高中数学解题思想方法技巧：解几开门 轨迹遥控

数学破题36计
第31计 解几开门 轨迹遥控
?
●计名释义
?
求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法 研究几何问题的数学思想.轨迹
是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程 研究曲线和已知曲线求其方程是解
析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了 “轨迹”二字.正是“轨迹”二字告
诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.
●典例示范
?
【例1】 动椭圆过定点M（1，2），以y轴为准线，离心率e=
1
. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）
2
求椭圆长轴长的最大值和最小值.?
【思考】 如M（1，2）为右顶点，则左顶点为?P（1-2a,2）.?椭圆中心为(1-a, 2)，左准线为y轴.?∴
a
2
c1a11
??1
-a=0，?而e =
?
. ∴=2，有-3a+1=0，a=. 得点P
1
(,2)；如M （1，2）为左顶点，有
c
a2c33
2
，2）.?
3
2
由以上可以预见,所求轨迹是中心为O′(,2)的椭圆.?
3
?
P
2
（1，2），?∴P
1
P
2
中点为（【解答】 （1）设椭圆左顶点为M(x,y)，则左焦点为F（x
0
，y
0
）=F(x+a-c，y)，?
a
2
c1
∵e=
?
，且左准线为y轴, ∴
??x?a
=0,?
c
a2
得a=x，c=
1
x|MF|1
?
3
?
,
?
y
?
，由椭圆第 二定义：= e=.?
a
=，有：F
?
x
?
212
2
?
2
?
2
∴
1
2
?
?< br>3
?
?
2
2
?
x?1
?
?(y?2 )?
，化简得：
9
?
x?
?
?4(y?1)
①?
2
3
?
?
2
?
?
2
(2) 椭圆①的长半轴a′=
1121
?
1
?
,1
?
?< br>.? ，∴-≤x-≤，得x∈
?
?
3
3333
??
?
2
?
?
?
,
?
2
?
.?故原椭 圆长轴最大值为2，最小值为.?? 原椭圆长半轴为a=x，∴2a=2x∈
?
?
3
3
【例2】 已 知双曲线的两个焦点分别为F
1
，F
2
，其中F
1
又是抛物 线y
2
=4x的焦点，点A（-1，2），B（3，
2）在双曲线上，（1）求点F< br>2
的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m与点F
2
的轨迹有且只有两个公 共点，
若存在，求出实数m的值，不存在，说明理由.?
【思考】 F
1
（1，0）为定点，∴|AF
1
|=2
2
=|BF
1
|为 定值，设F
2
(x，y)，则|F
2
A|-2
2
=±(F< br>2
B-2
2
).得
|F
2
A|=|F
2B|或|F
2
A|+|F
2
B|= 4
2
，知动点F< br>2
的轨迹为直线AB的垂直平分线或以A
、
B为焦点的椭圆.?
2

(x?1)
2
(y?2)
2
【解答】 （1）点F
2< br>的轨迹方程为直线l：x=1或椭圆
??1
.(不含短轴两端，即不含
84（1，0），（1，4）解法略).?
（2）如图，当椭圆与直线y=x+m相切时，直线与所求 轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x=1
的交点），其他情况下，若直线y=x+m过椭圆 短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点
而经过椭圆内部时则有三个公共点，由
?
y?x?m
222
?(x?2x?1)?2[x?2(m?2)x?(m?2)] ?8.

?
22
?
(x?1)?2(y?2)?8
?∴3x
2
+(4m-10)x+2m
2
-8m+1=0.?
此方程应有相等二实根，
∴Δ=(4m-10)
2
-12(2m
2
-8m+1)=0.?
化简得：m
2
-2m-11=0,∴m=1±2
3
.?
【小结】 探求轨迹，一要注意
其完备性也就是充分性：只要符合
条件的点都适合轨迹方程；二要
注意其纯粹性也就是必要性：只要
适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图
以例2为例：若忽视了直线x=1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（ 4，0）则又不纯
粹.??
●对应训练
?
1.已知双曲线过坐标原点O， 实轴长为2，其中一个焦点坐标为F
1
（6,0），另一个焦点F
2
为动点. ?
(1)求双曲线中心的轨迹方程;?
(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.? < br>2.已知定直线l和线外一定点O，Q为直线l上一动点，△OQP为正三角形（按逆时针方向转），求点 P的
轨迹方程.?
3.已知双曲线过坐标原点O，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F
1
（6，0），另一个焦点F
2
为动点.(1)求双
曲线中心的轨迹方程； （2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.?
4.已知抛物线C：y
2
=4x，( 1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短
轴端点B与焦点F 所连线段的中点P的轨迹方程；（2）若M（m,0）是x轴上的一个定点，Q是（1）中所
求轨迹上任 意一点，求|MQ|的最小值.??
●参考答案
?
1.设F
2
(x
0
，y
0
), ∵O(0,0)在双曲线上,?
∴|OF
2
| - |OF
1
| =±2，|OF
1
|=6,?
∴|OF
2
|=6±2，如|OF< br>2
|=8，则x
2
0
+y
2
0
=64 ①?如|OF
2
|=4，则x
2
0
+y
2
0
=16 ②?
当O、F
1
、F
2
共线时，F1
、F
2
应在点O两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）?设双 曲线中心
为M（x，y）,则?

