高考专题复习思想方法：数形结合(精华版)

数形结合思想

数形结合是根据数量与图形之间的对应关系， 通过数与形的相互转化来解决数学问
题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数 解形”，使复杂问题简单化，
抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有 ：借助于数轴、函数
图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨 迹所遵循
的数量关系、运算结果与几何定理的结合.

【以形助数】
例1、（集合中的数形结合）
已知集合
取值范围.
参考解答：画数轴分析可得
?4?a?5
.


例2、（函数中的数形结合）
设
A?
?
xa?x?a?2
?
,B?xx
2
?3x?10?0
??
，当
A?B??，求实数
a
的
f
?
x
?
?x
2
?2ax?2
，当
x?
?
?1,??
?
时，
f< br>?
x
?
?a
恒成立，求
a
的取值范围。
参考解答：
解法一：由
考查函数
g
f
?
x
?
?a
，在
?
?1,??
?
上恒成立
?x
2
?2ax?2?a?0
在
?
?1,??
?
上恒成立.
?
x
?
?x
2
?2ax?2?a
的图像在
?
?1,??
?
时位于
x
轴上方，如下图
y
y
2
不等式的成立条件是：
1）
??4a?4
?
2?a
?
?0?a?
?
?2,1
?
；
?
??0
?
2）
?
a??1?a?
?
?3,?2< br>?
；
?
g
?
?1
?
?0
?
综上所述
a?
?
?3,1
?

解法二：由
x-1
O
a
x
a
-1
O
f
?
x
?
?a?x
2
?2?a
?
2x?1
?
，令
y
1
?x
2
?2,y
2
?a
?
2 x?1
?
，
在同一坐标系中作出两个函数的图像（如右图）满足条件的直线位于l,m
之间，而直线
l,m
对应的
a
的值分别为
?3 ,1
，故直线
l
对应的
a?
?
?3,1
?
.


例3、（方程中的数形结合）
若方程
lg
参考解答：
y
l
m
x
-1< br>-0.5
O
?
?x
2
?3x?m
?
?lg< br>?
3?x
?
在
x?
?
0,3
?
内有 唯一解，求实数
m
的取值范围.
y
4
1-m
1
?
?
3?x?0
?
3?x?0
原方程变形为
?
，即< br>?
，
?
2
?
?
?x?3x?m?3?x
?
?
x?2
?
?1?m
y
1
?
?
x ?2
?
，
x?
?
0,3
?
和直线
y
2
?1?m
的图象，由图可知：
①当
1?m?0
时，有唯一解
m?1
；
作出曲线
2
x
O
3

②当
1?1?m?4
时，即
?3?m?0
时，方程有唯一解.
综上可知，
m?1
或
?3?m?0
时，方程有唯一解.


例4、（不等式中数形结合）
不等式
x
参考解答：
2< br>?2ax?a
2
?a?0
在
x?
?
0,2
?
时恒成立，求
a
的取值范围.
?
??,?1
?
?
?
0,??
?


例5、（解析几何中的数形结合）
x
2
y
2
? ?1
，求
y?3x
的最大值与最小值. 已知
x,y
满足
1625
参考解答：
x
2
y
2
??1
下求最值问题，常采用构造直线截距的方法 对于二元函数
y?3x
在限定条件
1625
x
2
y
2
??1
上求一点， 来求之.令
y?3x?b
，则
y?3x?b< br>，原问题转化为：在椭圆
1625
使过该点的直线斜率为
3
，且在y
轴上截距最大或最小，由图可知，当直线
y?3x?b
与
椭圆
x
2
y
2
??1
1625
相切时，有最大截距与最小截距 .由

可得
?

?0
，得
b??13
，故
y?3x
的最大值为
13
，最小值为
?13
.
y ?ax
2
?bx?a
2
?1
的图像为下列之一，则
a
的值为（
B
）
y
x
O
例6、设
b?0
，二次函数

