地解题的前 提是合理科学的分类,达到分类完
整及每类互斥的要求,还有一个关键是要确定C中元素如何取法。另一 种解题思路是直接使用“排除法”,即
C
3
-C
3
=1084。
20
8
例3. 设{a
n
}是由正数组成的等比数列,S
n
是前n项和。 ①. 证明:
lgS
n
?lgS
n?2
n?1
; ②.
2
是否存在常数c>0,使得
lg(S
n
?c)?lg(Sn?2
?c)
=lg(S
n?1
-c)成立?并证明结论。(95年全国 理)
2
【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形;再应用比较法而求解。其中 在应用等比数列前n
项和的公式时,由于公式的要求,分q=1和q≠1两种情况。


【解】 设{a
n
}的公比q,则a
1
>0,q>0
①.当q=1时,S
n
=na
1
,从而S
n
Sn?2
-S
n?1
2
=na
1
(n+2)a
1
-(n+1)
2
a
1
2
=-a
1
2
<0;
a
1
(1?q
n
)
当q≠1时,S
n
=,从而
1?q
S
n
S
n?2
-S
n?1
2
a
1
2
(1?q
n
)(1?q
n?2
)
a
1
2
(1?q
n?1
)
2
2
n
=-=-aq<0;
1
2
2
(1?q)
(1?q)
由上可得S
n
S
n?2
n?1
2
,所以lg(S
n
S
n?2
) n?1
2
),即
lgS
n
?lgS
n?2
n?1

2
②. 要使
lg(S
n
?c)?lg (S
n?2
?c)
=lg(S
n?1
-c)成立,则必有(S
n
-c)(S
n?2
-c)=(S
n?1
-c)
2
,
2
分两种情况讨论如下:
当q=1时,S
n
=na
1
,则
(S
n
-c)(S
n?2
-c)-(S
n?1
-c)
2
=(na< br>1
-c)[(n+2)a
1
-c]-[(n+1)a
1
-c]
2
=-a
1
2
<0
a
1
(1?q
n
)
a
1
(1?q
n
)
a
1
( 1?q
n?2
)
2
当q≠1时,S
n
=,则(S
n
-c)(S
n?2
-c)-(S
n?1
-c)=[-c][ -1?q
1?q
1?q
a
1
(1?q
n?1
)< br>c]-[-c]
2
=-a
1
q
n
[a
1-c(1-q)]
1?q
∵ a
1
q
n
≠0 ∴ a
1
-c(1-q)=0即c=
a
1

1?q
a
1
a
1
q
n
而S
n
-c=S
n
-=-<0 ∴对数式无意义
1?q
1?q
由上综述,不存在常数c>0, 使得
lg(S
n?c)?lg(S
n?2
?c)
=lg(S
n?1
-c)成立。
2
【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论。该题文科考生改问题为:证明
log
0.5
S
n
?log
0.5
S
n?2
>log
0.5
S
n?1
,和理科第一问类似,只是所利用的是底数是0.5时,对数函数为单调递
2
减。
例 1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的,
我们解决时按要求进行分类,即题型为概念、性质型。
例4. 设函数f(x)=ax
2< br>-2x+2,对于满足10,求实数a的取值范围。


【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值
等值域问题, 需要先对开口方向讨论,再对其抛物线对称轴的位置与闭



区间的关系进行分类讨论,最后综合得解。
11
【解】当a>0时,f(x)=a(x-)
2
+2-
aa?
1
?
1
1??4
?
?
a
?
≤1

?
a

?

11
?
f( )=2??0
?
?
f(1)=a?2?2≥0
?
a
?
a

1 4 x




1 4 x
?
1
?
≥4

?
a

?
?
f(4)=16a?8?2≥0
∴ a≥1或
11

22
?
f (1)=a?2?2≥0
?
f(4)=16a?8?2≥0
,解得φ; 当a<0时,
?
当a=0时,f(x)=-2x+2, f(1)=0,f(4)=-6, ∴不合题意
由上而得,实数a的取值范围是a>
1

2
【注】 本题分两级讨论,先对决定开口方向的二次项系数a分a>0、a<0、a=0三种情况,再每种情况结合
二次函数的图像,在a>0时将对称轴与闭区间的关系分三种,即在闭区间左边、右边、中间。本题的解答,关
键是分析符合条件的二次函数的图像,也可以看成是“数形结合法”的运用。
例5. 解不等式
(x?4a)(x?6a)1
>0 (a为常数,a≠-)
2a?12
【分析】 含参数的不等式,参数a决定了2a+1的符号和两根-4a、6a的大 小,故对参数a分四种情况
a>0、a=0、-
11
22
1
; -4a<6a时,a>0 。 所以分以下四种情况讨论:
2
【解】 2a+1>0时,a>-
当a>0时,(x+4a)(x-6a)>0,解得:x<-4a或x>6a;
当a=0时,x
2
>0,解得:x≠0;
当-
1
0,解得: x<6a或x>-4a;
2