x
0
?6
?
x?
?
?
x
0
?2x?6
?
2
③?
?
??
?
y
0
?2y
?
y?
y
0
?
2
?
③ 代入①：(2x-6)
2
+(2y)
2
=64， 即(x-3)
2
+y
2
=16(x≠7)?
③代入②：（2x-6
2
+(2y)
2
=16， 即(x-3)
2
+y
2
=4(x≠5)?
(2)∵a=1，∴e=
c
22
= c，且c=|MF
1
|=
(x?6)?y
,?
a
?6x?43

22
如M的轨迹为(x-3)
2
+y
2
=16， 则c=
(x?6)?16?(x?3)?
∵-4≤x-3<4，∴-1≤x<7?
当x=-1时，c
max
=7.?
如M的轨迹为(x-3)
2+y
2
=4，则
c?(x?6)
2
?4?(x?3)
2
??6x?31

∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5，当x=1时，c
max
=5,?
于是 取c=7，a=1，∴b
2
=48，又当x=-1时，由（x-3）
2
+y< br>2
=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为
y
2
F
1
(6,0),故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)-=1.?
48
2
2.如图作OA⊥l于A，以直线OA为x轴，
过O且垂直于OA的直线为y轴建立
如图的直角坐标系，设A（a,0），则有
直线l：x=a，设|OQ|=|OP|=d
∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+
设P(x,y)，∵d=
?

3
a
，
cos
?
3
?
a1
)=(cosθ-sinθ) 第2题解图
2
3
cos
?
2
∴x= d cos (θ+
?=
a
(1-
3
tanθ),?
2
3
?
a1a
)=(sinθ+cosθ)= (tanθ+
3
).?
2
2
3
cos
?
2
y=dsin(θ+
a
?
x?(1?3tan
?
)
?
?
2
于是得点P的参数方程：
?
（θ为参数） 消去参数得：x+
3
y=2a.
a
?
y?(tan
??3)
?
2
?
3.(1)设F
2
(x
0
，y
0
)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF
2
| - |OF1
|=±2，|OF
1
|=6，∴|OF
2
|=6±2，如|O F
2
|=8，则x
2
0
+y
2
0
=64
①；如|OF
2
|=4，则x
2
0
+y
2
0
=16 ②，当O，F
1
，F
2
共线时，F
1
，F
2
应在点O两侧，故上述轨迹中应分别
不含（8，0），（4，0）.?

x
0
?6
?
x?
?
?< br>x
0
?2x?6
?
2
设双曲线中心为O′(x，y)，则?
③?
?
?
?
y
0
?2y
?
y?
y
0
?
2
?
③代入①：(2 x-6)
2
+(2y)
2
=64, ?即 (x-3)
2
+y
2
=16 (x≠7).?
③代入②：(2x-6)
2
+(2y)
2
=16, 即 (x-3)
2
+y
2
=4 (x≠5).?
(2)∵a=1，∴e=
c
22
= c，且c=|MF
1
|=
(x?6)?y
,?
a
?6x?43
.?
如M的轨迹为（x-3）
2
+y
2
=16,?
22
则c=
(x?6)?16?(x?3)?
∵-4≤x-3<4, ∴ -1≤x<7,?
当x= -1时，c
max
=7.?
22如M的轨迹为(x-3)
2
+y
2
=4，则c=
(x?6)?4 ?(x?3)??6x?31
.?
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5当x=1时，c
max
=5.?
于是取c=7，a=1. ∴b
2
=48，又当x= -1时，由(x-3)
2
+y
2
=16，得y=0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点
y< br>2
为F
1
（6，0），故实轴在x轴上，则所求方程为：(x+1)
?
=1.?
48
2
4.（1）如图设椭圆中心为O′(x?0,0)，
由于左焦点F（1，0），左准线x= -1，
a
2
∴x
0
=c+1，且x
0
+1=.?
c
∴a
2
=c(x
0
-1)=x
2
0
- 1，
b
2
=a
2
-c
2
=(x
2
0
-1) - (x
0
-1)
2
=2x
0
-2，
得椭圆短轴端点B（x
0
，
2x
0
?2
）.? 第4（1）题解图
设FB的中点为P(x，y)，则：?
x
0
?1
?
x?
?
?
x
0
?2x?1
?
2
?
?
消去x
0
：y
2
=x-1(x≥1).?
?
2
?
2x
0
?4y?2
?
y?
1
2x?2
0< br>?
2
?
(2)曲线y
2
=x-1(x≥1)的图形如图中虚线 所示，其顶点为F（1，0）.?
显然当m≤1时，|MQ|
min
=1-m，即 点M（m,0）到抛物线顶点F最近，当m>1时，以M（m,0）为圆心，R
为半径的圆的方程为：? (x-m)
2
+y
2
=R
2
.(*)?
222< br>?
?
(x?m)?y?R
?
x
2
+(1-2m)x+ m
2
-1-R
2
=0.? 由
?
2
?
?< br>y?x?1
命Δ≥0，即（1-2m）
2
-4(m
2
-1-R
2
)=0,? ∴R
2
≤
4m?5
. (1)?
4

当m≥
4m?54m?5
5
时，R
min
=，? 即|MQ|的最小值为.?
44
4
当15
时，不等式（1）无解，说明圆（*）与抛物线y
2
=x-1不可能有交点，此时抛物线顶点与M距离
4
最近,即|MQ|
min
=m-1.?
注：此题选自陕西师大“中学数学教学参考”04·1～2期P72，63题，原题答案为：
当
5
2m?132m?13
m?
≤1，即m≤时，|MQ|无最小值；当>1 ，即m>时，?|MQ| =.笔者以为不
min
22
妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.?

22
4