y
y
y



x
x

1
-1
O
O

1
-1
O
① ② ③ ④
x
?
A
?
1


例7、线段
点，

?
B
?
?1

?
C
?
?1?5
2

?
D
?
?1?5

2
AB
的两个端点为< br>A
?
1,1
?
,B
?
?1,3
?
， 直线
l:y?2ax?1
，已知直线
l
与线段
AB
有公共< br>y
求
a
的取值范围.
参考解答：
不论
a
取何值，直线
l
恒过定点
P
?
0,?1
?
，斜率为
2a
，由图
l
与线段
AB
有公共点，
B
需要
l
由直线
PA
的位置（绕
P
点）逆时针转动到
PB
的位置.在这一转动过程中，
?
，
l
绕过
y
轴后，倾斜角
l
的倾斜角 先逐渐增大到（从而
l
的斜率逐渐增大到
??
）
2
依然逐渐 增大，因此其正切值（
l
的斜率）逐渐增大到
PB
的斜率，又
kPA
?2,k
PB
??4
，
故
2a?
A
-1
O
1
1
x
?
??,?4
??
?
2,??
?
，即
a?
?
??,?2
?
?
?
1,??
?
.

x
2y
2
??1
内一点，
F
1
为椭圆左焦点，
P< br>为椭圆上一动点， 例8、已知
A
?
1,1
?
为椭圆
95
求
PF
1
?PA
的最大值和最小值.
参考解答： < br>由椭圆的定义知
y
P
A
x
F2
PF
1
?PF
2
?6?PF
1
?6?PF
2
，
PF< br>1
?PA?6?PF
2
?PA??
?
6?AF
2,6?AF
2
即
?
?

?
PF
1?PA
?
min
?6?2
，
?
PF
1
?PA
?
max
?6?2

F1O



【配套练习】
1、方程
sin
?
x?
?
?
?
?
?
A
?
1

1

2
2

1
?x
的解的个数为（
C
）
?
4
?
4

?
B
?
2

?
C
?
3

3
2

?
D
?
4

2、如果实数
x,y
满足?
x?2
?
2
?y
2
?3
，则
33

y
x

的最大值为（
D
）
?
A
?
等式

?
B
??
C
?

?
D
?
3

参考解答：
?
x?2
?
?y
2
?3
有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为
?
2,0
?
，半径
r?3
，
yy?0
表示圆上的点
?
x,y
?
与坐标原点
?
0,0
?
的连线 的斜率. 如此以来，该问题
?
xx?0
可转化为如下几何问题：动点
A< br>在以
?
2,0
?
为圆心，以
r?3
为半径的圆上移动 ，求直线
OA
的斜率的最大值，由图可见，当
?A
在第一象限，且与圆相切 时，
OA
的斜率最大，
经简单计算得最大值为
tan60??3
.
如图，
3、已知函数
f
?
x
?
?log
2
?
x?1
?
，若
0?a?b?c
，则
f
?
a
?
f
?
b
?
f
?
c
?
的大小关系为
,,
abc
f
?
c
?
f?
b
?
f
?
a
?
.
??
c ba
?
x
2
?bx?cx?0
4、设函数
f
?x
?
?
?
，若
f
?
?4
?
? f
?
0
?
，
f
?
?2
?
??2< br>，
x?0
?
2
则关于
x
的方程
f
?
x
?
?x
的解的个数为（
C
）
y
?
A
?
1

5、函数

?
B
?
2

?
B
?
2

?
C
?
3

?
C
?

?
D
?
3

?
D
?
13

O
x
y?x
2
?2x?2?x
2
?6x?13的最小值为（
D
）
5

2
?
A
?
2?
6、已知函数

2?1

2

y?x?ax?2?a
在区间?
??,3
?
内递减，则实数
a
的取值范围为
a??6
.
-3-a2
a
y
参考解答：如图所示，可知对称轴
x? ??3?a??6