当a>-
1
时,(x+4a)(x-6a)<0,解得: 6a2
11
-4a;当a>-时,< br>22
综上所述,当a>0时,x<-4a或x>6a;当a=0时,x≠0;当-
6a< x<-4a 。
【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论,做到不重不漏。一般地,遇 到题目中含有参数的
问题,常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论,此种题型为含参型。
例6. 设a≥0,在复数集C中,解方程:z
2
+2|z|=a 。 (90年全国高考)
【分析】由已知z
2
+2|z|=a和|z|∈R可以得到z< br>2
∈R,即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解。
【解】 ∵ |z|∈R,由z
2
+2|z|=a得:z
2
∈R; ∴ z为实数或纯虚数
当z∈R时,|z|
2
+2|z|=a,解得:|z|=-1+< br>1?a
∴ z=±(-1+
1?a
);
当z为纯虚数时,设z=±yi (y>0), ∴ -y
2
+2y=a 解得:y=1±
1?a
(0≤a≤1)
由上可得,z=±(-1+
1?a
)或±(1±
1?a
)i
【注】本题用标准解法(设z=x+yi再代入原式得到一个方程组,再解方程组)过程十分繁难,而挖掘隐< br>含,对z分两类讨论则简化了数学问题。
【另解】 设z=x+yi,代入得 x
2< br>-y
2
+2
x
2
?y
2
+2xyi=a;
?
?
x
2
?y
2
?2x
2
?y< br>2
?a

?

?
?
2xy?0
当 y=0时,x
2
+2|x|=a,解得x=±(-1+
1?a
),所以z=± (-1+
1?a
);
当x=0时,-y
2
+2|y|=a,解得y =±(1±
1?a
),所以±(1±
1?a
)i。
由上可得,z=±(-1+
1?a
)或±(1±
1?a
)i
【注】此题属于复数问题的标准解法,即设代数形式求解。其中抓住2xy=0而分x=0和y=0两种情况进
行讨论求解。实际上,每种情况中绝对值方程的求解,也渗透了分类讨论思想。
例7. 在x oy平面上给定曲线y
2
=2x,设点A(a,0),a∈R,曲线上的点到点A的距离的最小 值为f(a),求
f(a)的函数表达式。 (本题难度0.40)
【分析】 求两点 间距离的最小值问题,先用公式建立目标函数,转化为二次函数在约束条件x≥0下的最
小值问题,而引 起对参数a的取值讨论。
【解】 设M(x,y)为曲线y
2
=2x上任意一点,则
|MA|
2
=(x-a)
2
+y
2
=(x-a)< br>2
+2x=x
2
-2(a-1)x+a
2
=[x-(a-1) ]
2
+(2a-1)
由于y
2
=2x限定x≥0,所以分以下情况讨论:
当a-1≥0时,x= a-1取最小值,即|MA}
2
当a-1<0时,x=0取最小值,即|MA}
2min
=2a-1;
min
=a
2


综上所述,有f(a)=
?
?
2a?1
?
|a|

(a≥1时)
(a?1时)

【注】本题解题的基本思路是先建立目标 函数。求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉,但含参
数a,以及还有隐含条件x≥0的限制, 所以要从中找出正确的分类标准,从而得到d=f(a)的函数表达式。
Ⅲ、巩固性题组:
1. 若log
a
2
<1,则a的取值范围是_____。
3
A. (0,
2
) B. (
2
,1) C. (0,
2
)∪(1,+∞) D. (
2
,+∞)
3333
2. 非零实数a、b、c,则
a

b

c

abc
的值组成的集合是_____。
|a||b||c||abc|
A. {-4,4} B. {0,4} C. {-4,0} D. {-4,0,4}
3. f(x)=(a-x)|3a-x|,a是正常数,下列结论正确的是_____。
A.当x=2a时有最小值0 B.当x=3a时有最大值0
C.无最大值,且无最小值 D.有最小值但无最大值
4. 设f
1
(x,y)=0是椭圆方程,f
2
(x,y)=0是直线方程,则方程f
1
(x,y)+λf
2
(x,y)=0 (λ∈R)表
示的曲线是_____。
A.只能是椭圆 B.椭圆或直线 C.椭圆或一点 D.还有上述外的其它情况
5. 函数f(x)=ax
2
-2ax+2+b (a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5,最小值2,则a、b的值为_____。
A. a=1,b=0 B. a=1,b=0或a=-1,b=3
C. a=-1,b=3 D. 以上答案均不正确
6.方程(x
2
-x- 1)
x?2
=1的整数解的个数是_____。
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
7. 到空间不共面的4个点距离相等的平面的个数是_____。
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
8.z∈C,方程z
2
-3|z|+2=0的解的个数是_____。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.复数z=a+ai (a≠0)的辐角主值是______________。
10.解关于x的不等式: 2log< br>a
2
(2x-1)>log
a
(x
2
-a) (a>0且a≠1)
11.设首项为1,公比为q (q>0)的等比数列的前n项和为S
n
,又设T
n

S
n
,求
lim
T
n

n→∞
S
n?1
12. 若复数z、z
2
、z
3
在复平面上所对应三点A、B、C组成直角三角形,且|z|=2,求z 。
13. 有卡片9张,将0、1、2、…、8这9个数字分别写在每张卡片上。现从中任取3张排成三位 数,若6
可以当作9用,问可组成多少个不同的三位数。
14. 函数f(x)=(|m|- 1)x
2
-2(m+1)x-1的图像与x轴只有一个公共点,求参数m的值及交点坐标。






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