2
x
7、设
?
、
?
分 别是方程
log
2
x?x?4?0和2?x?4?0
的根，
A
则
?
?
?
＝
4
.
C
B
1
x
O
1

?ax?3?2a?0
有两个实 数根
x
1
,x
2
，
并且
x
1
?
?
??,?1
?
,x
2
?
?
0,2
?
，
求实数
a
的取值范围.
8、如果关于
x
的方程
x
参考解答：
2
令
?f
?
?1
?
?0
?
4?3a?0
3
? ?
f
?
x
?
?x
2
?ax?3?2a
，由 题
?
f
?
0
?
?0?
?
3?2a?0?a ?
.
2
?
f
?
2
?
?0
?7?0
?
?
y
x
-1
O
2
9、求函数
y?
sinx?2
的值域.
cosx?2
，表示过两点
P
0
参考解答：
y?
y
2
?y
1
sinx?2
的形式类似于斜率公式
k?
x
2
?x
1
cosx?2
?
2,?2
?
，
P
?
cosx,sinx
?
的直线的斜率，由于点
P< br>在单位圆
x
2
?y
2
?1
上，显然
kP
0
A
?y?k
P
0
B
，设过
P0
的圆的切线方程为
y?2?k(x?2)
，则有
|2k?2|
k?1
所以
2
?1
，解得
k?
?4±7
3
，即
k
PA
0
?
?4?7
3
，
k
PB
0
?
?4?7
3
，
?4?7?4?7
?y ?
33
，所以函数值域为
?
?
?4?7?4?7
?
，
?
.
33
??
2
10、已知集合
P?
?
?
x,y
?
⑴
P?Q
x?y?1,x?R,y?R
?
,Q?
?
?
x,y
??
x?a
?
?y
2
?1,x?R,y?R
y
?
2
，
求满足下列条件时实数
a
的取值范围.
??
；
x
⑵
P
?
Q
；
参考解答：画区域分析问题，⑴
a?



【高考真题】
?
?2,2
?
，⑵
a?0

-2
O
??
?
x?3cos
?
??
(0?
?
?
?
)
?
1、若集合
M?
?
(x，y)
?
? ?
?
y?3sin
?
??
M?N≠?
，
则实数
b
的取值范围为
?3,32
?
.
?
，集合
N?{(x，y)|y?x?b}
，且
?
参考解答：
集合
M?{(x，y)|x
2
?y
2
?9，0?y?1}
，显然 ，
M
表示以
?
0,0
?
为圆心，以
3
为半 径
的圆在
x
轴上方的部分，（如图），而
N
则表示一条直线，其斜 率
k
最大值为
3
2、已知
?1
，纵截距为
b
，由图形易
知，欲使
M?N??
，即直线
y?x?b
与半圆有公 共点，显然
b
的最小逼近值为
?3
，
2
即
?3?b?32
.
，且
?
,
?f
?
x
?
?
?
x?a
??
x?b?
?2
（其中
a?b
）是方程，
f
?
x?
?0
的两根（
?
?
?
）
则实数
a?
?
?
,
?
?
，且
b
?
?
?
,
?
?
.
x
2
y
2
??1< br>上一点，它到其中一个焦点
F
1
的距离为
2
，
N为
MF
1
的中点，
O
表示3、点
M
是椭圆2516

原点，则
ON?
（
C
）
3
A
??

2
?
B
?
2

?
C
?
4

?
D
?
8

参考解答：
设椭圆另一焦点为
F
2
，（如下图），则
所以
MF
1
?MF
2?2a
，而
a?5
，因为
MF
1
?2
， MF
2
?8
，又注意到
N,O
各为
MF
1,F
1
F
2
的中点，所以
ON
是
?MF
1
F
2
的中位
1
线，因此
|ON|?|MF
2
|?4
.
22
*
4、关于
x
的方程
?
x?2k
?
?ax
在
x?
?
2k?1,2k?1
?
?
k?N< br>?
上有两个不相等的实数解，求实数
a
的取值范围.
参考解答： < br>y
2
?
?
y
1
?
?
x?2k
?
设
?
?
?
y
2
?ax
，可作图得?
0,
?
?
1
?
?
.
2k?1
?
1
y = ax
O
2k-1
N
M
2k+1
x
（数的问题转换为形的问题有多种途径、多种方法，
应选择最简单、最佳方案，这称为最优化原则）





5、已知函数
6、已知
f
?
x
?
?lg
?
x?1
?
，若
a?b
且
f
?
a
?
?f
?
b
?
，则
a?b
的取值范围是
?< br>0,??
?
.
A?

?
?
x,y
?
y?mx
?
,B?
?
?
x,y
?
y?x ?m
?
,C?A?B
，若
C
中仅含有两个元素时，
则实数< br>m
的取值范围
m??1
或
m?1
.
参考解答：









已知当
m?0
时
y
O
x
y
y = x+1
y = x
1
O
x
y =x
y = x-1

m?0

m?0

y?mx
与
y?x?m
在
y
轴左 侧必有一个交点，故要在
y
轴右侧有一个交点只需
m?1
，
同理当
m?0
时
y?mx
m??1
.

—————(
D
)
与
y?x?m
在
y
轴 右侧必有一个交点，故要在
y
轴左侧有一个交点只需
7、下图中的函数图像①、②、③ 、④与函数方程
a
、
b
、
c
、
d
的对应关 系中，有可能正确的一组是—
a:f
?
x?y
?
?f
?x
?
?f
?
y
?

c:f
?
xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?< br>










b:f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?

d:f
?
xy
?< br>?f
?
x
?
?f
?
y
?

y
y
y
x
y
x
x
O
O
x
O
O

?
1
?

?
2
?

?
3
?

?
4
?

?
A
??
1
?
?c,
?
2
?
?a,
?
3
?
?b,
?
4
?
?d

?
B
??
1
?
?a,
?
2
?
?b,
?
3
?
? c,
?
4
?
?d

?
C
??
1< br>?
?b,
?
2
?
?d,
?
3
??a,
?
4
?
?c

?
D
??< br>1
?
?b,
?
2
?
?c,
?
3?
?d,
?
4
?
?a

f
?
x
?
?ax
3
?bx
2
?cx?d
的图像如图所示 ，则（
A
）

8、已知函数

?
A
?
b?
?
??,0
?

?
D
?
b?
?
2,??
?

f
?
0
?
?0
，即
d?0
；
?
B
?
b?
?
0,1
?

?
C
?
b?
?
1,2
?

参考解答：
本题可将图形转化为具体数值，由图像过
3
个特殊点及与
x
轴的相对位置特征，可得到以下等式：
y
⑴
⑵
⑶
⑷
f
?
1
?
?0
，即
a?b?c?0
； < br>f
?
2
?
?0
，即
8a?4b?2c?0
；
0
f
?
x
?
?ax?
?
x?1
?
?
?
x?2
?
；
1
2
x
?
??,0
?
?
?
1,2
?
时，
f?
x
?
?0
，由
f
?
?1
?
?0
得
?a?b?c?0
，
⑹当
x?
?
0,1< br>?
?
?
2,??
?
时，
f
?
x?
?0
，
f
?
3
?
?0
，可推得a?0
.
⑸当
x?
巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法：
方法一： ⑵⑶得
b??3a
，再由⑹推得
b?0
，选
方法二：⑵⑸推得
b?0
；
方法三：由⑷比较同次项系数得
b??3a
，再由⑹得
b??3a
.
A
；

数学思想方法：数形结合

数形结合是根据数量 与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一
种重要数学思想方法.利用数形结合 思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问
题具体化，从而找到解题思路，使问题得到 解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、
单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形 常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量
关系、运算结果与几何定理的结合.

【以形助数】
例1、（集合中的数形结合）
已知集合
A?
?xa?x?a?2
?
,B?xx
2
?3x?10?0
??
，当
A?B??
，求实数
a
的
取值范围.






例2、（函数中的数形结合）
设
f?
x
?
?x
2
?2ax?2
，当
x?
?
?1,??
?
时，
f
?
x
?
?a
恒成立，求
a
的取值范围.







例3、（方程中的数形结合）
若方程
lg
?
?x
2
?3x?m
?
?lg
?
3?x
?
在
x?
?
0,3
?
内有唯一解，求实数
m
的取值范围 .








例4、（不等式中数形结合）
不等式
x
2
?2ax?a
2
?a?0
在
x?
?
0,2
?
时恒成立，求
a
的取值范围.







例5、（解析几何中的数形结合）
x
2
y
2
??1
，求
y?3x
的最大值与最小值. 已知
x,y
满足
1625

例6、设
b?0
，二次函数
y?ax
2
?bx?a
2
?1
的图像为下列之一，则
a
的值为（ ）
y
x
O

y
y
y



x
x

1
-1
O
O

1
-1
O
① ② ③ ④
x
?1?5?1?5

D< br>??
22
例7、线段
AB
的两个端点为
A
?
1,1
?
,B
?
?1,3
?
，直线
l:y?2ax ?1
，已知直线
l
与线段
AB
有公共
点，求
a的取值范围.
?
A
?
1

?
B
?
?1

?
C
?






x
2
y
2
? ?1
内一点，
F
1
为椭圆左焦点，
P
为椭圆上一动点， 例 8、已知
A
?
1,1
?
为椭圆
95
求
PF
1
?PA
的最大值和最小值.









【配套练习】
1、方程
sin
?
x?
?
?
?
?
?
A
?
1

1

2

1
?x
的解的个数为（ ）
?
4
?
4

?
B
?
2

?
C
?
3

3
2

?
D
?
4

2、如果实数
x,y
满足?
x?2
?
?y
2
?3
，则

2
y
x

的最大值为（ ）
?
A
?

?
B
?
3
3

?
C
?

?
D
?
3
3、已知函数
f
?
x
?
?log?
?
1
，若
0?a?b?c
2
?
x
，则
f
?
a
?
f
?
b
?
f
?
c
?
的 大小关系
,,
abc
为 .
?x
2
?bx?cx?0
4、设函数
f
?
x
?< br>?
?
，若
f
?
?4
?
?f
?
0
?
，
f
?
?2
?
??2
，
2x?0
?
则关于
x
的方程
f
?
x
??x
的解的个数为（ ）
?
A
?
1

5、函数

?
B
?
2

?
C
?
3

?
D
?
3

y?x
2
?2x?2?x
2
?6x?13
的最小值为（ ）

?
A
?
2?5

?
B
?
22?1

在区间

?
C
?
2

?
D
?
a
13

6、已知函数
y?x2
?ax?2?a
?
??,3
?
内递减，则实数的取值范围为 .
7、设
?
、
?
分别是方程
log
2
8、如果关于
x
的方程
x









9、求函数< br>2
x?x?4?0和2
x
?x?4?0
的根，则
?
?
?
＝ .
求实数
a
的取值范围.
?ax?3?2a?0
有两个实数根
x
1
,x
2
，并且
x
1
?
?
? ?,?1
?
,x
2
?
?
0,2
?
，
y?
sinx?2
的值域.
cosx?2








10、已知集合
P?
?
?
x,y
?















【高考真题】
x?y?1,x?R,y?R
?,Q?
?
?
x,y
??
x?a
?
2
? y
2
?1,x?R,y?R
?
，
求满足下列条件时实数
a
的取值范围.⑴
P?Q??
；⑵
P
?
Q
.
??
?
x?3cos
?
??
(0?
?
?
?
)
?
1、若集合
M?
?
(x，y)
?
? ?
?
y?3sin
?
??
M?N≠?
，
则实数
b
的取值范围为 .
，集 合
N?{(x，y)|y?x?b}
，且

2、已知，且
?,
?
f
?
x
?
?
?
x?a
? ?
x?b
?
?2
（其中
a?b
）是方程，
f?
x
?
?0
的两根（
?
?
?
）
则实数
a?
?
?
,
?
?
，且
b

?
?
,
?
?
.
x
2
y
2
??1
上一点，它到其中一个焦点
F
1
的距离为
2
，
N
为
MF
1
的中点，
O
表示3、点
M
是椭圆
2516
原点，则
ON?
（ ）
3

?
B
?
2

?
C
?
4

?
D
?
8

2
2
*
4、关于x
的方程
?
x?2k
?
?ax
在
x?
?
2k?1,2k?1
?
?
k?N
?
上有两个不相等的实数 解，求实数
a
的取值范围.
?
A
?












5 、已知函数
f
?
x
?
?lg
?
x?
?1
，若
a?b
且
f
?
a
?
?f
?
b
?
，则
a?b
的取值范围
是 .
6、已知
A?
?
?
x,y
?
y?mx
?
,B?
?
?
x,y
?
y?x?m
?
,C ?A?B
，若
C
中仅含有两个元素时，
则实数
m
的取值范围 .
7、下图中的函数图像①、②、③、④与函数方程
a
、
b
、c
、
d
的对应关系中，有可能正确的一组是—
( )
a: f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?

c:f
?
xy
?
?f
?< br>x
?
?f
?
y
?














b:f
?
x?y
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?

d:f
?xy
?
?f
?
x
?
?f
?
y
?

y
y
y
x
y
x
x
O
O
x
O
O
?
1
?

?
2
?

?
3
?

?
4
?

?
A
??
1
?
?c,
?
2
?
?a,
?
3
?
?b,
?
4
?
?d

?
B
??
1
?
?a,
?
2
?
?b,
?
3
?
? c,
?
4
?
?d

?
C
??
1< br>?
?b,
?
2
?
?d,
?
3
??a,
?
4
?
?c

?
D
??< br>1
?
?b,
?
2
?
?c,
?
3?
?d,
?
4
?
?a

32
8、已知 函数
f
?
x
?
?ax?bx?cx?d
的图像如图所示，则 （ ）
y
?
A
?
b?
?
??,0
?

?
B
?
b?
?
0,1
?

?
C
?
b?
?
1,2
?

?
D
?
b?
?
2,??
?


0
1
2
x